2027학년도 세종대학교 자연계열 모의고사 5회 문제지

[문제 1] 매개변수 곡선의 접선, 절편 선분 불변성 및 호의 길이 기하 · 미적분 융합

매개변수 \(t\) \(\left(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\right)\)로 나타낸 곡선 \(C\)가 다음과 같이 주어져 있다. \[ x(t) = 2\cos^3 t, \qquad y(t) = 2\sin^3 t \] 다음 물음에 각각 답하시오.

(1-1)

곡선 \(C\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x(t), y(t))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오. (20점)

(1-2)

(1-1)에서 구한 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{A}\), \(y\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{B}\)라 할 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이 \(L(t)\)가 \(t\)의 값에 관계없이 항상 일정함을 증명하시오. (25점)

(1-3)

제1사분면에 있는 곡선 \(C\)의 호의 길이 \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\)를 구하고, 선분 \(\mathrm{OA}\)와 선분 \(\mathrm{OB}\)로 둘러싸인 직각삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이의 최댓값을 구하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이다.) (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 5회 [문제 1]

[문제 2] 점대칭 초월함수 정적분과 구분구적법 킬러 치환적분 & 무한급수

함수 \(f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{\sin x}}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(2-1)

모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(-x) = 1\)임을 증명하고, 이를 이용하여 정적분 \(I = \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{x^2}{1 + e^{\sin x}}\,dx\)의 값을 구하시오. (25점)

(2-2)

정적분 \(J = \displaystyle\int_0^{\pi} \dfrac{x \sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx\)에 대하여, 치환 \(x = \pi - t\)를 적용하여 대칭성을 규명하고 \(J\)의 값을 구하시오. (25점)

(2-3)

무한급수와 정적분의 관계(리만 합)를 이용하여 다음 극한값을 구하시오. (30점) \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2} \dfrac{\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)}{1 + \cos^2\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)} \]

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 5회 [문제 2]

[문제 3] 역함수 교점 거리함수의 미분계수 및 볼록성 추론 미적분 최고난도 킬러

함수 \(f(x) = x^3 + 3x\)는 실수 전체에서 증가하므로 역함수 \(g(x)\)를 갖는다.
실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = -x + t\)가 곡선 \(y=f(x)\)와 만나는 점을 \(\mathrm{A}\), 곡선 \(y=g(x)\)와 만나는 점을 \(\mathrm{B}\)라 하고, 두 점 \(\mathrm{A, B}\) 사이의 거리를 \(\ell(t)\)라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(3-1)

점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표를 \(s\)라 할 때, 점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표를 각각 \(s\)로 나타내고, \(t\)와 \(s\) 사이의 관계식 및 거리함수 \(\ell(t)\)를 \(s\)에 대한 식으로 나타내시오. (25점)

(3-2)

\(t = 5\)일 때, 미분계수 \(\ell'(5)\)의 값을 음함수의 미분법 또는 매개변수 미분법을 이용하여 구하시오. (30점)

(3-3)

\(t > 0\)에서 이계도함수 \(\ell''(t)\)를 \(s\)에 관한 식으로 나타내고, \(\ell''(t) > 0\)임을 증명하여 곡선 \(y = \ell(t)\)가 열린구간 \((0, \infty)\)에서 아래로 볼록함을 논증하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 5회 [문제 3]