2027학년도 삼육대학교 모의고사 1회 해설집

2027학년도 삼육대학교 약술형 논술 모의고사 1회 문제집

삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 1회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항)

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 거듭제곱근과 유리수 지수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

양수 $a$에 대하여 $\sqrt{a \sqrt[3]{a^2}} = a^k$를 만족시키는 유리수 $k$의 값과, $a = 64$일 때 $a^k$의 값을 각각 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 2 대수 · 지수함수와 로그함수의 교점 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

두 곡선 $y = 2^{x-1} + 1$과 $y = 2^{-x+3} + 1$의 교점의 좌표를 $(p, q)$라 할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

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문항 3 대수 · 삼각함수의 성질과 항등식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

예각 $\theta$에 대하여 $\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} + \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = 4$일 때, $\sin\theta$와 $\tan\theta$의 값을 각각 구하시오.

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문항 4 대수 · 등차수열의 일반항과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = 7$, $a_5 + a_8 = 35$일 때, 제$15$항 $a_{15}$의 값을 구하시오.

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문항 5 미적분Ⅰ · 함수의 좌극한과 우극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

다항함수 $f(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 미분계수와 접선의 기울기 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

함수 $f(x) = (x^2 - 2x + 3)(2x - 1)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

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문항 7 미적분Ⅰ · 삼차함수의 극값과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$가 $x = -1$에서 극댓값을 갖고 $x = 3$에서 극솟값을 가질 때, $f(x)$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

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문항 8 미적분Ⅰ · 정적분의 기본 정리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

정적분 $\int_1^3 (3x^2 - 4x + 2)\,dx + \int_3^1 (3x^2 + 2x - 1)\,dx$의 값을 구하시오.

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모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 거듭제곱근과 유리수 지수 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 양수 $a$에 대하여 $\sqrt{a \sqrt[3]{a^2}} = a^k$를 만족시키는 유리수 $k$의 값과, $a = 64$일 때 $a^k$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 근호를 유리수 지수로 변환하면 $\sqrt{a \cdot a^{2/3}} = \left(a^{5/3}\right)^{1/2} = a^{5/6}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 유리수 $k = \dfrac{5}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $a = 64 = 2^6$을 대입하면 $a^k = \left(2^6\right)^{5/6} = 2^5 = 32$이다.

최종 정답: $k = \dfrac{5}{6}, \; a^k = 32$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그함수의 교점 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 두 곡선 $y = 2^{x-1} + 1$과 $y = 2^{-x+3} + 1$의 교점의 좌표를 $(p, q)$라 할 때, $p + q$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점의 $x$좌표는 방정식 $2^{x-1} + 1 = 2^{-x+3} + 1 \iff 2^{x-1} = 2^{-x+3}$의 해이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $x - 1 = -x + 3 \implies 2x = 4$에서 $p = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$를 대입하면 $q = 2^1 + 1 = 3$이므로 $p + q = 5$이다.

최종 정답: $5$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 성질과 항등식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 예각 $\theta$에 대하여 $\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} + \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = 4$일 때, $\sin\theta$와 $\tan\theta$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 좌변을 통분하여 정리하면 $\dfrac{\sin\theta(1 + \cos\theta + 1 - \cos\theta)}{1 - \cos^2\theta} = \dfrac{2\sin\theta}{\sin^2\theta} = \dfrac{2}{\sin\theta}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\dfrac{2}{\sin\theta} = 4$이므로 $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\theta$가 예각이므로 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$이고, $\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다.

최종 정답: $\sin\theta = \dfrac{1}{2}, \; \tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

문항 4 해설 대수 · 등차수열의 일반항과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = 7$, $a_5 + a_8 = 35$일 때, 제$15$항 $a_{15}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면 $a_3 = a + 2d = 7$이고 $a_5 + a_8 = 2a + 11d = 35$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 두 식을 연립하여 $(2a + 11d) - 2(a + 2d) = 7d = 35 - 14 = 21$에서 $d = 3, \; a = 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $a_{15} = a + 14d = 1 + 14 \cdot 3 = 43$이다.

