1) 매개변수 \(t\)에 대한 미분:

\[ \dfrac{dx}{dt} = 6\cos^2 t (-\sin t) = -6\cos^2 t\sin t, \qquad \dfrac{dy}{dt} = 6\sin^2 t \cos t \]

\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\dfrac{dx}{dt} \ne 0\)이므로 곡선의 접선의 기울기는:

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{6\sin^2 t\cos t}{-6\cos^2 t\sin t} = -\dfrac{\sin t}{\cos t} = -\tan t \]

2) 점 \((2\cos^3 t, 2\sin^3 t)\)에서의 접선의 방정식:

\[ y - 2\sin^3 t = -\dfrac{\sin t}{\cos t}(x - 2\cos^3 t) \iff y\cos t - 2\sin^3 t\cos t = -x\sin t + 2\cos^3 t\sin t \]

양변을 정리하면 \(x\sin t + y\cos t = 2\sin t\cos t(\cos^2 t + \sin^2 t) = 2\sin t\cos t\)이므로:

\[ x\sin t + y\cos t = \sin 2t \quad \left(\text{또는 } y = -\tan t \cdot x + 2\sin t\right) \]

접선 방정식 \(x\sin t + y\cos t = 2\sin t\cos t\)에서:

\[ \begin{aligned} y=0 \text{ 대입} &\implies x\sin t = 2\sin t\cos t \implies x = 2\cos t \implies \mathrm{A}(2\cos t, 0) \\ x=0 \text{ 대입} &\implies y\cos t = 2\sin t\cos t \implies y = 2\sin t \implies \mathrm{B}(0, 2\sin t) \end{aligned} \]

두 점 사이의 거리 공식에 의해 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이 \(L(t)\)는:

\[ L(t) = \sqrt{(2\cos t - 0)^2 + (0 - 2\sin t)^2} = \sqrt{4\cos^2 t + 4\sin^2 t} = \sqrt{4(\cos^2 t + \sin^2 t)} = \sqrt{4} = 2 \]

따라서 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이는 \(t\)의 값에 관계없이 항상 2로 일정하다. (증명 완료)

1) 곡선의 호의 길이 적분:

\[ \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{36\cos^4 t\sin^2 t + 36\sin^4 t\cos^2 t} = 6\sin t\cos t\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 6\sin t\cos t = 3\sin 2t \]

따라서 제1사분면 호의 길이는:

\[ \int_0^{\pi/2} 3\sin 2t\,dt = \Big[ -\dfrac{3}{2}\cos 2t \Big]_0^{\pi/2} = \left(-\dfrac{3}{2}(-1)\right) - \left(-\dfrac{3}{2}(1)\right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3 \]

2) 직각삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이 \(S(t)\):

\[ S(t) = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{OA}} \cdot \overline{\mathrm{OB}} = \dfrac{1}{2} \cdot (2\cos t) \cdot (2\sin t) = 2\sin t\cos t = \sin 2t \]

\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(0 < 2t < \pi\)이다. 따라서 \(2t = \dfrac{\pi}{2}\), 즉 \(t = \dfrac{\pi}{4}\)일 때 넓이 \(S(t)\)는 최댓값 1을 갖는다.

1) \(\sin(-x) = -\sin x\)이므로:

\[ f(-x) = \dfrac{1}{1 + e^{\sin(-x)}} = \dfrac{1}{1 + e^{-\sin x}} = \dfrac{e^{\sin x}}{e^{\sin x} + 1} \]

따라서 \(f(x) + f(-x) = \dfrac{1}{1 + e^{\sin x}} + \dfrac{e^{\sin x}}{1 + e^{\sin x}} = \dfrac{1 + e^{\sin x}}{1 + e^{\sin x}} = 1\). (증명 완료)

2) 정적분 \(I = \int_{-\pi}^\pi x^2 f(x)\,dx\)에서 \(x = -u\)로 치환하면 \(I = \int_{-\pi}^\pi u^2 f(-u)\,du\)이다.

\[ 2I = \int_{-\pi}^\pi x^2 f(x)\,dx + \int_{-\pi}^\pi x^2 f(-x)\,dx = \int_{-\pi}^\pi x^2 \Big( f(x) + f(-x) \Big)\,dx = \int_{-\pi}^\pi x^2 \cdot 1\,dx \] \[ 2I = 2\int_0^\pi x^2\,dx = 2 \Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^\pi = \dfrac{2\pi^3}{3} \implies I = \dfrac{\pi^3}{3} \]

\(x = \pi - t\)로 치환하면 \(dx = -dt\)이고, \(\sin(\pi - t) = \sin t\), \(\cos^2(\pi - t) = (-\cos t)^2 = \cos^2 t\)이다.

\[ J = \int_\pi^0 \dfrac{(\pi - t)\sin(\pi - t)}{1 + \cos^2(\pi - t)}(-dt) = \int_0^\pi \dfrac{(\pi - t)\sin t}{1 + \cos^2 t}\,dt = \pi \int_0^\pi \dfrac{\sin t}{1 + \cos^2 t}\,dt - J \]

따라서 \(2J = \pi \int_0^\pi \dfrac{\sin t}{1 + \cos^2 t}\,dt\). 여기서 \(u = \cos t\)로 치환하면 \(du = -\sin t\,dt\):

\[ \int_0^\pi \dfrac{\sin t}{1 + \cos^2 t}\,dt = \int_1^{-1} \dfrac{-du}{1 + u^2} = \int_{-1}^1 \dfrac{du}{1 + u^2} = \Big[\arctan u\Big]_{-1}^1 = \dfrac{\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{2} \] \[ 2J = \pi \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi^2}{2} \implies J = \dfrac{\pi^2}{4} \]

