2027학년도 세종대학교 자연계열 실전모의고사 1회 문제지

[문제 1] 동적 사다리꼴의 넓이 변화율과 삼각함수의 극한 수학Ⅰ · 미적분

평면 위의 사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}} \parallel \overline{\mathrm{BC}}\)이고, 시각 \(t \ge 0\)에 따라 변의 길이와 각의 크기가 변한다.
\(\overline{\mathrm{AD}} = 2\), \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = \ell(t)\), \(\angle\mathrm{ABC} = \angle\mathrm{DCB} = \theta(t)\)이며 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 시각 \(t=0\)일 때 \(\ell(0) = 4\), \(\theta(0) = \dfrac{\pi}{3}\)이다.

(나) 임의의 시각 \(t \ge 0\)에서 변의 길이는 \(\ell(t) = 4 + 2t\)이다.

(다) 임의의 시각 \(t \in [0, 4)\)에서 각의 크기는 \(\theta(t) = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{t}{12}\)이다.

사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, 다음 물음에 각각 답하시오.

(1-1)

시각 \(t\)에서 아랫변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 \(t\)와 \(\theta(t)\)에 대한 식으로 나타내시오. (20점)

(1-2)

시각 \(t=0\)에서 사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이의 순간변화율 \(S'(0)\)의 값을 구하시오. (25점)

(1-3)

극한값 \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{S(t) - S(0)}{t}\)을 기하적 의미와 관련지어 설명하고, \(\displaystyle\lim_{t \to \infty} \dfrac{\ell(t)}{\sqrt{S(t)}}\)의 값을 구하시오. (단, \(t \to \infty\)일 때 \(\theta(t) \to \dfrac{\pi}{6}\)로 수렴한다고 가정한다.) (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 1회 [문제 1]

[문제 2] 배각 함수방정식과 치환적분법 및 이차함수 결정 수학Ⅱ · 미적분

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(3x) = 9f(x)\)이다.

(나) \(\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = 12\)

(다) 최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(g(x)\)에 대하여 \(1 \le x \le 3\)에서 \(f(x) = g(x)\)이다.

다음 물음에 각각 답하시오.

(2-1)

치환적분법을 이용하여 \(\displaystyle\int_3^9 f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (25점)

(2-2)

\(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (25점)

(2-3)

함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)과 \(x=3\)에서 연속임을 이용하여 이차함수 \(g(x)\)를 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 1회 [문제 2]

[문제 3] 지수-다항 합성함수의 증감과 접선의 절편 최댓값 미적분 · 도함수 활용

이차함수 \(f(x) = x^2 + ax + b\)에 대하여 함수 \(g(x) = (x^2 + ax + b)e^{-x}\)라 정의하자.
함수 \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 극솟값 1을 갖는다. 다음 물음에 각각 답하시오.

(3-1)

상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구하고, 함수 \(g(x)\)의 극댓값 및 두 변곡점의 \(x\)좌표를 모두 구하시오. (25점)

(3-2)

곡선 \(y=g(x)\)의 개형을 그리고, 점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y=g(x)\)에 그은 접선의 개수가 서로 다른 2개가 되도록 하는 모든 실수 \(k\)의 범위를 구하시오. (30점)

(3-3)

실수 \(t > 0\)에 대하여 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((t, g(t))\)에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점을 \((0, Y(t))\)라 하자. 열린구간 \((0, \infty)\)에서 함수 \(Y(t)\)의 최댓값을 구하시오. (30점)

QUESTIO WORKSPACE · 모의고사 1회 [문제 3]