2027학년도 대비 서경대학교 약술형 논술 모의고사 1회 (해설집)

2027학년도 대비 서경대학교 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음)

[문항 1] 거듭제곱근의 곱셈·나눗셈과 유리수 지수 간단히 하기

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

두 실수 \(A = \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{-16}\)과 \(B = \left(8^{\frac{1}{2}} \times 4^{-\frac{1}{4}}\right)^2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) 거듭제곱근의 성질을 이용하여 \(A\)를 \(k\sqrt[3]{2}\) 꼴로 나타내고 유리수 \(k\)의 값을 구하시오.

[1-2] (6.5점) 지수법칙을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(k + B\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(A = 5\sqrt[3]{2},\; k = 5\) | [1-2] \(B = 4,\; k + B = 9\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\sqrt[3]{a^3 b} = a\sqrt[3]{b}\)와 지수법칙 \((2^p)^q = 2^{pq}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}\)이고 \(\sqrt[3]{-16} = \sqrt[3]{(-8) \times 2} = -2\sqrt[3]{2}\)이므로 \(A = 3\sqrt[3]{2} - (-2\sqrt[3]{2}) = 5\sqrt[3]{2}\)에서 \(k = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = \left(2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = (2^1)^2 = 4\)이므로 \(k + B = 5 + 4 = 9\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2},\; \sqrt[3]{-16}=-2\sqrt[3]{2}\) 변환 +3점 / \(k = 5\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (6.5점)	• 밑을 \(2\)로 통일하여 \(B = 4\) 도출 +3.5점 / \(k + B = 9\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 홀수차 제곱근에서 음수 부호는 근호 밖으로 그대로 나와 \(-(-2\sqrt[3]{2}) = +2\sqrt[3]{2}\)가 됨에 유의합니다.

[문항 2] 로그의 성질과 진수의 거듭제곱 소거 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

두 실수 \(M = 2\log_5 10 + \log_5 0.25\)와 \(N = 9^{\log_3 5}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) 밑이 \(5\)인 로그의 성질을 이용하여 \(M\)의 값을 구하시오.

[2-2] (6.5점) 로그의 성질 \(a^{\log_b c} = c^{\log_b a}\)를 이용하여 \(N\)의 값을 구하고 \(M + N\)을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(M = 2\) | [2-2] \(N = 25,\; M + N = 27\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(k\log_a x + \log_a y = \log_a(x^k y)\)와 \(a^{\log_b c} = c^{\log_b a}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(M = \log_5(10^2 \times 0.25) = \log_5(100 \times \dfrac{1}{4}) = \log_5 25 = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(N = 9^{\log_3 5} = 5^{\log_3 9} = 5^2 = 25\)이므로 \(M + N = 2 + 25 = 27\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(\log_5(100 \times 0.25) = \log_5 25\) 식 제시 +3점 / \(M = 2\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (6.5점)	• \(N = 5^{\log_3 9} = 25\) 도출 +3.5점 / \(M + N = 27\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 소수 \(0.25 = \dfrac{1}{4}\)로 분수 변환하면 \(100 \times \dfrac{1}{4} = 25 = 5^2\)으로 즉시 정리됩니다.

[문항 3] 동경이 위치한 사분면의 부호 판정과 삼각함수의 값

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

\(\sin\theta\cos\theta < 0\)이고 \(\cos\theta\tan\theta > 0\)을 동시에 만족시키는 각 \(\theta\)가 \(\cos\theta = -\dfrac{5}{13}\)을 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) 주어진 부등식 조건으로부터 각 \(\theta\)가 제몇 사분면의 각인지 판정하고 \(\sin\theta\)의 부호를 결정하시오.

