2027학년도 대비 서경대학교 약술형 논술 모의고사 3회 (해설집)

2027학년도 대비 서경대학교 약술형 논술 실전 모의고사 3회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 1] 지수함수의 평행이동과 점근선 및 정점

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]

함수 \(y = 2^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 그래프의 식이 \(y = 2^{x-3} + 5\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) 상수 \(m, n\)의 값과 평행이동된 그래프의 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

[1-2] (6.5점) 함수 \(y = 2^{x-3} + 5\)의 그래프와 \(y\)축의 교점의 좌표 \((0, k)\)를 구하고 \(8k\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(m = 3,\; n = 5\), 점근선 \(y = 5\) | [1-2] \(k = \dfrac{41}{8},\; 8k = 41\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(y = 2^x\)를 \((m, n)\)만큼 평행이동하면 \(y = 2^{x-m} + n\)이고 점근선은 \(y = n\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(y = 2^{x-3} + 5\)와 비교하면 \(m = 3,\; n = 5\)이고 점근선의 방정식은 \(y = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 0\)을 대입하면 \(k = 2^{-3} + 5 = \dfrac{1}{8} + 5 = \dfrac{41}{8}\)이므로 \(8k = 41\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(m = 3,\; n = 5\) 산출 +3점 / 점근선의 방정식 \(y = 5\) 명시 +3점
소문항 [1-2] (6.5점)	• \(y\)절편 \(k = \dfrac{41}{8}\) 도출 +3.5점 / \(8k = 41\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점근선을 쓸 때는 단순 숫자 \(5\)만 적지 말고 직선의 방정식 형태인 \(y = 5\)로 적어야 감점을 피합니다.

[문항 2] 로그가 정의되기 위한 밑과 진수의 조건

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

로그 \(\log_{|x - 2|}(-x^2 + 6x - 5)\)가 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) 밑 조건과 진수 조건을 각각 부등식으로 세우시오.

[2-2] (6.5점) 로그가 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)의 값과 그 합을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(x \ne 1, 2, 3\) 및 \(1 < x < 5\) | [2-2] 정수 \(x = 4\), 합 \(4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\log_a N\)이 정의될 필요충분조건은 밑 조건 \(a > 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N > 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 밑 조건 \(|x - 2| > 0 \implies x \ne 2\)이고 \(|x - 2| \ne 1 \implies x \ne 1, 3\)이다. 진수 조건 \(-x^2 + 6x - 5 > 0 \iff (x - 1)(x - 5) < 0 \implies 1 < x < 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(1 < x < 5\)인 정수 \(2, 3, 4\) 중 \(x \ne 2, 3\)을 제외하면 조건을 만족하는 정수는 \(x = 4\)뿐이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 밑 조건 \(x \ne 1, 2, 3\) 도출 +3점 / 진수 조건 \(1 < x < 5\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (6.5점)	• 공통 범위에서 \(2, 3\) 제외 판정 +3.5점 / 최종 정수 \(x = 4\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 밑에 절댓값 \(|x - 2|\)가 있을 때 \(|x - 2| \ne 1\)에서 \(x = 1\)과 \(x = 3\) 두 개가 동시에 제외됨에 주의하세요.

[문항 3] 사인법칙과 삼각형의 모양 판정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 등식 \(a\sin A = b\sin B + c\sin C\)가 성립하고 \(b = 6,\; c = 8\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)이라 할 때 사인법칙을 이용하여 주어진 등식을 세 변 \(a, b, c\)에 대한 관계식으로 바꾸고 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 어떤 삼각형인지 말하시오.

[3-2] (6.5점) 변 \(a\)의 길이와 외접원의 반지름 \(R\), 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 각각 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(a^2 = b^2 + c^2\), \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 | [3-2] \(a = 10,\; R = 5\), 넓이 \(24\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙에 의해 \(\sin A = \dfrac{a}{2R},\; \sin B = \dfrac{b}{2R},\; \sin C = \dfrac{c}{2R}\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 주어진 식에 대입하고 양변에 \(2R\)을 곱하면 \(a^2 = b^2 + c^2\)이므로 피타고라스 정리에 의해 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\)이고 직각삼각형의 빗변이 지름이므로 \(R = \dfrac{a}{2} = 5\)이며, 넓이는 \(\dfrac{1}{2}bc = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 사인법칙 대입으로 \(a^2 = b^2 + c^2\) 유도 +3점 / \(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\)인 직각삼각형 명시 +3점
소문항 [3-2] (6.5점)	• \(a = 10,\; R = 5\) 산출 +3점 / 넓이 \(24\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 삼각형의 모양을 답할 때는 단순히 '직각삼각형'이라고만 쓰지 말고 '\(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\) (또는 빗변이 \(a\))인 직각삼각형'으로 특정해야 만점을 받습니다.

