2027학년도 삼육대학교 모의고사 5회 해설집

2027학년도 삼육대학교 약술형 논술 모의고사 5회 해설집

삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 5회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 정수 부분과 소수 부분 응용 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 양수 $N$에 대하여 $\log_2 N = 3 + \alpha$ ($0 \le \alpha < 1$)이고 $2^\alpha = \dfrac{5}{4}$일 때, $N$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 정의에 의하여 $N = 2^{3 + \alpha} = 2^3 \cdot 2^\alpha$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $2^3 = 8$이고 $2^\alpha = \dfrac{5}{4}$를 대입한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $N = 8 \cdot \dfrac{5}{4} = 10$이다.

최종 정답: $N = 10$

문항 2 해설 대수 · 삼각형의 넓이와 외접원·내접원 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 6$, $\overline{CA} = 7$일 때, $\cos B$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos B = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{25 + 36 - 49}{60} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin B = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{5}\right)^2} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}$이다.

최종 정답: $\cos B = \dfrac{1}{5}, \; S = 6\sqrt{6}$

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삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 5회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등차수열의 절댓값의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항이 $-11$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 $\sum_{k=1}^{10} |a_k|$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 일반항 $a_n = -11 + 2(n - 1) = 2n - 13$이므로 제$6$항까지는 음수이고 제$7$항부터 양수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{6} |a_k| = \dfrac{6(11 + 1)}{2} = 36$이고, $\sum_{k=7}^{10} a_k = \dfrac{4(1 + 7)}{2} = 16$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 구하는 합은 $36 + 16 = 52$이다.

최종 정답: $52$

문항 4 해설 대수 · 귀납적 정의 (등비형) 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_2 = 6$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}^2 = a_n a_{n+2}$를 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 관계식 $a_{n+1}^2 = a_n a_{n+2}$로부터 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $2$, 공비가 $r = \dfrac{6}{2} = 3$인 등비수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 등비수열의 합 공식 $S_5 = \dfrac{a_1(r^5 - 1)}{r - 1}$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S_5 = \dfrac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = 243 - 1 = 242$이다.

최종 정답: $242$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 미분계수의 정의 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$일 때, 극한 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x^2) - 4}{x - 1}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f(1) = 4$이므로 주어진 식을 $\dfrac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1)$로 변형한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \to 1$일 때 $x^2 \to 1$이므로 첫 번째 인수는 $f'(1)$에 수렴하고 두 번째 인수는 $2$에 수렴한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 극한값은 $2f'(1) = 2(-3) = -6$이다.

최종 정답: $-6$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수의 대칭성과 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 10$이 $x = \alpha$에서 극대이고 $x = \beta$에서 극소일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 = 3(x + 2)(x - 4) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 최고차항 계수가 양수이므로 $x = -2$에서 극대($\alpha = -2$), $x = 4$에서 극소($\beta = 4$)이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $\beta - \alpha = 4 - (-2) = 6$이다.

최종 정답: $6$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 이차함수 $f(x) = 3x^2 + 2ax + 1$이 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분의 구간 가법성에 의하여 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx - \int_0^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^0 f(x)\,dx = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\int_{-1}^0 (3x^2 + 2ax + 1)\,dx = \left[x^3 + ax^2 + x\right]_{-1}^0 = 0 - (-1 + a - 1) = 2 - a$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $2 - a = 0$에서 $a = 2$이다.

최종 정답: $a = 2$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 위치와 움직인 거리 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 3$)에서의 속도가 $v(t) = 4t - 4$일 때, $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $P$가 움직인 거리 $L$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $v(t) = 4(t - 1) = 0$에서 $t = 1$일 때 속도의 부호가 음에서 양으로 바뀐다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $L = \int_0^1 (4 - 4t)\,dt + \int_1^3 (4t - 4)\,dt$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $L = 2 + 8 = 10$이다.

최종 정답: $10$