2027학년도 삼육대학교 모의고사 4회 해설집

2027학년도 삼육대학교 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 4회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수법칙과 조건부 식의 값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 두 실수 $x, y$가 $3^x = 6$, $4^y = 6$을 만족시킬 때, $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $3^x = 6$에서 $3 = 6^{1/x}$이고, $4^y = 2^{2y} = 6$에서 $2 = 6^{1/(2y)}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 두 식을 변끼리 곱하면 $3 \cdot 2 = 6^{1/x} \cdot 6^{1/(2y)} = 6^{1/x + 1/(2y)}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $6^1 = 6^{1/x + 1/(2y)}$이므로 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} = 1$이다.

최종 정답: $1$

문항 2 해설 대수 · 로그함수의 최댓값과 최솟값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 닫힌구간 $[1, 4]$에서 함수 $f(x) = \log_{1/2}(x^2 - 4x + 8)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 진수 $g(x) = x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 + 4$는 구간 $[1, 4]$에서 $x = 2$일 때 최솟값 $4$, $x = 4$일 때 최댓값 $8$을 갖는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑이 $\dfrac{1}{2} < 1$이므로 진수가 최소일 때 최댓값 $\log_{1/2} 4 = -2$, 진수가 최대일 때 최솟값 $\log_{1/2} 8 = -3$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $(-2) + (-3) = -5$이다.

최종 정답: $-5$

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삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 4회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각방정식과 실근의 개수 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x < 2\pi$에서 방정식 $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 정리하면 $2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin x = \dfrac{1}{2}$에서 $x = \dfrac{\pi}{6}, \; \dfrac{5\pi}{6}$이고, $\sin x = -1$에서 $x = \dfrac{3\pi}{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 모든 실근의 합은 $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{5\pi}{2}$

문항 4 해설 대수 · 시그마와 등차×등비 구조 분리 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $\sum_{k=1}^{n} a_k = n(n + 1)(n + 2)$를 만족시킬 때, $a_5$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $n \ge 2$일 때 일반항과 부분합의 관계 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 이용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $n = 5$를 대입하면 $a_5 = S_5 - S_4 = 5 \cdot 6 \cdot 7 - 4 \cdot 5 \cdot 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $a_5 = 30(7 - 4) = 90$이다.

최종 정답: $90$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속성 판정 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2} & (x \ne 2) \\ k & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 2$에서 연속이므로 $k = \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 분자를 유리화하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{(x + 7) - 9}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{\sqrt{x + 7} + 3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$를 대입하면 $k = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$이다.

최종 정답: $\dfrac{1}{6}$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 접선의 방정식과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - ax + 3$ 위의 점 $(2, 5)$에서의 접선이 점 $(-1, b)$를 지날 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 점 $(2, 5)$가 곡선 위의 점이므로 $8 - 2a + 3 = 5 \implies a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $y = x^3 - 3x + 3$에서 $y' = 3x^2 - 3$이므로 $x = 2$일 때 접선의 기울기는 $9$이고 접선의 방정식은 $y - 5 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 13$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 점 $(-1, b)$를 대입하면 $b = -22$이므로 $a + b = 3 + (-22) = -19$이다.

최종 정답: $-19$

2027학년도 삼육대학교 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 4회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 함수의 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 함수 $F(x) = \int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분과 미분의 관계에 의하여 $F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $F(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $F(1)$, $x = 3$에서 극솟값 $F(3)$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극댓값과 극솟값의 차는 $F(1) - F(3) = -\int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = \dfrac{1}{6}(3 - 1)^3 = \dfrac{4}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{4}{3}$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 두 곡선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 2x^2$과 직선 $y = 3x$로 둘러싸인 두 부분 중 제$2$사분면과 제$3$사분면에 걸친 구간 $[-1, 0]$에서의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^3 - 2x^2 = 3x \iff x(x + 1)(x - 3) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-1, \; 0, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 구간 $[-1, 0]$에서는 곡선이 직선 위에 있으므로 $S_1 = \int_{-1}^0 (x^3 - 2x^2 - 3x)\,dx$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S_1 = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2\right]_{-1}^0 = 0 - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{7}{12}$이다.

최종 정답: $\dfrac{7}{12}$