최종 정답: $43$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 좌극한과 우극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to 2$일 때 분모가 $0$이므로 $f(2) = 0$이고 미분계수의 정의에 의해 $f'(2) = 5$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $f'(x) = 2x + a$에서 $f'(2) = 4 + a = 5 \implies a = 1$이고, $f(2) = 4 + 2 + b = 0 \implies b = -6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(x) = x^2 + x - 6$이므로 $f(4) = 16 + 4 - 6 = 14$이다.

최종 정답: $14$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 접선의 기울기 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 함수 $f(x) = (x^2 - 2x + 3)(2x - 1)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(2, f(2))$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱의 미분법에 의하여 $f'(x) = (2x - 2)(2x - 1) + (x^2 - 2x + 3) \cdot 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = 2$를 대입하면 $f'(2) = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 접선의 기울기는 $6 + 6 = 12$이다.

최종 정답: $12$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수의 극값과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$가 $x = -1$에서 극댓값을 갖고 $x = 3$에서 극솟값을 가질 때, $f(x)$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$의 두 근이 $-1, \; 3$이므로 $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 계수를 비교하면 $a = -3, \; b = -9$이므로 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극댓값은 $f(-1) = 1$, 극솟값은 $f(3) = -31$이므로 합은 $1 + (-31) = -30$이다.

최종 정답: $-30$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 기본 정리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_1^3 (3x^2 - 4x + 2)\,dx + \int_3^1 (3x^2 + 2x - 1)\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 두 번째 정적분의 위끝과 아래끝을 바꾸면 $\int_1^3 (3x^2 - 4x + 2)\,dx - \int_1^3 (3x^2 + 2x - 1)\,dx$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 하나의 정적분으로 합치면 $\int_1^3 (-6x + 3)\,dx = \left[-3x^2 + 3x\right]_1^3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $(-27 + 9) - (-3 + 3) = -18$이다.

최종 정답: $-18$

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문항 1 대수 · 로그의 성질과 식의 값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

$\log_2 5 = a$, $\log_5 3 = b$일 때, $\log_2 75$를 $a, b$에 대한 식으로 나타내고, $a = 2, \; b = \dfrac{1}{2}$로 가정할 때의 식의 값을 구하시오.

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문항 2 대수 · 사인법칙과 외접원 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 6$, $\angle B = \dfrac{\pi}{4}$, $\angle C = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $AC$의 길이를 구하시오.

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문항 3 대수 · 등비수열의 합과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

첫째항이 $3$이고 공비가 $2$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 처음으로 $300$보다 커지도록 하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 부분분수 급수의 합 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

합 $\sum_{k=1}^{9} \dfrac{1}{k(k + 2)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

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문항 5 미적분Ⅰ · 연속함수의 곱의 연속성 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x \le 1) \\ 3x - 5 & (x > 1) \end{cases}$과 일차함수 $g(x) = x + k$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 6 미적분Ⅰ · 기울기가 주어진 접선의 방정식 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 접하고 직선 $9x - y + 5 = 0$에 평행한 두 접선의 $y$절편의 합을 구하시오.

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80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 방정식의 양의 실근과 음의 실근 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 포물선과 직선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

포물선 $y = x^2 - 3x + 2$와 직선 $y = 2x - 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

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모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 성질과 식의 값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] $\log_2 5 = a$, $\log_5 3 = b$일 때, $\log_2 75$를 $a, b$에 대한 식으로 나타내고, $a = 2, \; b = \dfrac{1}{2}$로 가정할 때의 식의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 밑변환 공식에 의하여 $\log_2 3 = \log_2 5 \cdot \log_5 3 = ab$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\log_2 75 = \log_2(3 \cdot 5^2) = \log_2 3 + 2\log_2 5 = ab + 2a$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $a = 2, \; b = \dfrac{1}{2}$을 대입하면 $ab + 2a = 1 + 4 = 5$이다.

최종 정답: $ab + 2a, \; 5$

문항 2 해설 대수 · 사인법칙과 외접원 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 6$, $\angle B = \dfrac{\pi}{4}$, $\angle C = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $AC$의 길이를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 사인법칙 $\dfrac{\overline{AC}}{\sin B} = \dfrac{\overline{AB}}{\sin C}$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$을 대입하면 $\overline{AC} = \dfrac{6 \cdot (\sqrt{2}/2)}{\sqrt{3}/2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 분모를 유리화하면 $\overline{AC} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$이다.