[3-2] (6.5점) \(13\sin\theta + 12\tan\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] 제2사분면, \(\sin\theta > 0\) | [3-2] \(-\dfrac{84}{5}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\cos\theta\tan\theta = \cos\theta \cdot \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sin\theta > 0\)이고, \(\sin\theta\cos\theta < 0\)이므로 \(\cos\theta < 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 \(\theta\)는 제2사분면의 각이고, \(\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}\)이며 \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\dfrac{12}{5}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 그러므로 \(13\sin\theta + 12\tan\theta = 13\left(\dfrac{12}{13}\right) + 12\left(-\dfrac{12}{5}\right) = 12 - \dfrac{144}{5} = -\dfrac{84}{5}\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(\sin\theta > 0,\; \cos\theta < 0\)으로 제2사분면 판정 +6점
소문항 [3-2] (6.5점)	• \(\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\) 산출 +3.5점 / 최종값 \(-\dfrac{84}{5}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\cos\theta\tan\theta\)를 약분하면 곧바로 \(\sin\theta\)의 부호를 알 수 있다는 점을 활용하면 시간을 절약할 수 있습니다.

[문항 4] 등차중항과 등차수열의 일반항 및 부분합

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 유제 4 변형 | 성취기준: 12대수03-01, 12대수03-02]

등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_3 + a_7 = 24\)이고 \(a_8 - a_4 = 12\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) 등차중항의 성질과 공차의 정의를 이용하여 제\(5\)항 \(a_5\)와 공차 \(d\), 첫째항 \(a_1\)을 각각 구하시오.

[4-2] (6.5점) 첫째항부터 제\(10\)항까지의 합 \(S_{10}\)을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(a_5 = 12,\; d = 3,\; a_1 = 0\) | [4-2] \(S_{10} = 135\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 등차중항 성질 \(a_3 + a_7 = 2a_5\)와 항의 차 공식 \(a_8 - a_4 = 4d\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2a_5 = 24 \implies a_5 = 12\)이고, \(4d = 12 \implies d = 3\)이므로 \(a_1 = a_5 - 4d = 12 - 12 = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 일반항은 \(a_n = 3(n - 1)\)이므로 \(S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} = \dfrac{10(0 + 27)}{2} = 135\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(a_5 = 12,\; d = 3,\; a_1 = 0\) 각각 산출 +6점
소문항 [4-2] (6.5점)	• 등차수열 합 공식 대입 +3점 / \(S_{10} = 135\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_3 + a_7\)을 \(2a_1 + 8d\)로 풀어도 되지만 등차중항 \(2a_5 = 24\)를 쓰면 암산 수준으로 빠르게 해결됩니다.

[문항 5] 유리식의 인수분해 약분과 부정형 극한값 계산

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

두 극한값 \(P = \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 27}{x^2 - x - 6}\)과 \(Q = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(2x + 1)(3x - 2)}{x^2 + 4x + 5}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) 분모와 분자를 각각 인수분해하여 공통인수 \((x - 3)\)을 약분하는 과정을 서술하고 \(P\)의 값을 구하시오.

[5-2] (6.5점) \(Q\)의 값을 구하고 \(5P + Q\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(P = \dfrac{27}{5}\) | [5-2] \(Q = 6,\; 5P + Q = 33\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 세제곱 차 인수분해 \(x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\)와 \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x \ne 3\)이므로 \((x - 3)\)을 약분하면 \(P = \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 + 3x + 9}{x + 2} = \dfrac{9 + 9 + 9}{3 + 2} = \dfrac{27}{5}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(Q\)는 분모·분자를 \(x^2\)으로 나누면 최고차항의 계수비 \(Q = \dfrac{2 \times 3}{1} = 6\)이므로 \(5P + Q = 27 + 6 = 33\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \((x-3)\) 인수분해 및 약분 식 제시 +3점 / \(P = \dfrac{27}{5}\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (6.5점)	• \(Q = 6\) 산출 +3점 / \(5P + Q = 33\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 서경대 약술형에서는 로피탈의 정리 없이 인수분해 약분식을 한 줄만 적어 주어도 과정 점수를 100% 확보합니다.

[문항 6] 미분계수의 정의를 이용한 극한식의 변형

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

다항함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[6-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 \(f(1)\)과 \(f'(1)\)의 값을 각각 구하시오.

[6-2] (6.5점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 3h) - f(1 - 2h)}{h}\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 f(1) - f(x)}{x - 1}\)을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(f(1) = 3,\; f'(1) = 4\) | [6-2] \(20\) 및 \(2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 5\)이므로 \(f(1) = 1 - 2 + 5 - 1 = 3\)이고 \(f'(1) = 3 - 4 + 5 = 4\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 3h) - f(1) - \{f(1 - 2h) - f(1)\}}{h} = 3f'(1) - (-2)f'(1) = 5f'(1) = 20\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2 - 1)f(1) - \{f(x) - f(1)\}}{x - 1} = 2f(1) - f'(1) = 2(3) - 4 = 2\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 5\) 및 \(f(1)=3,\; f'(1)=4\) 산출 +6점
소문항 [6-2] (6.5점)	• \(5f'(1) = 20\) 산출 +3점 / \(2f(1) - f'(1) = 2\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: \(x^2 f(1) - f(x)\) 꼴의 분자에는 반드시 \(-f(1) + f(1)\)을 더하고 빼서 미분계수의 정의 형태로 쪼개야 합니다.

[문항 7] 주어진 직선에 수직인 곡선의 접선의 방정식

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 4\)에 접하고 직선 \(x + 9y - 5 = 0\)에 수직인 직선에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, 접점의 \(x\)좌표는 양수이다.)

[7-1] (6점) 직선 \(x + 9y - 5 = 0\)에 수직인 접선의 기울기를 구하고, 양수인 접점의 좌표를 구하시오.

[7-2] (6.5점) 구하는 접선의 방정식과 그 접선의 \(y\)절편을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] 기울기 \(9\), 접점 \((3, 4)\) | [7-2] \(y = 9x - 23\), \(y\)절편 \(-23\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 직선 \(y = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{5}{9}\)에 수직인 직선의 기울기는 \(m = 9\)이고, \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)의 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 접점의 \(x\)좌표를 \(t > 0\)이라 하면 \(f'(t) = 3t^2 - 6t = 9 \iff 3(t - 3)(t + 1) = 0\)에서 \(t = 3\)이고, \(f(3) = 27 - 27 + 4 = 4\)이므로 접점은 \((3, 4)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 접선의 방정식은 \(y - 4 = 9(x - 3) \implies y = 9x - 23\)이고 \(y\)절편은 \(-23\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• 수직 기울기 \(9\) 및 \(3t^2 - 6t = 9\) 수립 +3점 / 양수 접점 \((3, 4)\) 산출 +3점
소문항 [7-2] (6.5점)	• 접선의 방정식 \(y = 9x - 23\) 도출 +3.5점 / \(y\)절편 \(-23\) 명시 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 단서 조건 `(단, 접점의 x좌표는 양수이다.)`에 의해 \(t = -1\)을 버리고 \(t = 3\)만 택해야 감점이 없습니다.

[문항 8] 구간 결합 성질을 이용한 정적분의 계산

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 유제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

다항식 적분식 \(I = \int_{0}^{2} (3x^2 + 4x - 1)\,dx + \int_{2}^{3} (3t^2 + 4t - 1)\,dt\)와 \(J = \int_{0}^{3} |x^2 - 2x|\,dx\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 정적분의 구간 결합 성질을 이용하여 \(I\)를 하나의 정적분으로 합치고 그 값을 구하시오.

[8-2] (6.5점) 피적분함수의 부호가 바뀌는 \(x = 2\)를 기준으로 구간을 나누어 \(J\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(I = 42\) | [8-2] \(J = \dfrac{8}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분은 적분변수의 기호에 무관하며 \(\int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\)가 성립한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(I = \int_{0}^{3} (3x^2 + 4x - 1)\,dx = \Bigl[x^3 + 2x^2 - x\Bigr]_{0}^{3} = 27 + 18 - 3 = 42\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x(x - 2)\)는 \([0, 2]\)에서 음수이므로 \(J = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x)\,dx = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}\)이다.

배점 단계	서경대학교 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• \(\int_0^3 (3x^2+4x-1)\,dx\) 결합 식 제시 +3점 / \(I = 42\) 산출 +3점
소문항 [8-2] (6.5점)	• 구간 \([0, 2]\)와 \([2, 3]\) 절댓값 분리 +3.5점 / \(J = \dfrac{8}{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 절댓값이 포함된 정적분은 반드시 피적분함수가 \(0\)이 되는 \(x = 2\)에서 구간을 쪼개어 부호를 벗겨야 합니다.