2027학년도 세종대학교 자연계열 실전모의고사 4회 문제지

[문제 1] 정적분 점화식과 수열의 극한 및 무한급수 합 수학Ⅱ · 미적분

음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 정적분 \(I_n\)을 다음과 같이 정의하자. \[ I_n = \int_0^1 x^n e^{-x}\,dx \quad (n = 0, 1, 2, \dots) \] 다음 물음에 각각 답하시오.

(1-1)

\(I_0\)의 값을 구하고, 부분적분법을 이용하여 \(n \ge 1\)일 때 \(I_n\)과 \(I_{n-1}\) 사이의 점화식을 구하시오. (20점)

(1-2)

(1-1)의 결과를 바탕으로, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법 또는 점화식 전개를 통해 증명하시오. (25점) \[ \dfrac{I_n}{n!} = 1 - e^{-1} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \]

(1-3)

부등식 \(e^{-1} \le e^{-x} \le 1\) (\(0 \le x \le 1\))을 활용하여 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} I_n\)을 구하고, 이를 통해 \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{k!} = e\)임을 논증하시오. 나아가 극한값 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+1)I_n\)을 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 4회 [문제 1]

[문제 2] 삼각함수 절댓값 정적분과 함수의 최솟값 수학Ⅰ · 미적분

실수 \(a\) (\(-1 \le a \le 1\))에 대하여 함수 \(F(a)\)를 다음과 같이 정의하자. \[ F(a) = \int_0^{\pi} |\cos x - a|\,dx \] \(\cos\alpha = a\)를 만족시키는 유일한 실수 \(\alpha \in [0, \pi]\)를 활용하여 다음 물음에 답하시오.

(2-1)

\(F(a)\)를 \(a\)와 \(\alpha\)에 관한 식으로 나타내시오. (25점)

(2-2)

합성함수 미분법 또는 정적분으로 정의된 함수의 성질을 이용하여 \(\dfrac{dF}{da}\)를 구하고, 구간 \([-1, 1]\)에서 \(F(a)\)가 최솟값을 갖는 \(a\)의 값과 그 최솟값을 구하시오. (25점)

(2-3)

정적분 \(\displaystyle\int_{-1}^1 F(a)\,da\)의 값을 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 4회 [문제 2]

[문제 3] 지수-삼각 함수의 변곡접선과 정적분 킬러 미적분 킬러

열린구간 \((0, 2\pi)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = e^{-x} \sin x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(3-1)

곡선 \(y=f(x)\)의 모든 극점의 좌표와 변곡점의 좌표를 각각 구하시오. (25점)

(3-2)

변곡점 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\)에서의 접선의 방정식을 구하고, 구간 \((0, 2\pi)\)에서 이 접선과 곡선 \(y=f(x)\)의 교점의 개수를 논리적으로 판정하시오. (30점)

(3-3)

정적분 \(\displaystyle\int_0^{2\pi} e^{-x} |\sin x|\,dx\)의 값을 구하고, 수열 \(a_n = \displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x} |\sin x|\,dx\) (\(n=0, 1, 2, \dots\))에 대하여 무한등비급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n\)의 합을 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 4회 [문제 3]