점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{D}\)에서 아랫변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2\)라 하자.

사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\)는 등변사다리꼴이므로 직각삼각형 \(\mathrm{ABH}_1\)에서 \(\overline{\mathrm{BH}_1} = \ell(t)\cos\theta(t)\)이고, 직각삼각형 \(\mathrm{DCH}_2\)에서 \(\overline{\mathrm{CH}_2} = \ell(t)\cos\theta(t)\)이다.

또한 직사각형 \(\mathrm{AH}_1\mathrm{H}_2\mathrm{D}\)에서 \(\overline{\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2} = \overline{\mathrm{AD}} = 2\)이다.

\[ \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BH}_1} + \overline{\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2} + \overline{\mathrm{H}_2\mathrm{C}} = 2 + 2\ell(t)\cos\theta(t) = 2 + 2(4+2t)\cos\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{t}{12}\right) \]

사다리꼴의 높이는 \(h(t) = \ell(t)\sin\theta(t)\)이다. 따라서 넓이 함수 \(S(t)\)는 다음과 같다.

\[ S(t) = \dfrac{1}{2}\left( \overline{\mathrm{AD}} + \overline{\mathrm{BC}} \right) h(t) = \dfrac{1}{2}\{ 2 + 2 + 2\ell(t)\cos\theta(t) \} \ell(t)\sin\theta(t) = \{ 2 + \ell(t)\cos\theta(t) \} \ell(t)\sin\theta(t) \]

\(t=0\)일 때 \(\ell(0) = 4\), \(\ell'(0) = 2\), \(\theta(0) = \dfrac{\pi}{3}\), \(\theta'(0) = -\dfrac{1}{12}\)이다.

\(u(t) = 2 + \ell(t)\cos\theta(t)\)라 하면 \(u(0) = 2 + 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 4\),

\[ u'(0) = \ell'(0)\cos\theta(0) - \ell(0)\sin\theta(0)\theta'(0) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \left(-\dfrac{1}{12}\right) = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6} \]

\(v(t) = \ell(t)\sin\theta(t)\)라 하면 \(v(0) = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\),

\[ v'(0) = \ell'(0)\sin\theta(0) + \ell(0)\cos\theta(0)\theta'(0) = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \left(-\dfrac{1}{12}\right) = \sqrt{3} - \dfrac{1}{6} \]

따라서 곱의 미분법에 의해 \(S'(0) = u'(0)v(0) + u(0)v'(0)\)을 계산하면:

\[ S'(0) = \left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)(2\sqrt{3}) + 4\left(\sqrt{3} - \dfrac{1}{6}\right) = 2\sqrt{3} + 1 + 4\sqrt{3} - \dfrac{2}{3} = 6\sqrt{3} + \dfrac{1}{3} \]

1) 기하학적 의미 설명:

\(\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{S(t) - S(0)}{t} = S'(0)\)은 시각 \(t=0\)에서 사다리꼴의 넓이의 순간변화율을 의미한다. 이는 변의 길이가 증가함에 따른 넓이의 확장 효과(\(6\sqrt{3}\))와 각의 감소에 따른 높이 감소 효과(\(1/3\))가 결합된 단위 시간당 정미 넓이 증가율을 나타낸다.

2) 극한값 \(\displaystyle\lim_{t \to \infty} \dfrac{\ell(t)}{\sqrt{S(t)}}\) 계산:

\(t \to \infty\)일 때 \(\ell(t) = 4 + 2t \sim 2t\)이다. 또한 \(\theta(t) \to \dfrac{\pi}{6}\)이므로:

\[ \cos\theta(t) \to \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\theta(t) \to \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

넓이 식 \(S(t) = \{ 2 + \ell(t)\cos\theta(t) \} \ell(t)\sin\theta(t)\)에서 최고차항은 다음과 같다.

\[ S(t) \sim \{ \ell(t)\cos\theta(t) \} \ell(t)\sin\theta(t) = [\ell(t)]^2 \cos\dfrac{\pi}{6} \sin\dfrac{\pi}{6} = [\ell(t)]^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} \]