최종 정답: $2\sqrt{6}$

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삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 2회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항) — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등비수열의 합과 조건 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항이 $3$이고 공비가 $2$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 처음으로 $300$보다 커지도록 하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등비수열의 합 공식에 의하여 $S_n = \dfrac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $3(2^n - 1) > 300 \iff 2^n - 1 > 100 \iff 2^n > 101$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $2^6 = 64 < 101 < 128 = 2^7$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $7$이다.

최종 정답: $7$

문항 4 해설 대수 · 부분분수 급수의 합 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 합 $\sum_{k=1}^{9} \dfrac{1}{k(k + 2)}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 부분분수 분해 $\dfrac{1}{k(k + 2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2}\right)$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $k = 1$부터 $9$까지 대입하면 $\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{11}\right)$만 남는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{110 + 55 - 11 - 10}{110} = \dfrac{144}{220} = \dfrac{36}{55}$이다.

최종 정답: $\dfrac{36}{55}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 연속함수의 곱의 연속성 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x \le 1) \\ 3x - 5 & (x > 1) \end{cases}$과 일차함수 $g(x) = x + k$에 대하여 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 1$에서 $f(x)$의 좌극한과 함숫값은 $2$이고 우극한은 $-2$로 서로 다르다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 곱함수 $f(x)g(x)$가 $x = 1$에서 연속이려면 $2g(1) = -2g(1)$이어야 하므로 $g(1) = 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $g(1) = 1 + k = 0$에서 $k = -1$이다.

최종 정답: $k = -1$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 기울기가 주어진 접선의 방정식 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 접하고 직선 $9x - y + 5 = 0$에 평행한 두 접선의 $y$절편의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 주어진 직선의 기울기가 $9$이므로 $y' = 3x^2 - 6x = 9 \iff 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 접점의 $x$좌표는 $-1, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 접점 $(-1, -2)$에서의 접선은 $y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7$이고, 접점 $(3, 2)$에서의 접선은 $y = 9(x - 3) + 2 = 9x - 25$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 접선의 $y$절편은 $7$과 $-25$이므로 그 합은 $-18$이다.

최종 정답: $-18$

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문항 7 해설 미적분Ⅰ · 방정식의 양의 실근과 음의 실근 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 방정식 $x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0$이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x$라 하면 $f'(x) = -3(x + 1)(x - 3) = 0$이고 $f(0) = 0$, 극솟값 $f(-1) = -5$, 극댓값 $f(3) = 27$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 직선 $y = k$가 $x > 0$에서 두 번, $x < 0$에서 한 번 만나려면 $f(0) < k < f(3)$, 즉 $0 < k < 27$이어야 한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 이를 만족시키는 정수 $k$는 $1$부터 $26$까지 총 $26$개이다.

최종 정답: $26$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 포물선과 직선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 포물선 $y = x^2 - 3x + 2$와 직선 $y = 2x - 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^2 - 3x + 2 = 2x - 2 \iff (x - 1)(x - 4) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $1, \; 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = \dfrac{1}{6}(4 - 1)^3 = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{9}{2}$

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문항 1 대수 · 지수부등식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

부등식 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x - 5} > 27^{-x + 1}$을 만족시키는 가장 작은 정수 $x$의 값을 구하시오.

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문항 2 대수 · 삼각함수의 주기와 대칭성 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

함수 $f(x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$의 주기를 $p$라 할 때, $p + f(1) + f(5)$의 값을 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

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문항 3 대수 · 코사인법칙과 중선의 길이 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4$, $\overline{AC} = 6$, $\angle A = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 수열의 합과 일반항의 관계 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = n^2 - 5n$인 수열 $\{a_n\}$에서 $a_n < 0$을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.

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문항 5 미적분Ⅰ · 함수의 극한의 대소 관계 (조임정리) 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $4x^2 - 2x + 1 \le f(x) \le 4x^2 + 3x + 5$를 만족시키는 함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x^2 + 1}$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 미분계수와 로피탈 배제 인수분해 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

자연수 $n$에 대하여 다항함수 $f(x) = x^n + 3x^2 - 4$가 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 12$를 만족시킬 때, 자연수 $n$의 값을 구하시오.

