$x = n$일 때 $P_n(n, 2^n + n)$, $Q_n(n, 2^{n-1} + 3n)$이므로 두 $y$좌표의 차는
$(2^n + n) - (2^{n-1} + 3n) = 2^{n-1} - 2n$이다.
$n=1, 2, 3$일 때 $2^{n-1} - 2n < 0$, $n=4$일 때 $8-8=0$, $n \ge 5$일 때 $2^{n-1} - 2n > 0$이다.
따라서 $l_n = |2^{n-1} - 2n|$이므로 $1 \le n \le 3$일 때 $l_n = 2n - 2^{n-1}$이고, $n \ge 4$일 때 $l_n = 2^{n-1} - 2n$이다.

$n=3$일 때는 $2^{n-1}+3n = 13 > 2^n+n = 11$이므로 조건을 만족하는 정수 $y$가 존재하지 않아 $a_3 = 0$이다.
$n \ge 4$일 때는 $2^{n-1}+3n \le 2^n+n$이므로 정수 $y$의 개수는 $a_n = (2^n+n) - (2^{n-1}+3n) + 1 = 2^{n-1} - 2n + 1$이다.
따라서 $\sum_{n=3}^{10} a_n = \sum_{n=4}^{10} (2^{n-1} - 2n + 1) = \dfrac{8(2^7 - 1)}{2 - 1} - 2 \cdot \dfrac{7(4 + 10)}{2} + 7 = 1016 - 98 + 7 = 925$이다.

$l_3 = 6 - 4 = 2$, $l_4 = 0$이고 $m \ge 4$일 때
$\sum_{n=3}^m l_n = 2 + \sum_{n=4}^m (2^{n-1} - 2n) = 2 + (2^m - 8) - (m(m+1) - 6) = 2^m - m(m+1)$이다.
$m = 11$일 때 $2^{11} - 11 \cdot 12 = 2048 - 132 = 1916 \le 2000$이고,
$m = 12$일 때 $2^{12} - 12 \cdot 13 = 4096 - 156 = 3940 > 2000$이므로 최솟값은 $m = 12$이다.

첫째 극한 조건에서 $f(x) - 2x^3$은 최고차항의 계수가 $-3$인 이차다항식이므로 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b$로 놓을 수 있다.
둘째 극한 조건에서 분모가 $x \to 2$일 때 $0$으로 수렴하므로 $f(2) = 0$이어야 한다. 따라서 $f(x) = (x - 2)(2x^2 + x + c)$로 인수분해된다.
이를 둘째 극한에 대입하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{2x^2 + x + c}{x + 2} = \dfrac{8 + 2 + c}{4} = 5 \implies 10 + c = 20 \implies c = 10$이다.
따라서 $f(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 10) = 2x^3 - 3x^2 + 8x - 20$이다.

$x \ne 2$일 때 $g(x) = 2x^2 + x + 10 = 2\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 + \dfrac{79}{8}$이다.
방정식 $g(x) = k$ ($x \ne 2$)가 오직 하나의 실근을 가질 조건은:
① 이차방정식 $2x^2 + x + 10 = k$가 중근을 가질 때: 꼭짓점의 함숫값 $k = \dfrac{79}{8}$이다.
② 서로 다른 두 실근 중 하나가 제외된 점 $x = 2$일 때: $k = 2(2)^2 + 2 + 10 = 20$ (나머지 한 근은 $x = -\dfrac{5}{2} \ne 2$).
따라서 조건을 만족하는 $k$의 값은 $\dfrac{79}{8}$과 $20$이다.

$h(x) = f'(x) = 6x^2 - 6x + 8 = 6\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{13}{2}$이다.
$t > 0$일 때 닫힌구간 $[-t, t]$에서 대칭축 $x = \dfrac{1}{2} > 0$으로부터 가장 먼 점은 항상 왼쪽 끝점 $x = -t$이다.
따라서 최댓값은 $M(t) = h(-t) = 6t^2 + 6t + 8$이고,
$\lim_{t \to 1} \dfrac{M(t) - 20}{t - 1} = \lim_{t \to 1} \dfrac{6(t - 1)(t + 2)}{t - 1} = 18$이다.

방정식 $f(x) - l_t(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - \left\{f'(t)(x - t) + f(t)\right\} = 0$은 $x = t$를 중근으로, $x = s$를 다른 한 근으로 갖는다.
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 합은 $t + t + s = 3$이므로 $s = 3 - 2t$이다.
따라서 $t - s = t - (3 - 2t) = 3(t - 1)$이므로 제시문 (가)에 의해 둘러싸인 넓이는
$S(t) = \dfrac{1}{12}\left\{3(t - 1)\right\}^4 = \dfrac{81}{12}(t - 1)^4 = \dfrac{27}{4}(t - 1)^4$이다.

$t > 1$일 때 $g(t) = \dfrac{27}{4}(t - 1)^2 + \dfrac{27}{(t - 1)^2}$이다.
$u = (t - 1)^2 > 0$으로 놓으면 산술·기하평균의 관계(또는 미분법)에 의하여
$g(t) = \dfrac{27}{4}u + \dfrac{27}{u} \ge 2\sqrt{\dfrac{27}{4}u \cdot \dfrac{27}{u}} = 27$이다.
등호는 $\dfrac{27}{4}u = \dfrac{27}{u} \iff u^2 = 4 \iff (t - 1)^2 = 2$, 즉 $t = 1 + \sqrt{2}$ ($t > 1$)일 때 성립하므로 최솟값은 $27$이다.

$t = 2$일 때 $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$, $f'(2) = 12 - 12 + 2 = 2$이므로 접선의 방정식은 $y = 2(x - 2) = 2x - 4$이다.
교점의 $x$좌표는 $s = 3 - 4 = -1$과 $t = 2$이므로 직접 정적분하면
$S(2) = \int_{-1}^2 \left\{(x^3 - 3x^2 + 2x) - (2x - 4)\right\}dx = \int_{-1}^2 (x + 1)(x - 2)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\right]_{-1}^2 = 4 - \left(-\dfrac{11}{4}\right) = \dfrac{27}{4}$이 되어 [3-1]의 공식 $S(2) = \dfrac{27}{4}$과 정확히 일치한다.