$a, b, c$가 공비 $r$인 등비수열을 이루므로 $b = ar$, $c = ar^2$이다.
코사인법칙 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$에 대입하면 $a^2 r^2 = a^2 + a^2 r^4 - 2a^2 r^2 \cdot \dfrac{3}{4}$이다.
양변을 $a^2 > 0$으로 나누고 정리하면 $r^4 - \dfrac{5}{2}r^2 + 1 = 0 \implies 2r^4 - 5r^2 + 2 = (2r^2 - 1)(r^2 - 2) = 0$이다.
$r > 1$이므로 $r^2 = 2$에서 $r = \sqrt{2}$이다.

외접원의 넓이가 $\pi R^2 = 32\pi$이므로 $R = 4\sqrt{2}$이다.
$0 < B < \pi$에서 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$이다.
사인법칙에 의하여 $b = 2R\sin B = 8\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{14}$이다.
따라서 $a = \dfrac{b}{r} = \dfrac{2\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{7}$이고, $c = br = 2\sqrt{14} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{7}$이다.

삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{7} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} = 7\sqrt{7}$이다.
또한 사인법칙에 의하여 $\sin A = \dfrac{a}{2R}$, $\sin C = \dfrac{c}{2R}$이고 $ac = b^2$이므로
$\sin A \cdot \sin C = \dfrac{ac}{4R^2} = \dfrac{b^2}{4R^2} = \sin^2 B = \dfrac{7}{16}$이다.

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x + 12 = 4(x^2 - 1)(x - 3) = 4(x + 1)(x - 1)(x - 3)$이다.
$f'(x) = 0$에서 $x = -1, 1, 3$이며, 부호 변화에 의해 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 1 - 4 - 2 + 12 + k = k + 7$을 갖고,
$x = -1$과 $x = 3$에서 동일한 극솟값 $f(-1) = f(3) = k - 9$를 갖는다.
따라서 극댓값과 극솟값의 차는 $(k + 7) - (k - 9) = 16$이다.

사차함수 $y = f(x)$는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이고 두 극솟값이 모두 $k - 9$로 같다.
두 극솟값이 $0$이면 $x = -1, 3$에서 접하므로 서로 다른 두 실근만 갖는다.
따라서 방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 극댓값이 $0$이어야 하므로 $k + 7 = 0 \implies k = -7$이다.

극솟값이 $k - 9 = -5$이므로 $k = 4$이고, 이때 극댓값은 $f(1) = 4 + 7 = 11$이다.
함수 $y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -1, 3$에서 접어올려진 극댓값 $|-5| = 5$를 갖고, $x = 1$에서 극댓값 $11$을 갖는다.
따라서 $0 < t < 5$일 때 실근 $8$개, $t = 5$일 때 실근 $6$개, $5 < t < 11$일 때 실근 $4$개이므로 $N(t) = 6$을 만족하는 실수 $t$의 값은 $t = 5$이다.

$f(-x) + f(x) = 2bx^2 + 2d = 6x^2 + 4$이므로 계수를 비교하면 $b = 3, \; d = 2$이고, $f'(0) = c = -2$이다.
이때 $(x+1)f(x) = (x+1)(ax^3 - 2x + 3x^2 + 2)$에서 기함수 항들은 구간 $[-2, 2]$에서 정적분이 $0$이므로
$\int_{-2}^2 (x+1)f(x)\,dx = 2\int_0^2 (ax^4 + x^2 + 2)\,dx = 2\left(\dfrac{32a}{5} + \dfrac{8}{3} + 4\right) = \dfrac{392}{15}$이다.
따라서 $\dfrac{32a}{5} + \dfrac{20}{3} = \dfrac{196}{15} \implies \dfrac{32a}{5} = \dfrac{96}{15} = \dfrac{32}{5}$에서 $a = 1$이다.

$f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2$이고, $H(t) = \int_t^{t+2} f(x)\,dx$를 $t$에 대하여 미분하면 $H'(t) = f(t+2) - f(t)$이다.
$f(t+2) - f(t) = \left\{(t+2)^3 + 3(t+2)^2 - 2(t+2) + 2\right\} - (t^3 + 3t^2 - 2t + 2) = 6t^2 + 24t + 16 = 0$에서
$3t^2 + 12t + 8 = 0 \implies t = -2 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이므로, 이차항 계수가 양수여서 $t = -2 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$에서 극솟값을 갖는다.

$f(x) - 3x^2 - 2 = x^3 - 2x$이므로 피적분함수는 $|x(x^3 - 2x)| = |x^4 - 2x^2|$이며 우함수이다.
따라서 구하는 정적분은 $2\int_0^3 |x^4 - 2x^2|\,dx = 2\int_0^{\sqrt{2}} (2x^2 - x^4)\,dx + 2\int_{\sqrt{2}}^3 (x^4 - 2x^2)\,dx$
$= 2\left[\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{5}x^5\right]_0^{\sqrt{2}} + 2\left[\dfrac{1}{5}x^5 - \dfrac{2}{3}x^3\right]_{\sqrt{2}}^3 = \dfrac{459}{5} + \dfrac{32\sqrt{2}}{15}$이다.