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문항 7 미적분Ⅰ · 닫힌구간에서의 최대·최소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 정적분과 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

곡선 $y = x^2 - 1$과 $x$축 및 두 직선 $x = 0, \; x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

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모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수부등식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 부등식 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x - 5} > 27^{-x + 1}$을 만족시키는 가장 작은 정수 $x$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 양변의 밑을 $3$으로 통일하면 $3^{-2x + 5} > 3^{-3x + 3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑이 $3 > 1$이므로 지수의 부등호 방향이 유지되어 $-2x + 5 > -3x + 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x > -2$이므로 이를 만족시키는 가장 작은 정수 $x$는 $-1$이다.

최종 정답: $-1$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수의 주기와 대칭성 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 함수 $f(x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$의 주기를 $p$라 할 때, $p + f(1) + f(5)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 탄젠트함수의 기본 주기는 $\pi$이므로 $f(x)$의 주기는 $p = \dfrac{\pi}{\pi/4} = 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 주기성에 의하여 $f(5) = f(1 + 4) = f(1) = \tan\dfrac{\pi}{4} = 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $p + f(1) + f(5) = 4 + 1 + 1 = 6$이다.

최종 정답: $6$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 코사인법칙과 중선의 길이 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 4$, $\overline{AC} = 6$, $\angle A = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\overline{BC}^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos\dfrac{\pi}{3} = 16 + 36 - 24 = 28$이므로 $\overline{BC} = 2\sqrt{7}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 삼각형의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{AC}\sin A$를 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$이다.

최종 정답: $\overline{BC} = 2\sqrt{7}, \; S = 6\sqrt{3}$

문항 4 해설 대수 · 수열의 합과 일반항의 관계 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = n^2 - 5n$인 수열 $\{a_n\}$에서 $a_n < 0$을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $n = 1$일 때 $a_1 = S_1 = -4$이고, $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = 2n - 6$이므로 모든 자연수 $n$에서 $a_n = 2n - 6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_n < 0 \iff 2n - 6 < 0 \iff n < 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 이를 만족시키는 자연수 $n$은 $1, \; 2$이므로 그 합은 $3$이다.

최종 정답: $3$

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문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한의 대소 관계 (조임정리) 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 모든 양의 실수 $x$에 대하여 부등식 $4x^2 - 2x + 1 \le f(x) \le 4x^2 + 3x + 5$를 만족시키는 함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x^2 + 1}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $2x^2 + 1 > 0$이므로 부등식의 각 변을 $2x^2 + 1$로 나누면 $\dfrac{4x^2 - 2x + 1}{2x^2 + 1} \le \dfrac{f(x)}{2x^2 + 1} \le \dfrac{4x^2 + 3x + 5}{2x^2 + 1}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 양 끝 변의 $x \to \infty$에서의 극한값은 모두 $\dfrac{4}{2} = 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 구하는 극한값은 $2$이다.

최종 정답: $2$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 로피탈 배제 인수분해 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 자연수 $n$에 대하여 다항함수 $f(x) = x^n + 3x^2 - 4$가 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 12$를 만족시킬 때, 자연수 $n$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(1) = 1 + 3 - 4 = 0$이므로 미분계수의 정의에 의하여 주어진 극한은 $f'(1)$과 같다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 도함수 $f'(x) = nx^{n-1} + 6x$에 $x = 1$을 대입하면 $f'(1) = n + 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $n + 6 = 12$에서 $n = 6$이다.

최종 정답: $n = 6$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 닫힌구간에서의 최대·최소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 차 $M - m$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4) = 0$이므로 구간 $[0, 4]$에서 $f'(x) \le 0$이고 $f(x)$는 단조감소한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 따라서 최댓값은 $M = f(0) = 5$이고, 최솟값은 $m = f(4) = 64 - 96 + 5 = -27$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $M - m = 5 - (-27) = 32$이다.

최종 정답: $32$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^2 - 1$과 $x$축 및 두 직선 $x = 0, \; x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $[0, 1]$에서 $x^2 - 1 \le 0$이고 $[1, 2]$에서 $x^2 - 1 \ge 0$이므로 구간을 나누어 적분한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $S = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[x - \dfrac{1}{3}x^3\right]_0^1 + \left[\dfrac{1}{3}x^3 - x\right]_1^2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = \dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right)\right) = 2$이다.

