$\log_2 5 = a$, $\log_5 3 = b$일 때, $\log_2 75$를 $a, b$에 대한 식으로 나타내고, $a = 2, \; b = \dfrac{1}{2}$로 가정할 때의 식의 값을 구하시오.

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 6$, $\angle B = \dfrac{\pi}{4}$, $\angle C = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $AC$의 길이를 구하시오.

첫째항이 $3$이고 공비가 $2$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 처음으로 $300$보다 커지도록 하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

합 $\sum_{k=1}^{9} \dfrac{1}{k(k + 2)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x \le 1) \\ 3x - 5 & (x > 1) \end{cases}$과 일차함수 $g(x) = x + k$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 접하고 직선 $9x - y + 5 = 0$에 평행한 두 접선의 $y$절편의 합을 구하시오.

방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

포물선 $y = x^2 - 3x + 2$와 직선 $y = 2x - 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.