주어진 무한급수 식을 리만 합의 표준형태인 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n g\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\dfrac{\pi}{n}\) 형태로 변형하기 위해 식을 재배열한다:

\[ \dfrac{k}{n^2} \dfrac{\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{1 + \cos^2\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)} = \dfrac{1}{\pi^2} \cdot \left(\dfrac{k\pi}{n}\right) \dfrac{\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{1 + \cos^2\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)} \cdot \left(\dfrac{\pi}{n}\right) \]

따라서 무한급수는 다음과 같이 정적분으로 변환된다:

\[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2} \dfrac{\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{1 + \cos^2\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)} &= \dfrac{1}{\pi^2} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k\pi}{n}\right) \dfrac{\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{1 + \cos^2\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)} \left(\dfrac{\pi}{n}\right) \\ &= \dfrac{1}{\pi^2} \int_0^\pi \dfrac{x\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx \end{aligned} \]

(2-2)에서 구한 정적분 결과 \(J = \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{x\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx = \dfrac{\pi^2}{4}\)를 대입하면:

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2} \dfrac{\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{1 + \cos^2\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)} = \dfrac{1}{\pi^2} \cdot \dfrac{\pi^2}{4} = \dfrac{1}{4} \]

1) 직선 \(y = -x + t\)는 기울기가 \(-1\)로 직선 \(y=x\)와 수직이다. 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이므로, 두 곡선이 직선 \(y = -x + t\)와 만나는 두 점 \(\mathrm{A, B}\)는 직선 \(y=x\)에 대하여 서로 대칭이다.

점 \(\mathrm{A}(s, f(s)) = (s, s^3+3s)\)의 대칭점은 점 \(\mathrm{B}(f(s), s) = (s^3+3s, s)\)이다.

2) 점 \(\mathrm{A}\)가 직선 \(y = -x + t\) 위의 점이므로:

\[ s^3 + 3s = -s + t \iff t = s^3 + 4s \]

3) 두 점 \(\mathrm{A, B}\) 사이의 거리 \(\ell(t)\)는:

\[ \ell(t) = \sqrt{\Big( (s^3+3s) - s \Big)^2 + \Big( s - (s^3+3s) \Big)^2} = \sqrt{2 (s^3+2s)^2} = \sqrt{2} |s^3+2s| \]

\(t \ge 0\)일 때 \(s \ge 0\)이므로 \(\ell(t) = \sqrt{2}(s^3+2s)\)이다.

\(t=5\)일 때: \(s^3 + 4s = 5 \iff (s-1)(s^2+s+5) = 0\). 실근은 유일하게 \(s = 1\)이다.

연쇄법칙(Chain Rule)에 의해 \(\ell'(t) = \dfrac{d\ell}{dt} = \dfrac{d\ell}{ds} \cdot \dfrac{ds}{dt} = \dfrac{\dfrac{d\ell}{ds}}{\dfrac{dt}{ds}}\)이다.

\[ \dfrac{dt}{ds} = \dfrac{d}{ds}(s^3+4s) = 3s^2 + 4 \implies s=1 \text{일 때 } \dfrac{dt}{ds} = 3(1)^2 + 4 = 7 \] \[ \dfrac{d\ell}{ds} = \dfrac{d}{ds}\Big[\sqrt{2}(s^3+2s)\Big] = \sqrt{2}(3s^2+2) \implies s=1 \text{일 때 } \dfrac{d\ell}{ds} = \sqrt{2}(3+2) = 5\sqrt{2} \]

따라서 구하는 미분계수는:

\[ \ell'(5) = \dfrac{5\sqrt{2}}{7} \]

1) 일계도함수 \(\ell'(t)\)를 \(s\)의 유리함수로 표현하면:

\[ \ell'(t) = \dfrac{\dfrac{d\ell}{ds}}{\dfrac{dt}{ds}} = \sqrt{2} \dfrac{3s^2+2}{3s^2+4} = \sqrt{2}\left(1 - \dfrac{2}{3s^2+4}\right) \]

2) 이계도함수 \(\ell''(t)\)는 연쇄법칙에 의해 다음과 같다:

\[ \ell''(t) = \dfrac{d}{dt}\left[\ell'(t)\right] = \dfrac{d}{ds}\left[\sqrt{2}\left(1 - \dfrac{2}{3s^2+4}\right)\right] \cdot \dfrac{ds}{dt} \]

괄호 안의 식을 \(s\)에 대해 미분하면:

\[ \dfrac{d}{ds}\left(-\dfrac{2}{3s^2+4}\right) = \dfrac{2 \cdot 6s}{(3s^2+4)^2} = \dfrac{12s}{(3s^2+4)^2} \]

\(\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{1}{3s^2+4}\)이므로 대입하여 정리하면:

\[ \ell''(t) = \sqrt{2} \cdot \dfrac{12s}{(3s^2+4)^2} \cdot \dfrac{1}{3s^2+4} = \dfrac{12\sqrt{2}s}{(3s^2+4)^3} \]

3) \(t > 0\)일 때 \(s^3+4s > 0\)이므로 \(s > 0\)이다.
따라서 분자 \(12\sqrt{2}s > 0\)이고, 분모 \((3s^2+4)^3 > 0\)이므로 모든 \(t > 0\)에 대하여 \(\ell''(t) > 0\)이 성립한다.
이계도함수가 양수이므로 곡선 \(y = \ell(t)\)는 열린구간 \((0, \infty)\)에서 아래로 볼록(Convex)하다. (증명 완료)