2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 서울과학기술대학교 모의논술고사 (3회)

자연계열 수리논술 3회 (사인·코사인법칙과 수열 결합 / 사차함수 극값과 방정식 실근 / 정적분 대칭성과 넓이)

시험시간 100분 배점 100점

문제 1 삼각함수의 사인법칙·코사인법칙과 등비수열의 결합 [총 30점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 5 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12대수03-03]

[제시문]
(가) 삼각형 $ABC$의 세 내각 $A, B, C$와 대변의 길이 $a, b, c$, 외접원의 반지름의 길이 $R$에 대하여 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$와 코사인법칙 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$가 성립한다.

(나) 삼각형 $ABC$에서 세 변의 길이 $a, b, c$가 이 순서대로 공비가 $r$ ($r > 1$)인 등비수열을 이루고, $\cos B = \dfrac{3}{4}$이다.

(다) 삼각형 $ABC$의 외접원의 넓이가 $32\pi$이다.

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 등비수열의 공비 $r$의 값을 구하시오. (단, $r > 1$이다.) [9점]

[1-2] 제시문 (다)를 이용하여 $\sin B$의 값과 변 $b$의 길이를 구하고, 나머지 두 변 $a, c$의 길이를 각각 구하시오. [10점]

[1-3] 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와 $\sin A \cdot \sin C$의 값을 각각 구하시오. [11점]

2027학년도 서울과학기술대학교 모의논술고사 (3회)

자연계열 수리논술 3회 (사인·코사인법칙과 수열 결합 / 사차함수 극값과 방정식 실근 / 정적분 대칭성과 넓이)

시험시간 100분 배점 100점

문제 2 사차함수의 극대·극소와 방정식의 서로 다른 실근의 개수 [총 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-09]

[제시문]
(가) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고 $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 음에서 양으로 바뀌면 극소이다.

(나) 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + k$ ($k$는 상수)가 주어져 있다.

(다) 실수 $t$에 대하여 방정식 $|f(x)| = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $N(t)$라 하자.

[2-1] 함수 $f(x)$가 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 값을 모두 구하고, 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오. [11점]

[2-2] 방정식 $f(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. [12점]

[2-3] 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-5$일 때, 상수 $k$의 값을 구하고 방정식 $|f(x)| = t$의 서로 다른 실근의 개수 $N(t) = 6$을 만족시키는 실수 $t$의 값을 구하시오. [12점]

2027학년도 서울과학기술대학교 모의논술고사 (3회)

자연계열 수리논술 3회 (사인·코사인법칙과 수열 결합 / 사차함수 극값과 방정식 실근 / 정적분 대칭성과 넓이)

시험시간 100분 배점 100점

문제 3 우함수·기함수의 정적분 성질과 이동 구간 정적분의 극값 [총 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 유제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

[제시문]
(가) 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = f(x)$를 만족하면 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$이고, $f(-x) = -f(x)$를 만족하면 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$이다.

(나) 삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) + f(x) = 6x^2 + 4$를 만족시키고, $f'(0) = -2$, $\int_{-2}^2 (x + 1)f(x)\,dx = \dfrac{392}{15}$이다.

(다) 실수 $t$에 대하여 함수 $H(t) = \int_t^{t+2} f(x)\,dx$라 하자.

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 네 상수 $a, b, c, d$의 값을 각각 구하시오. (단, 우함수와 기함수의 정적분 성질을 명시하시오.) [11점]

[3-2] 제시문 (다)의 함수 $H(t)$가 극솟값을 갖는 실수 $t$의 값을 구하시오. [12점]

[3-3] [3-1]에서 구한 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_{-3}^3 |x \cdot (f(x) - 3x^2 - 2)|\,dx$의 값을 구하시오. [12점]