[문항 4] 시그마의 성질과 자연수 거듭제곱의 합 공식

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

수열의 합 \(S = \sum_{k=1}^{8} (3k - 1)(k + 1)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) 일반항 \((3k - 1)(k + 1)\)을 전개하여 \(\sum k^2,\; \sum k,\; \sum 1\)의 선형결합으로 나타내시오.

[4-2] (6.5점) 자연수 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 \(S\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(3\sum_{k=1}^{8} k^2 + 2\sum_{k=1}^{8} k - 8\) | [4-2] \(S = 676\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \((3k - 1)(k + 1) = 3k^2 + 2k - 1\)이고, \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\; \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S = 3\sum_{k=1}^{8} k^2 + 2\sum_{k=1}^{8} k - \sum_{k=1}^{8} 1 = 3 \times \dfrac{8 \times 9 \times 17}{6} + 2 \times \dfrac{8 \times 9}{2} - 8\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(3 \times 204 + 72 - 8 = 612 + 64 = 676\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(3k^2 + 2k - 1\) 전개 및 시그마 분리 식 작성 +6점
소문항 [4-2] (6.5점)	• \(\sum_{k=1}^8 k^2 = 204,\; \sum_{k=1}^8 k = 36\) 계산 +3.5점 / 최종 합 \(676\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 시그마는 곱셈에 대해 분배되지 않으므로 반드시 피적분식처럼 먼저 다항식으로 전개한 뒤 합 공식을 적용해야 합니다.

[문항 5] 불연속 함수와 다항함수의 곱이 실수 전체에서 연속일 조건

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 1) \\ -x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)와 일차함수 \(g(x) = 2x + k\)에 대하여 곱함수 \(f(x)g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) \(x = 1\)에서 함수 \(f(x)g(x)\)의 좌극한과 우극한(함숫값)을 각각 \(k\)에 대한 식으로 구하시오.

[5-2] (6.5점) 상수 \(k\)의 값과 \(g(5)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] 좌극한 \(3(2 + k)\), 우극한 \(0\) | [5-2] \(k = -2,\; g(5) = 8\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서만 불연속이므로 곱함수 \(f(x)g(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이면 실수 전체에서 연속이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 좌극한은 \(\lim_{x \to 1-} f(x)g(x) = 3(2 + k)\)이고, 우극한 및 함숫값은 \(\lim_{x \to 1+} f(x)g(x) = f(1)g(1) = 0 \cdot (2 + k) = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(3(2 + k) = 0 \implies k = -2\)이므로 \(g(x) = 2x - 2\)이고 \(g(5) = 8\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \(x = 1\) 좌극한 \(3(2+k)\) 및 우극한 \(0\) 산출 +6점
소문항 [5-2] (6.5점)	• \(k = -2\) 도출 +3.5점 / \(g(5) = 8\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 불연속점 \(x = 1\)에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 연속인 함수 \(g(x)\)가 \(g(1) = 0\)이 되어야 곱이 연속이 됩니다.

[문항 6] 두 곡선이 한 점에서 접할 조건 (공통접선)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

두 곡선 \(y = x^3 + ax + 3\)과 \(y = 2x^2 + b\)가 \(x = 1\)인 점에서 공통인 접선을 가질 때, 다음 물음에 답하시오.

[6-1] (6점) 두 함수를 각각 \(f(x),\; g(x)\)라 할 때, \(x = 1\)에서 접할 두 가지 조건 \(f(1) = g(1)\)과 \(f'(1) = g'(1)\)을 이용하여 상수 \(a, b\)를 구하시오.

