2027학년도 삼육대학교 모의고사 2회 해설집

2027학년도 삼육대학교 약술형 논술 모의고사 2회 해설집

삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 2회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 성질과 식의 값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] $\log_2 5 = a$, $\log_5 3 = b$일 때, $\log_2 75$를 $a, b$에 대한 식으로 나타내고, $a = 2, \; b = \dfrac{1}{2}$로 가정할 때의 식의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 밑변환 공식에 의하여 $\log_2 3 = \log_2 5 \cdot \log_5 3 = ab$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\log_2 75 = \log_2(3 \cdot 5^2) = \log_2 3 + 2\log_2 5 = ab + 2a$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $a = 2, \; b = \dfrac{1}{2}$을 대입하면 $ab + 2a = 1 + 4 = 5$이다.

최종 정답: $ab + 2a, \; 5$

문항 2 해설 대수 · 사인법칙과 외접원 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 6$, $\angle B = \dfrac{\pi}{4}$, $\angle C = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $AC$의 길이를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 사인법칙 $\dfrac{\overline{AC}}{\sin B} = \dfrac{\overline{AB}}{\sin C}$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$을 대입하면 $\overline{AC} = \dfrac{6 \cdot (\sqrt{2}/2)}{\sqrt{3}/2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 분모를 유리화하면 $\overline{AC} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$이다.

최종 정답: $2\sqrt{6}$

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삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 2회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등비수열의 합과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항이 $3$이고 공비가 $2$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 처음으로 $300$보다 커지도록 하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등비수열의 합 공식에 의하여 $S_n = \dfrac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $3(2^n - 1) > 300 \iff 2^n - 1 > 100 \iff 2^n > 101$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $2^6 = 64 < 101 < 128 = 2^7$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $7$이다.

최종 정답: $7$

문항 4 해설 대수 · 부분분수 급수의 합 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 합 $\sum_{k=1}^{9} \dfrac{1}{k(k + 2)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 부분분수 분해 $\dfrac{1}{k(k + 2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2}\right)$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $k = 1$부터 $9$까지 대입하면 $\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{11}\right)$만 남는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{110 + 55 - 11 - 10}{110} = \dfrac{144}{220} = \dfrac{36}{55}$이다.

최종 정답: $\dfrac{36}{55}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 연속함수의 곱의 연속성 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x \le 1) \\ 3x - 5 & (x > 1) \end{cases}$과 일차함수 $g(x) = x + k$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 1$에서 $f(x)$의 좌극한과 함숫값은 $2$이고 우극한은 $-2$로 서로 다르다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속이려면 $2g(1) = -2g(1)$이어야 하므로 $g(1) = 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $g(1) = 1 + k = 0$에서 $k = -1$이다.

최종 정답: $k = -1$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 기울기가 주어진 접선의 방정식 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 접하고 직선 $9x - y + 5 = 0$에 평행한 두 접선의 $y$절편의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 주어진 직선의 기울기가 $9$이므로 $y' = 3x^2 - 6x = 9 \iff 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 접점의 $x$좌표는 $-1, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 접점 $(-1, -2)$에서의 접선은 $y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7$이고, 접점 $(3, 2)$에서의 접선은 $y = 9(x - 3) + 2 = 9x - 25$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 접선의 $y$절편은 $7$과 $-25$이므로 그 합은 $-18$이다.

최종 정답: $-18$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 방정식의 양의 실근과 음의 실근 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x$라 하면 $f'(x) = -3(x + 1)(x - 3) = 0$이고 $f(0) = 0$, 극솟값 $f(-1) = -5$, 극댓값 $f(3) = 27$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 직선 $y = k$가 $x > 0$에서 두 번, $x < 0$에서 한 번 만나려면 $f(0) < k < f(3)$, 즉 $0 < k < 27$이어야 한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 이를 만족시키는 정수 $k$는 $1$부터 $26$까지 총 $26$개이다.

최종 정답: $26$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 포물선과 직선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 포물선 $y = x^2 - 3x + 2$와 직선 $y = 2x - 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^2 - 3x + 2 = 2x - 2 \iff (x - 1)(x - 4) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $1, \; 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = \dfrac{1}{6}(4 - 1)^3 = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{9}{2}$