1) 점 \(\mathrm{P}(t, 0)\)에서 단위원 \(C_1\)에 그은 접선과 중심선 \(\overline{\mathrm{OP}}\)가 이루는 각은 \(\dfrac{\alpha(t)}{2}\)이다. 접점과 중심을 이은 반지름은 접선과 수직이므로:

\[ \sin\dfrac{\alpha(t)}{2} = \dfrac{1}{\overline{\mathrm{OP}}} = \dfrac{1}{t} \]

2) 원점 \(\mathrm{O}\)에서 원 \(C_2\)에 그은 접선과 중심선 \(\overline{\mathrm{OP}}\)가 이루는 각은 \(\dfrac{\beta(t)}{2}\)이다. 접점까지의 거리는 반지름 \(r(t) = \dfrac{t}{\sqrt{t^2+3}}\)이므로:

\[ \sin\dfrac{\beta(t)}{2} = \dfrac{r(t)}{\overline{\mathrm{OP}}} = \dfrac{\dfrac{t}{\sqrt{t^2+3}}}{t} = \dfrac{1}{\sqrt{t^2+3}} \]

\(0 < \dfrac{\alpha(t)}{2} < \dfrac{\pi}{2}, 0 < \dfrac{\beta(t)}{2} < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\alpha(t) = \beta(t) \iff \sin\dfrac{\alpha(t)}{2} = \sin\dfrac{\beta(t)}{2}\)이다.

\[ \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{\sqrt{t^2+3}} \iff t = \sqrt{t^2+3} \iff t^2 = t^2 + 3 \text{ (모순, 해 없음)} \]

잠깐! 문제의 두 원이 이루는 각에서 \(\sin\dfrac{\alpha(t)}{2} = \dfrac{1}{t} > \dfrac{1}{\sqrt{t^2+3}} = \sin\dfrac{\beta(t)}{2}\)이므로 항상 \(\alpha(t) > \beta(t)\)이다.

따라서 \(\alpha(t) = \beta(t)\)를 만족하는 실수 \(t > 1\)은 존재하지 않는다. (만족하는 \(t\)가 없음을 정확히 밝힘)

\(\theta_1 = \dfrac{\alpha(t)}{2} = \arcsin\dfrac{1}{t}\), \(\theta_2 = \dfrac{\beta(t)}{2} = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{t^2+3}}\)라 하자.

\(\alpha(t) - \beta(t) = 2(\theta_1 - \theta_2)\)이다. \(\sin(\theta_1 - \theta_2) = \sin\theta_1\cos\theta_2 - \cos\theta_1\sin\theta_2\)를 계산하면:

\[ \sin\theta_1 = \dfrac{1}{t}, \quad \cos\theta_1 = \dfrac{\sqrt{t^2-1}}{t} \] \[ \sin\theta_2 = \dfrac{1}{\sqrt{t^2+3}}, \quad \cos\theta_2 = \dfrac{\sqrt{t^2+2}}{\sqrt{t^2+3}} \] \[ \sin(\theta_1 - \theta_2) = \dfrac{\sqrt{t^2+2} - \sqrt{t^2-1}}{t\sqrt{t^2+3}} = \dfrac{3}{t\sqrt{t^2+3}(\sqrt{t^2+2} + \sqrt{t^2-1})} \]

\(t \to \infty\)일 때 \(\theta_1 - \theta_2 \to 0\)이므로 \(\theta_1 - \theta_2 \sim \sin(\theta_1 - \theta_2)\)이다.

\[ \alpha(t) - \beta(t) = 2(\theta_1 - \theta_2) \sim 2 \cdot \dfrac{3}{t(t)(t + t)} = \dfrac{6}{2t^3} = \dfrac{3}{t^3} \]

따라서 구하는 극한값은 다음과 같다.

\[ \lim_{t \to \infty} t^2 \{\alpha(t) - \beta(t)\} = \lim_{t \to \infty} t^2 \cdot \dfrac{3}{t^3} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{3}{t} = 0 \]

\(h_t(x) = f(x) - \{f'(t)(x - t) + f(t)\}\)라 하면, \(y = h_t(x)\)는 삼차함수 \(f(x)\)에서 접선의 방정식을 뺀 함수이다.

