2027학년도 세종대학교 자연계열 실전모의고사 3회 문제지

[문제 1] 동적 원과 접선각의 삼각비 및 고차 극한 수학Ⅰ · 미적분

좌표평면 위에 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름이 1인 원 \(C_1\)과, 중심이 \(\mathrm{P}(t, 0)\) (\(t > 1\))이고 반지름이 \(r(t) = \dfrac{t}{\sqrt{t^2+3}}\)인 원 \(C_2\)가 있다.
점 \(\mathrm{P}(t, 0)\)에서 원 \(C_1\)에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기를 \(\alpha(t)\), 원점 \(\mathrm{O}\)에서 원 \(C_2\)에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기를 \(\beta(t)\)라 하자. (단, \(0 < \alpha(t) < \pi, 0 < \beta(t) < \pi\))

(1-1)

\(\sin\dfrac{\alpha(t)}{2}\)와 \(\sin\dfrac{\beta(t)}{2}\)를 각각 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (20점)

(1-2)

\(\alpha(t) = \beta(t)\)를 만족시키는 실수 \(t\)의 값을 구하시오. (25점)

(1-3)

극한값 \(\displaystyle\lim_{t \to \infty} t^2 \{\alpha(t) - \beta(t)\}\)을 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 3회 [문제 1]

[문제 2] 삼차함수 접선과 절댓값 미분가능성 및 점대칭 정적분 수학Ⅱ · 도함수 활용

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - f'(t)(x - t) - f(t)|\)라 정의하자. 함수 \(f(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(x)\)가 미분가능하지 않은 \(x\)의 개수는 최대 2이다.

(나) \(t=1\)일 때 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(다) \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 4\)이고, \(f(1) = 2\)이다.

다음 물음에 각각 답하시오.

(2-1)

조건 (가)와 (나)로부터 점 \((1, f(1))\)이 곡선 \(y=f(x)\)의 변곡점임을 증명하시오. (25점)

(2-2)

함수 \(f(x)\)를 구하시오. (25점)

(2-3)

실수 \(k\)에 대하여 방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(N(k)\)라 할 때, 정적분 \(\displaystyle\int_{-2}^6 N(k)\,dk\)의 값을 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 3회 [문제 2]

[문제 3] 로그함수 곡선의 변곡점 접선과 교점 방정식 및 둘러싸인 넓이 미적분 · 여러 가지 미분과 적분

열린구간 \((0, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선을 \(\ell_t\)라 하자.

(3-1)

함수 \(f(x)\)의 극댓값과 변곡점을 구하고, 곡선 \(y=f(x)\)의 개형을 그리시오. (25점)

(3-2)

접선 \(\ell_t\)와 곡선 \(y=f(x)\)의 교점 중 접점 \((t, f(t))\)가 아닌 점이 오직 하나만 존재하도록 하는 실수 \(t\)의 범위를 구하시오. (30점)

(3-3)

변곡점에서의 접선과 곡선 \(y=f(x)\) 및 직선 \(x = e\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 3회 [문제 3]