최종 정답: $2$

2027학년도 삼육대학교 약술형 논술 모의고사 4회 문제집

삼육대 자연·약학·보건계열 약술형 논술 4회 (대수 & 미적분Ⅰ 8문항)

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 지수법칙과 조건부 식의 값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

두 실수 $x, y$가 $3^x = 6$, $4^y = 6$을 만족시킬 때, $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y}$의 값을 구하시오.

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문항 2 대수 · 로그함수의 최댓값과 최솟값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

닫힌구간 $[1, 4]$에서 함수 $f(x) = \log_{1/2}(x^2 - 4x + 8)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

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문항 3 대수 · 삼각방정식과 실근의 개수 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

$0 \le x < 2\pi$에서 방정식 $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

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문항 4 대수 · 시그마와 등차×등비 구조 분리 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 $\{a_n\}$이 $\sum_{k=1}^{n} a_k = n(n + 1)(n + 2)$를 만족시킬 때, $a_5$의 값을 구하시오.

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문항 5 미적분Ⅰ · 함수의 연속성 판정 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2} & (x \ne 2) \\ k & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 접선의 방정식과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

곡선 $y = x^3 - ax + 3$ 위의 점 $(2, 5)$에서의 접선이 점 $(-1, b)$를 지날 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

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문항 7 미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 함수의 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

함수 $F(x) = \int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.

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문항 8 미적분Ⅰ · 두 곡선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

곡선 $y = x^3 - 2x^2$과 직선 $y = 3x$로 둘러싸인 두 부분 중 제$2$사분면과 제$3$사분면에 걸친 구간 $[-1, 0]$에서의 넓이 $S_1$을 구하시오.

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모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수법칙과 조건부 식의 값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 두 실수 $x, y$가 $3^x = 6$, $4^y = 6$을 만족시킬 때, $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $3^x = 6$에서 $3 = 6^{1/x}$이고, $4^y = 2^{2y} = 6$에서 $2 = 6^{1/(2y)}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 두 식을 변끼리 곱하면 $3 \cdot 2 = 6^{1/x} \cdot 6^{1/(2y)} = 6^{1/x + 1/(2y)}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $6^1 = 6^{1/x + 1/(2y)}$이므로 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} = 1$이다.

최종 정답: $1$

문항 2 해설 대수 · 로그함수의 최댓값과 최솟값 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 닫힌구간 $[1, 4]$에서 함수 $f(x) = \log_{1/2}(x^2 - 4x + 8)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 진수 $g(x) = x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 + 4$는 구간 $[1, 4]$에서 $x = 2$일 때 최솟값 $4$, $x = 4$일 때 최댓값 $8$을 갖는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 밑이 $\dfrac{1}{2} < 1$이므로 진수가 최소일 때 최댓값 $\log_{1/2} 4 = -2$, 진수가 최대일 때 최솟값 $\log_{1/2} 8 = -3$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $(-2) + (-3) = -5$이다.

최종 정답: $-5$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각방정식과 실근의 개수 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x < 2\pi$에서 방정식 $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$를 대입하여 정리하면 $2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin x = \dfrac{1}{2}$에서 $x = \dfrac{\pi}{6}, \; \dfrac{5\pi}{6}$이고, $\sin x = -1$에서 $x = \dfrac{3\pi}{2}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 모든 실근의 합은 $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{5\pi}{2}$

문항 4 해설 대수 · 시그마와 등차×등비 구조 분리 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $\sum_{k=1}^{n} a_k = n(n + 1)(n + 2)$를 만족시킬 때, $a_5$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $n \ge 2$일 때 일반항과 부분합의 관계 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 이용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $n = 5$를 대입하면 $a_5 = S_5 - S_4 = 5 \cdot 6 \cdot 7 - 4 \cdot 5 \cdot 6$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $a_5 = 30(7 - 4) = 90$이다.

최종 정답: $90$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속성 판정 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2} & (x \ne 2) \\ k & (x = 2) \end{cases}$가 $x = 2$에서 연속일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 2$에서 연속이므로 $k = \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 분자를 유리화하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{(x + 7) - 9}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{\sqrt{x + 7} + 3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x = 2$를 대입하면 $k = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$이다.

