[1줄: 공식선언 (30%)] \(\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x-2} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3x-6}\)이고, 밑 \(\dfrac{1}{3}\)이 \(0\)과 \(1\) 사이의 수이므로 지수의 부등호 방향이 반대로 바뀐다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^2 - 4x \le 3x - 6 \iff x^2 - 7x + 6 \le 0 \iff (x - 1)(x - 6) \le 0\)이므로 \(1 \le x \le 6\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 정수 \(x\)는 \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)이고 그 합은 \(\dfrac{6 \times 7}{2} = 21\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑과 진수 조건에 의해 \(x > 0,\; x \ne 1\)이고, 밑변환 공식에 의해 \(\log_x 16 = \dfrac{4}{\log_2 x}\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(t = \log_2 x\)로 치환하면 \(t + \dfrac{4}{t} = 5 \iff t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0\)이므로 \(t = 1\) 또는 \(t = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log_2 x = 1 \implies x = 2\)이고 \(\log_2 x = 4 \implies x = 16\)이며 두 실근의 합은 \(2 + 16 = 18\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(a > 0, b > 0\)이므로 주기는 \(\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{\pi}{2}\), 최댓값은 \(a + c = 7\), 최솟값은 \(-a + c = -1\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{\pi}{2} \implies b = 4\)이고, \(a + c = 7\)과 \(-a + c = -1\)을 연립하면 \(a = 4,\; c = 3\)이므로 \(f(x) = 4\cos(4x) + 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 4\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + 3 = 4 \times \dfrac{1}{2} + 3 = 5\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 공비 \(r \ne 1\)에 대하여 \(S_6 = \dfrac{a_1(r^6 - 1)}{r - 1} = \dfrac{a_1(r^3 - 1)(r^3 + 1)}{r - 1} = S_3(1 + r^3)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(1 + r^3 = \dfrac{63}{7} = 9 \implies r^3 = 8 \implies r = 2\)이고, \(S_3 = a_1(1 + 2 + 4) = 7a_1 = 7 \implies a_1 = 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(S_9 = \dfrac{1 \cdot (2^9 - 1)}{2 - 1} = 512 - 1 = 511\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to -1\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴하여 \(1 - a + b = 0 \implies b = a - 1\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자 \(x^2 + ax + (a - 1) = (x + 1)(x + a - 1)\)이므로 \((x + 1)\)을 약분하면 \(\lim_{x \to -1} (x + a - 1) = a - 2 = -5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a = -3,\; b = -4\)이고 \(a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(x = -1\)에서 극댓값 \(6\)을 가지므로 \(f'(-1) = 0\)이고 \(f(-1) = 6\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)에서 \(f'(-1) = 3 - 2a + b = 0\)이고 \(f(-1) = -1 + a - b + 2 = 6 \implies a - b = 5\)이므로 연립하면 \(a = -2,\; b = -7\) 대신 \(3 - 2a + (a - 5) = 0 \implies a = -2,\; b = -7\)이다. (만약 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\)이면 \(f(-1)=6,\; f'(-1)=0\)이므로 상수항이 \(1\)일 때 \(a=-3, b=-9\)이고, 문제의 상수항 \(+2\) 기준으로는 \(a = -2,\; b = -7\)이다.)

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a = -2,\; b = -7\)일 때 \(f'(x) = 3x^2 - 4x - 7 = (x + 1)(3x - 7) = 0\)이므로 \(x = \dfrac{7}{3}\)에서 극솟값 \(f\left(\dfrac{7}{3}\right) = -\dfrac{484}{27}\)을 갖는다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1) = 0\)이므로 임계점은 \(x = -1, 0, 1\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \([-1, 2]\)에서 각 함숫값을 구하면 \(f(-1) = 2,\; f(0) = 3,\; f(1) = 2,\; f(2) = 16 - 8 + 3 = 11\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최댓값은 \(M = 11\), 최솟값은 \(m = 2\)이고 \(M + m = 13\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 방정식 \(x^2 - 3x - 1 = x + 4\)를 정리하면 \(x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 두 교점의 \(x\)좌표는 \(\alpha = -1,\; \beta = 5\)이고 구간 \([-1, 5]\)에서 직선이 곡선보다 위쪽에 있다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘러싸인 넓이는 \(S = \int_{-1}^{5} (-x^2 + 4x + 5)\,dx = \dfrac{1}{6}(5 - (-1))^3 = \dfrac{216}{6} = 36\)이다.