$\log_9(q^2) = \dfrac{2\ln q}{2\ln 3} = \log_3 q$이므로 제시문 (나)에서 $u = \log_3 p$, $v = \log_3 q$로 치환하면 $u + v = 4$, $uv = 3$이다.
이차방정식 $t^2 - 4t + 3 = (t-1)(t-3) = 0$의 두 근이 $1, 3$이고 $p < q$이므로 $u=1, v=3$이다.
따라서 $p = 3^1 = 3$, $q = 3^3 = 27$이며, 곡선 $y=\log_3(x-3)$의 점근선의 방정식은 진수 조건 $x-3>0$의 경계인 $x = 3$이다.

$\overline{AB} = 3$, $\overline{AC} = 27$, $\angle BAC = \dfrac{\pi}{3}$이므로 코사인법칙에 의하여
$\overline{BC}^2 = 3^2 + 27^2 - 2 \cdot 3 \cdot 27 \cos\dfrac{\pi}{3} = 9 + 729 - 81 = 657$이므로 $\overline{BC} = \sqrt{657} = 3\sqrt{73}$이다.
또한 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 27 \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{81\sqrt{3}}{4}$이다.

사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\pi/3)} = 2R$에서 $2R = \dfrac{3\sqrt{73}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{219}$이므로 외접원의 반지름은 $R = \sqrt{219}$이다.
한편 삼각형의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}r(3 + 27 + 3\sqrt{73}) = \dfrac{3(10 + \sqrt{73})}{2}r = \dfrac{81\sqrt{3}}{4}$에서
$r = \dfrac{27\sqrt{3}}{2(10 + \sqrt{73})} = \dfrac{27\sqrt{3}(10 - \sqrt{73})}{2(100 - 73)} = \dfrac{\sqrt{3}(10 - \sqrt{73})}{2}$이다.
따라서 $R \cdot r = \sqrt{219} \cdot \dfrac{\sqrt{3}(10 - \sqrt{73})}{2} = \dfrac{3\sqrt{73}(10 - \sqrt{73})}{2} = \dfrac{30\sqrt{73} - 219}{2}$이다.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$이다.
$x < 1$ 또는 $x > 3$에서 $f'(x) > 0$이고, $1 < x < 3$에서 $f'(x) < 0$이다.
따라서 $f(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$을 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$를 갖는다.

접점 $Q(\alpha, \alpha^3 - 6\alpha^2 + 9\alpha + 2)$ ($\alpha \ne 0$)에서의 접선의 방정식은
$y - (\alpha^3 - 6\alpha^2 + 9\alpha + 2) = (3\alpha^2 - 12\alpha + 9)(x - \alpha)$이다.
이 직선이 점 $A(0, 2)$를 지나므로 $2 - (\alpha^3 - 6\alpha^2 + 9\alpha + 2) = -\alpha(3\alpha^2 - 12\alpha + 9)$에서 정리하면
$2\alpha^3 - 6\alpha^2 = 2\alpha^2(\alpha - 3) = 0$이다. $\alpha \ne 0$이므로 $\alpha = 3$이다.
따라서 접점의 좌표는 $Q(3, 2)$이고, 접선의 기울기는 $f'(3) = 0$이므로 접선의 방정식은 $y = 2$이다.

$f(0) = 2$, $f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6$이므로 구간 $[0, 4]$에서의 평균변화율은
$\dfrac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \dfrac{6 - 2}{4} = 1$이다.
평균값 정리에 의하여 $f'(c) = 3c^2 - 12c + 9 = 1$, 즉 $3c^2 - 12c + 8 = 0$을 만족하는 $c \in (0, 4)$는
$c = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{3} = 2 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이며 두 값 모두 열린구간 $(0, 4)$에 속한다.
따라서 $c_2 - c_1 = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$이므로 $(c_2 - c_1)^2 = \dfrac{16}{3}$이다.

$G(x) = (x - 1)^4$이므로 $G(1) = 0$이다. 양변을 $x$에 대하여 미분하면 제시문 (가)에 의하여
$G'(x) = \int_1^x f(t)\,dt = 4(x - 1)^3 = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$이며 $G'(1) = 0$을 만족한다.
다시 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = G''(x) = 12(x - 1)^2 = 12x^2 - 24x + 12$이다.

방정식 $12(x - 1)^2 = 12(x - 1)$에서 $12(x - 1)(x - 2) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = 1, 2$이다.
구간 $[1, 2]$에서 $12(x - 1) \ge 12(x - 1)^2$이므로 둘러싸인 넓이 $S$는
$S = \int_1^2 \left\{12(x - 1) - 12(x - 1)^2\right\}dx = \dfrac{12(2 - 1)^3}{6} = 2$이다.

곡선 $y = 12(x - 1)^2$과 직선 $y = m(x - 1)$ ($m > 0$)의 교점은 $12(x - 1)^2 = m(x - 1)$에서 $x = 1$과 $x = 1 + \dfrac{m}{12}$이다.
둘러싸인 부분의 넓이는 이차함수 넓이 공식에 의하여
$A(m) = \dfrac{12}{6}\left(\dfrac{m}{12}\right)^3 = 2 \cdot \dfrac{m^3}{1728} = \dfrac{m^3}{864}$이다.
조건에서 $A(m) = \dfrac{S}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$이므로 $\dfrac{m^3}{864} = \dfrac{1}{4} \implies m^3 = 216 = 6^3$에서 $m = 6$이다.