따라서 \(\sqrt{S(t)} \sim \ell(t) \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{4}} = \ell(t) \dfrac{3^{1/4}}{2}\)이다.

\[ \lim_{t \to \infty} \dfrac{\ell(t)}{\sqrt{S(t)}} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{\ell(t)}{\ell(t) \dfrac{3^{1/4}}{2}} = \dfrac{2}{3^{1/4}} = \dfrac{2 \cdot 3^{3/4}}{3} \]

\(\displaystyle\int_3^9 f(x)\,dx\)에서 \(x = 3u\)로 치환하면 \(dx = 3\,du\)이고 적분구간은 \(x=3 \to u=1\), \(x=9 \to u=3\)이다.

조건 (가)에 의해 \(f(3u) = 9f(u)\)이므로 다음을 얻는다.

\[ \int_3^9 f(x)\,dx = \int_1^3 f(3u) \cdot 3\,du = 3 \int_1^3 9f(u)\,du = 27 \int_1^3 f(u)\,du \]

조건 (나)에서 \(\displaystyle\int_1^3 f(u)\,du = 12\)이므로:

\[ \int_3^9 f(x)\,dx = 27 \times 12 = 324 \]

따라서 \(\displaystyle\int_1^9 f(x)\,dx = \int_1^3 f(x)\,dx + \int_3^9 f(x)\,dx = 12 + 324 = 336\)이다.

\(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx\)에서 \(x = 3u\)로 치환하면 \(dx = 3\,du\)이므로 다음과 같다.

\[ \int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 f(3u) \cdot 3\,du = 27 \int_0^1 f(u)\,du \]

한편, 정적분의 구간 덧셈성에 의해 \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^3 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + 12\)이다.

\[ 27 \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + 12 \iff 26 \int_0^1 f(x)\,dx = 12 \iff \int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{12}{26} = \dfrac{6}{13} \]

조건 (가) \(f(3x) = 9f(x)\)에 \(x=1\)을 대입하면 \(f(3) = 9f(1)\)이다.

조건 (다)에 의해 \(1 \le x \le 3\)에서 \(f(x) = g(x)\)이고 \(f(x)\)는 연속이므로, \(g(3) = 9g(1)\)이 성립해야 한다.

최고차항 계수가 1인 이차함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = x^2 + ax + b\)라 하자.

1) \(g(3) = 9g(1)\) 대입:

\[ 9 + 3a + b = 9(1 + a + b) = 9 + 9a + 9b \iff 6a + 8b = 0 \iff 3a + 4b = 0 \iff b = -\dfrac{3}{4}a \]

2) 정적분 조건 (나) \(\displaystyle\int_1^3 g(x)\,dx = 12\) 대입:

\[ \int_1^3 (x^2 + ax + b)\,dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{a}{2}x^2 + bx \right]_1^3 = \left(9 + \dfrac{9}{2}a + 3b\right) - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}a + b\right) \] \[ = \dfrac{26}{3} + 4a + 2b = 12 \iff 4a + 2b = 12 - \dfrac{26}{3} = \dfrac{10}{3} \]

\(b = -\dfrac{3}{4}a\)를 대입하면:

\[ 4a + 2\left(-\dfrac{3}{4}a\right) = 4a - \dfrac{3}{2}a = \dfrac{5}{2}a = \dfrac{10}{3} \iff a = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{3} \]

상수 \(b\)의 값을 구하면:

\[ b = -\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} = -1 \]

따라서 구하는 이차함수는 \(g(x) = x^2 + \dfrac{4}{3}x - 1\)이다.

\(g(x) = (x^2 + ax + b)e^{-x}\)에서 \(g(0) = b = 1\)이다.

도함수를 구하면 \(g'(x) = (2x + a)e^{-x} - (x^2 + ax + b)e^{-x} = \{ -x^2 + (2-a)x + (a-b) \}e^{-x}\)이다.

\(x=0\)에서 극솟값을 가지므로 \(g'(0) = a - b = 0 \implies a = b = 1\)이다.

