2027학년도 삼육대학교 모의고사 1회 해설집

2027학년도 삼육대학교 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 1회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 거듭제곱근과 유리수 지수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 양수 $a$에 대하여 $\sqrt{a \sqrt[3]{a^2}} = a^k$를 만족시키는 유리수 $k$의 값과, $a = 64$일 때 $a^k$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 근호를 유리수 지수로 변환하면 $\sqrt{a \cdot a^{2/3}} = \left(a^{5/3}\right)^{1/2} = a^{5/6}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 유리수 $k = \dfrac{5}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $a = 64 = 2^6$을 대입하면 $a^k = \left(2^6\right)^{5/6} = 2^5 = 32$이다.

최종 정답: $k = \dfrac{5}{6}, \; a^k = 32$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그함수의 교점 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 두 곡선 $y = 2^{x-1} + 1$과 $y = 2^{-x+3} + 1$의 교점의 좌표를 $(p, q)$라 할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점의 $x$좌표는 방정식 $2^{x-1} + 1 = 2^{-x+3} + 1 \iff 2^{x-1} = 2^{-x+3}$의 해이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $x - 1 = -x + 3 \implies 2x = 4$에서 $p = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$를 대입하면 $q = 2^1 + 1 = 3$이므로 $p + q = 5$이다.

최종 정답: $5$

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삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 1회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 성질과 항등식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 예각 $\theta$에 대하여 $\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} + \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = 4$일 때, $\sin\theta$와 $\tan\theta$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 좌변을 통분하여 정리하면 $\dfrac{\sin\theta(1 + \cos\theta + 1 - \cos\theta)}{1 - \cos^2\theta} = \dfrac{2\sin\theta}{\sin^2\theta} = \dfrac{2}{\sin\theta}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\dfrac{2}{\sin\theta} = 4$이므로 $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\theta$가 예각이므로 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$이고, $\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다.

최종 정답: $\sin\theta = \dfrac{1}{2}, \; \tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

문항 4 해설 대수 · 등차수열의 일반항과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = 7$, $a_5 + a_8 = 35$일 때, 제$15$항 $a_{15}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면 $a_3 = a + 2d = 7$이고 $a_5 + a_8 = 2a + 11d = 35$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 두 식을 연립하여 $(2a + 11d) - 2(a + 2d) = 7d = 35 - 14 = 21$에서 $d = 3, \; a = 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a_{15} = a + 14d = 1 + 14 \cdot 3 = 43$이다.

최종 정답: $43$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 좌극한과 우극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 2$일 때 분모가 $0$이므로 $f(2) = 0$이고 미분계수의 정의에 의해 $f'(2) = 5$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f'(x) = 2x + a$에서 $f'(2) = 4 + a = 5 \implies a = 1$이고, $f(2) = 4 + 2 + b = 0 \implies b = -6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(x) = x^2 + x - 6$이므로 $f(4) = 16 + 4 - 6 = 14$이다.

최종 정답: $14$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 접선의 기울기 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 함수 $f(x) = (x^2 - 2x + 3)(2x - 1)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱의 미분법에 의하여 $f'(x) = (2x - 2)(2x - 1) + (x^2 - 2x + 3) \cdot 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = 2$를 대입하면 $f'(2) = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 접선의 기울기는 $6 + 6 = 12$이다.

최종 정답: $12$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수의 극값과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$가 $x = -1$에서 극댓값을 갖고 $x = 3$에서 극솟값을 가질 때, $f(x)$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$의 두 근이 $-1, \; 3$이므로 $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 계수를 비교하면 $a = -3, \; b = -9$이므로 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극댓값은 $f(-1) = 1$, 극솟값은 $f(3) = -31$이므로 합은 $1 + (-31) = -30$이다.

최종 정답: $-30$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 기본 정리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_1^3 (3x^2 - 4x + 2)\,dx + \int_3^1 (3x^2 + 2x - 1)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 두 번째 정적분의 위끝과 아래끝을 바꾸면 $\int_1^3 (3x^2 - 4x + 2)\,dx - \int_1^3 (3x^2 + 2x - 1)\,dx$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 하나의 정적분으로 합치면 $\int_1^3 (-6x + 3)\,dx = \left[-3x^2 + 3x\right]_1^3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $(-27 + 9) - (-3 + 3) = -18$이다.

최종 정답: $-18$