[6-2] (6.5점) \(x = 1\)에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(a = 1,\; b = 3\) | [6-2] \(y = 4x + 1\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 + ax + 3,\; g(x) = 2x^2 + b\)가 \(x = 1\)에서 접하므로 \(f(1) = g(1)\)이고 \(f'(1) = g'(1)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 + a,\; g'(x) = 4x\)이므로 \(f'(1) = 3 + a = g'(1) = 4 \implies a = 1\)이고, \(f(1) = 1 + 1 + 3 = 5 = g(1) = 2 + b \implies b = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 접점은 \((1, 5)\)이고 접선의 기울기는 \(4\)이므로 공통접선의 방정식은 \(y - 5 = 4(x - 1) \implies y = 4x + 1\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• \(f'(1)=g'(1)\)로 \(a = 1\) 산출 +3점 / \(f(1)=g(1)\)로 \(b = 3\) 산출 +3점
소문항 [6-2] (6.5점)	• 접점 \((1, 5)\) 및 기울기 \(4\) 제시 +3점 / 공통접선 \(y = 4x + 1\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 두 곡선이 한 점에서 '접한다'는 조건은 항상 함숫값 일치(\(f=g\))와 미분계수 일치(\(f'=g'\))의 연립방정식으로 번역합니다.

[문항 7] 삼차방정식이 한 개의 실근과 두 개의 허근을 가질 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

방정식 \(2x^3 - 6x^2 + k = 0\)이 오직 한 개의 실근과 두 개의 허근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[7-1] (6점) 함수 \(f(x) = 2x^3 - 6x^2\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[7-2] (6.5점) 주어진 방정식이 오직 한 개의 실근을 갖기 위한 \(k\)의 값의 범위를 구하고, 이를 만족하는 가장 작은 양의 정수 \(k\)를 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] 극댓값 \(f(0) = 0\), 극솟값 \(f(2) = -8\) | [7-2] \(k < 0\) 또는 \(k > 8\), 최소 양의 정수 \(k = 9\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(2x^3 - 6x^2 = -k\)로 놓고 \(f(x) = 2x^3 - 6x^2\)의 도함수 \(f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2) = 0\)을 푼다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x)\)는 \(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 0\)을 갖고, \(x = 2\)에서 극솟값 \(f(2) = 16 - 24 = -8\)을 갖는다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 직선 \(y = -k\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 한 점에서만 만나려면 \(-k > 0\) 또는 \(-k < -8\), 즉 \(k < 0\) 또는 \(k > 8\)이어야 하므로 최소의 양의 정수는 \(k = 9\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• \(f'(x) = 6x(x-2) = 0\) 및 극댓값 \(0\), 극솟값 \(-8\) 산출 +6점
소문항 [7-2] (6.5점)	• \(k < 0\) 또는 \(k > 8\) 도출 +3.5점 / 최소 양의 정수 \(k = 9\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 중근을 갖는 경계 \(k = 0, 8\)에서는 서로 다른 두 실근(한 실근과 한 중근)을 가지므로 등호를 포함하지 않아야 합니다.

[문항 8] 정적분으로 정의된 함수의 극댓값과 극솟값

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 2t - 3)\,dt\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 도함수 \(F'(x)\)를 구하고 함수 \(F(x)\)가 극대·극소가 되는 \(x\)의 값을 각각 구하시오.

[8-2] (6.5점) 함수 \(F(x)\)의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(x = -1\)에서 극대, \(x = 3\)에서 극소 | [8-2] \(\dfrac{32}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분과 미분의 관계에 의해 \(F'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(F'(x)\)의 부호를 조사하면 \(x = -1\)에서 극댓값 \(F(-1) = \int_{0}^{-1} (t^2 - 2t - 3)\,dt = \dfrac{5}{3}\)을 갖고, \(x = 3\)에서 극솟값 \(F(3) = -9\)를 갖는다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 극댓값과 극솟값의 차는 \(F(-1) - F(3) = \int_{-1}^{3} (-t^2 + 2t + 3)\,dt = \dfrac{1}{6}(3 - (-1))^3 = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• \(F'(x) = (x+1)(x-3) = 0\) 도출 및 \(x=-1\) 극대, \(x=3\) 극소 판정 +6점
소문항 [8-2] (6.5점)	• \(F(-1) = \dfrac{5}{3},\; F(3) = -9\) 또는 정적분 공식 적용 +3.5점 / 극값 차 \(\dfrac{32}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 \(F(x)\)의 두 극값의 차는 도함수 \(F'(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이 \(\int_{-1}^{3} |F'(t)|\,dt\)와 같다는 성질을 쓰면 매우 빠릅니다.