따라서 \(g(x) = (x^2 + x + 1)e^{-x}\)이며, \(g'(x) = (-x^2 + x)e^{-x} = -x(x-1)e^{-x}\)이다.

\(g'(x)=0\)의 근은 \(x=0\) (극소: \(g(0)=1\)), \(x=1\) (극대: \(g(1)=3e^{-1} = \dfrac{3}{e}\))이다.

이계도함수를 계산하면 \(g''(x) = (-2x + 1)e^{-x} - (-x^2 + x)e^{-x} = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}\)이다.

\(g''(x) = 0 \iff x^2 - 3x + 1 = 0 \iff x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)에서 두 변곡점을 갖는다.

곡선 위의 점 \((t, g(t))\)에서의 접선 방정식은 \(y - g(t) = g'(t)(x - t)\)이다.

이 직선이 점 \((0, k)\)를 지나므로 \(k - g(t) = -t g'(t) \iff k = g(t) - t g'(t)\)이다.

\(\Phi(t) = g(t) - t g'(t) = (t^2 + t + 1)e^{-t} - t(-t^2 + t)e^{-t} = (t^3 - t^2 + t^2 + t + 1)e^{-t} = (t^3 + t + 1)e^{-t}\)라 하자.

\(\Phi'(t) = (3t^2 + 1)e^{-t} - (t^3 + t + 1)e^{-t} = (-t^3 + 3t^2 - t)e^{-t} = -t(t^2 - 3t + 1)e^{-t}\)이다.

\(\Phi'(t)=0\)의 실근은 \(t = 0, \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}, \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)이다.

증감 분석을 통해 접선이 서로 다른 2개(\(\Phi(t)=k\)의 실근 2개)가 되도록 하는 \(k\)의 극값 경계를 도출하면:

\[ k = 1 \text{ 또는 } k = \Phi\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \]

곡선 위의 점 \((t, g(t))\)에서의 접선 방정식은 \(y = g'(t)(x - t) + g(t)\)이다.

이 직선의 \(y\)절편은 \(x=0\)을 대입한 값이므로 다음과 같다.

\[ Y(t) = g(t) - t g'(t) = (t^3 + t + 1)e^{-t} \]

열린구간 \((0, \infty)\)에서 \(Y(t)\)의 도함수를 구하면 (3-2)에서 계산한 바와 같이:

\[ Y'(t) = -t(t^2 - 3t + 1)e^{-t} \]

\(t > 0\)에서 \(e^{-t} > 0, t > 0\)이므로 \(Y'(t) = 0 \iff t^2 - 3t + 1 = 0\)이다.

이 이차방정식의 두 양의 실근은 \(t_1 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\), \(t_2 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)이다.

증감표를 작성하면 다음과 같다:

▪ \(0 \lt t \lt t_1\)에서 \(t^2-3t+1 > 0\)이므로 \(Y'(t) < 0\) (감소)

▪ \(t_1 \lt t \lt t_2\)에서 \(t^2-3t+1 < 0\)이므로 \(Y'(t) > 0\) (증가)

▪ \(t > t_2\)에서 \(t^2-3t+1 > 0\)이므로 \(Y'(t) < 0\) (감소)

따라서 \(Y(t)\)는 \(t = t_2 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)에서 유일한 극대이자 구간 \((0, \infty)\)에서의 최댓값을 갖는다.

\(t_2^2 = 3t_2 - 1\)을 이용하면 \(t_2^3 + t_2 + 1 = t_2(3t_2-1) + t_2 + 1 = 3t_2^2 + 1 = 3(3t_2-1) + 1 = 9t_2 - 2\)이다.

\[ 9t_2 - 2 = 9\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right) - 2 = \dfrac{27+9\sqrt{5}-4}{2} = \dfrac{23+9\sqrt{5}}{2} \]

따라서 구하는 최댓값은 다음과 같다.

\[ Y\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right) = \dfrac{23+9\sqrt{5}}{2} \exp\left(-\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \]