$n \ge 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 2) = 4 + 2 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 4 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n + 2$이다.
$n = 1$을 대입하면 $1^2 + 1 + 2 = 4 = a_1$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = n^2 + n + 2$가 성립한다.

$a_k - 2 = k^2 + k = k(k+1)$이므로 $b_k = k + 1$이고 $k \cdot b_k = k^2 + k$이다.
따라서 $\sum_{k=1}^{15} k \cdot b_k = \sum_{k=1}^{15} (k^2 + k) = \dfrac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} + \dfrac{15 \cdot 16}{2} = 1240 + 120 = 1360$이다.

$c_k = \dfrac{1}{a_k - 2} = \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$이므로
$T_n = \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$이다.
따라서 $n \to \infty$일 때 극한값은 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$이다.

$x=1 < 2$에서 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$이므로 제시문 (다)에 의해 $f'(1) = 3 + 2a + b = -1 \implies b = -2a - 4$이다. $\cdots$ ①
$x=2$에서 연속이므로 $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$에서 $8 + 4a + 2b = 4c - 8 + 8 = 4c$이다. ①을 대입하면 $8 + 4a + 2(-2a-4) = 0 = 4c$이므로 $c = 0$이다.
또한 $x=2$에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다: $12 + 4a + b = 4c - 4 = -4$이다.
①을 대입하면 $12 + 4a + (-2a - 4) = 2a + 8 = -4$에서 $2a = -12 \implies a = -6$이고, $b = -2(-6) - 4 = 8$이다.

$g(x)$가 $x=2$에서 연속이 되려면 $g(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)$이어야 하므로 $g(2) = -4$이다.
또한 $f(2) = 0$이고 $f(1) = 1 - 6 + 8 = 3$이므로
$\lim_{x \to 1} g(x) = \dfrac{f(1) - f(2)}{1 - 2} = \dfrac{3 - 0}{-1} = -3$이다.

구간 $[0, 2)$에서 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$, $f'(x) = 3x^2 - 12x + 8 = 0$의 근 중 구간 $[0, 2)$에 속하는 값은 $x = 2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이다.
이때 극댓값은 $f\left(2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}$이고, $f(0) = 0$, $f(2) = 0$이다.
구간 $[2, 3]$에서 $f(x) = -4x + 8$은 감소함수이므로 $f(3) = -4$이다.
따라서 구간 $[0, 3]$에서 최댓값은 $M = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}$이고, 최솟값은 $m = -4$이다.

$v_P(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t_1 = 1$, $t_2 = 3$이다.
$t_2 = 3$에서의 점 $P$의 위치는 $x_P(3) = \int_0^3 (3t^2 - 12t + 9)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_0^3 = 27 - 54 + 27 = 0$이다.
움직인 총 거리는 $L = \int_0^1 v_P(t)\,dt - \int_1^3 v_P(t)\,dt = 4 - (0 - 4) = 8$이다.

$x_P(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$, $x_Q(t) = \int_0^t (6s - 9)\,ds = 3t^2 - 9t$이다.
$x_P(t) = x_Q(t)$에서 $t^3 - 9t^2 + 18t = t(t - 3)(t - 6) = 0$이므로 $t > 0$에서 처음으로 다시 만나는 시각은 $T = 3$이다.
$T = 3$일 때 $v_P(3) = 0$, $v_Q(3) = 18 - 9 = 9$이므로 속도의 차는 $|v_P(3) - v_Q(3)| = 9$이다.

$v_P(t) - v_Q(t) = 3t^2 - 18t + 18 = 3(t^2 - 6t + 6) = 0$에서 구간 $[0, 3]$ 내의 교점 시각은 $t_0 = 3 - \sqrt{3}$이다.
$\int_0^3 (v_P(t) - v_Q(t))\,dt = x_P(3) - x_Q(3) = 0$이므로 두 영역의 넓이는 $S_1 = S_2$이다.
$S_1 = \int_0^{3-\sqrt{3}} (3t^2 - 18t + 18)\,dt = \left[t^3 - 9t^2 + 18t\right]_0^{3-\sqrt{3}} = (3-\sqrt{3})(3+3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$이다.
따라서 $S_1 + S_2 = 2S_1 = 12\sqrt{3}$이다.