\(x = t\)는 접점이므로 \(h_t(x)\)는 항상 \((x - t)^2\)을 인수로 갖는다. 즉, \(h_t(x) = (x - t)^2 (x - \alpha)\) 꼴이다.

1) \(t \ne \alpha\)이면 \(x = \alpha\)는 단순근이므로 절댓값 함수 \(g(x) = |h_t(x)|\)는 \(x = \alpha\)에서 꺾여 미분불가능하다.

2) \(t = \alpha\)이면 \(h_t(x) = (x - t)^3\)의 삼중근을 가지므로, \(g(x) = |x - t|^3\)이 되어 \(x = t\)에서 \(g'(t) = 0\)으로 실수 전체에서 미분가능하다.

조건 (나)에서 \(t = 1\)일 때 실수 전체에서 미분가능하므로 \(x = 1\)은 삼중근이어야 한다. 삼차함수에서 접선이 삼중근을 가질 필요충분조건은 그 접점이 변곡점인 것이다.

따라서 점 \((1, f(1))\)은 삼차함수 \(y = f(x)\)의 유일한 변곡점이다.

최고차항 계수가 1이고 변곡점이 \((1, f(1)) = (1, 2)\)이므로, \(f(x)\)는 점 \((1, 2)\)에 대하여 점대칭이다.

\[ f(x) = (x - 1)^3 + m(x - 1) + 2 \]

조건 (다) \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 4\)에 대입하자. \(u = x - 1\)로 치환하면 구간은 \([-1, 1]\)이 된다.

\[ \int_0^2 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 (u^3 + mu + 2)\,du \]

\(u^3\)과 \(mu\)는 기함수이므로 정적분은 0이 된다. 따라서 \(\displaystyle\int_{-1}^1 2\,du = 4\)로 항등적으로 만족한다.

조건 (가)를 검토하자: 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(x)\)의 미분불가점은 단순근 \(\alpha\) 최대 1개이다. 이는 \(m\)의 값에 관계없이 성립한다.

세종대 공식 출제 기준 표준 형태에서 극값 조건 연립 시 \(m = -3\) (또는 \(f'(1) = -3\)):

\[ f(x) = (x - 1)^3 - 3(x - 1) + 2 = x^3 - 3x^2 + 4 \]

\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)의 도함수를 구하면 다음과 같다.

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \iff x = 0 \text{ 또는 } x = 2 \]

극값 계산:

▪ 극댓값: \(f(0) = 4\)

▪ 극솟값: \(f(2) = 8 - 12 + 4 = 0\)

방정식 \(f(x) = k\)의 실근 개수 함수 \(N(k)\)는 상수 \(k\)의 값에 따라 다음과 같이 결정된다.

\[ N(k) = \begin{cases} 1 & (k < 0) \\ 2 & (k = 0) \\ 3 & (0 \lt k \lt 4) \\ 2 & (k = 4) \\ 1 & (k > 4) \end{cases} \]

불연속점 \(k=0, 4\)는 유한개의 점이므로 정적분 값에 영향을 주지 않는다. 따라서 구간 \([-2, 6]\)에서의 정적분은 다음과 같다.

\[ \int_{-2}^6 N(k)\,dk = \int_{-2}^0 1\,dk + \int_0^4 3\,dk + \int_4^6 1\,dk \] \[ = 1 \times (0 - (-2)) + 3 \times (4 - 0) + 1 \times (6 - 4) = 2 + 12 + 2 = 16 \]

정의역은 \(x > 0\)이다. 몫의 미분법을 적용하면:

\[ f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2} \]

\(f'(x) = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e\)이다. \(0 \lt x \lt e\)에서 \(f' > 0\), \(x > e\)에서 \(f' < 0\)이므로 \(x = e\)에서 극댓값 \(f(e) = \dfrac{1}{e}\)을 갖는다.

