양수 $N$에 대하여 $\log_2 N = 3 + \alpha$ ($0 \le \alpha < 1$)이고 $2^\alpha = \dfrac{5}{4}$일 때, $N$의 값을 구하시오.

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 6$, $\overline{CA} = 7$일 때, $\cos B$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

첫째항이 $-11$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 $\sum_{k=1}^{10} |a_k|$의 값을 구하시오.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_2 = 6$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}^2 = a_n a_{n+2}$를 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값을 구하시오.

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$일 때, 극한 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x^2) - 4}{x - 1}$의 값을 구하시오.

삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 10$이 $x = \alpha$에서 극대이고 $x = \beta$에서 극소일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오.

이차함수 $f(x) = 3x^2 + 2ax + 1$이 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 3$)에서의 속도가 $v(t) = 4t - 4$일 때, $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $P$가 움직인 거리 $L$을 구하시오.