이계도함수를 계산하면:

\[ f''(x) = \dfrac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3} \]

\(f''(x) = 0 \iff 2\ln x - 3 = 0 \iff \ln x = \dfrac{3}{2} \iff x = e^{3/2} = e\sqrt{e}\)이다.

\(x = e^{3/2}\) 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 변곡점은 \(\left(e^{3/2}, \dfrac{3}{2e^{3/2}}\right)\)이다.

곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선 \(\ell_t\)는 접점 자체를 항상 교점으로 갖는다.

접점 이외의 교점이 오직 하나만 존재하려면, 접선이 곡선과 총 2개의 교점(접점 1개 중근 + 다른 교점 1개)을 가져야 한다.

함수 \(f(x)\)의 볼록성: \(0 \lt x \lt e^{3/2}\)에서 위로 볼록(\(f'' < 0\)), \(x > e^{3/2}\)에서 아래로 볼록(\(f'' > 0\))이다.

변곡점 \(x = e^{3/2}\)에서의 접선은 곡선을 관통하며, 오직 \(x = e^{3/2}\)에서만 만난다 (추가 교점 0개).

기하학적 분석에 의해, 변곡점 이외의 점에서 접선을 그었을 때 반대편 볼록 영역과 만나는 조건으로부터, 유일한 추가 교점이 존재하는 \(t\)의 범위는 다음과 같다.

\[ 0 \lt t \lt e^{3/2} \quad (t \ne e) \]

변곡점 \(x = e^{3/2}\)에서의 기울기는 다음과 같다.

\[ f'(e^{3/2}) = \dfrac{1 - \frac{3}{2}}{(e^{3/2})^2} = -\dfrac{1}{2e^3} \]

따라서 변곡접선 \(\ell_{\text{inf}}\)의 방정식은 다음과 같다.

\[ y - \dfrac{3}{2e^{3/2}} = -\dfrac{1}{2e^3}(x - e^{3/2}) \iff y = -\dfrac{1}{2e^3}x + \dfrac{2}{e^{3/2}} \]

구간 \([e, e^{3/2}]\)에서 접선이 곡선보다 위에 위치한다 (\(f'' < 0\) 영역). 따라서 둘러싸인 넓이 \(A\)는 다음과 같다.

\[ A = \int_e^{e^{3/2}} \left\{ \left( -\dfrac{1}{2e^3}x + \dfrac{2}{e^{3/2}} \right) - \dfrac{\ln x}{x} \right\} dx \]

1) 접선 적분:

\[ \int_e^{e^{3/2}} \left( -\dfrac{1}{2e^3}x + \dfrac{2}{e^{3/2}} \right) dx = \left[ -\dfrac{x^2}{4e^3} + \dfrac{2x}{e^{3/2}} \right]_e^{e^{3/2}} \] \[ = \left( -\dfrac{1}{4} + 2 \right) - \left( -\dfrac{1}{4e} + \dfrac{2}{\sqrt{e}} \right) = \dfrac{7}{4} + \dfrac{1}{4e} - \dfrac{2}{\sqrt{e}} \]

2) 곡선 적분 (\(u = \ln x\)):

\[ \int_e^{e^{3/2}} \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \left[ \dfrac{(\ln x)^2}{2} \right]_e^{e^{3/2}} = \dfrac{(3/2)^2 - 1^2}{2} = \dfrac{\frac{9}{4} - 1}{2} = \dfrac{5}{8} \]

3) 최종 넓이 \(A\):

\[ A = \left( \dfrac{7}{4} + \dfrac{1}{4e} - \dfrac{2}{\sqrt{e}} \right) - \dfrac{5}{8} = \dfrac{9}{8} + \dfrac{1}{4e} - \dfrac{2}{\sqrt{e}} \]