최종 정답: $\dfrac{1}{6}$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 접선의 방정식과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - ax + 3$ 위의 점 $(2, 5)$에서의 접선이 점 $(-1, b)$를 지날 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 점 $(2, 5)$가 곡선 위의 점이므로 $8 - 2a + 3 = 5 \implies a = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $y = x^3 - 3x + 3$에서 $y' = 3x^2 - 3$이므로 $x = 2$일 때 접선의 기울기는 $9$이고 접선의 방정식은 $y - 5 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 13$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 점 $(-1, b)$를 대입하면 $b = -22$이므로 $a + b = 3 + (-22) = -19$이다.

최종 정답: $-19$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 함수의 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 함수 $F(x) = \int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분과 미분의 관계에 의하여 $F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $F(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $F(1)$, $x = 3$에서 극솟값 $F(3)$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 극댓값과 극솟값의 차는 $F(1) - F(3) = -\int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = \dfrac{1}{6}(3 - 1)^3 = \dfrac{4}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{4}{3}$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 두 곡선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 2x^2$과 직선 $y = 3x$로 둘러싸인 두 부분 중 제$2$사분면과 제$3$사분면에 걸친 구간 $[-1, 0]$에서의 넓이 $S_1$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^3 - 2x^2 = 3x \iff x(x + 1)(x - 3) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-1, \; 0, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 구간 $[-1, 0]$에서는 곡선이 직선 위에 있으므로 $S_1 = \int_{-1}^0 (x^3 - 2x^2 - 3x)\,dx$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S_1 = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2\right]_{-1}^0 = 0 - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{7}{12}$이다.

최종 정답: $\dfrac{7}{12}$

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문항 1 대수 · 로그의 정수 부분과 소수 부분 응용 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

양수 $N$에 대하여 $\log_2 N = 3 + \alpha$ ($0 \le \alpha < 1$)이고 $2^\alpha = \dfrac{5}{4}$일 때, $N$의 값을 구하시오.

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문항 2 대수 · 삼각형의 넓이와 외접원·내접원 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 6$, $\overline{CA} = 7$일 때, $\cos B$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

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문항 3 대수 · 등차수열의 절댓값의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

첫째항이 $-11$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 $\sum_{k=1}^{10} |a_k|$의 값을 구하시오.

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문항 4 대수 · 귀납적 정의 (등비형) 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_2 = 6$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}^2 = a_n a_{n+2}$를 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값을 구하시오.

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문항 5 미적분Ⅰ · 미분계수의 정의 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$일 때, 극한 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x^2) - 4}{x - 1}$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 삼차함수의 대칭성과 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 10$이 $x = \alpha$에서 극대이고 $x = \beta$에서 극소일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오.

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문항 7 미적분Ⅰ · 정적분과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

이차함수 $f(x) = 3x^2 + 2ax + 1$이 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

【삼육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 위치와 움직인 거리 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 3$)에서의 속도가 $v(t) = 4t - 4$일 때, $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $P$가 움직인 거리 $L$을 구하시오.

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모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 정수 부분과 소수 부분 응용 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 양수 $N$에 대하여 $\log_2 N = 3 + \alpha$ ($0 \le \alpha < 1$)이고 $2^\alpha = \dfrac{5}{4}$일 때, $N$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 로그의 정의에 의하여 $N = 2^{3 + \alpha} = 2^3 \cdot 2^\alpha$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $2^3 = 8$이고 $2^\alpha = \dfrac{5}{4}$를 대입한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $N = 8 \cdot \dfrac{5}{4} = 10$이다.

최종 정답: $N = 10$

문항 2 해설 대수 · 삼각형의 넓이와 외접원·내접원 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 6$, $\overline{CA} = 7$일 때, $\cos B$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos B = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{25 + 36 - 49}{60} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin B = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{5}\right)^2} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}$이다.

최종 정답: $\cos B = \dfrac{1}{5}, \; S = 6\sqrt{6}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등차수열의 절댓값의 합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 첫째항이 $-11$이고 공차가 $2$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 $\sum_{k=1}^{10} |a_k|$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 일반항 $a_n = -11 + 2(n - 1) = 2n - 13$이므로 제$6$항까지는 음수이고 제$7$항부터 양수이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{6} |a_k| = \dfrac{6(11 + 1)}{2} = 36$이고, $\sum_{k=7}^{10} a_k = \dfrac{4(1 + 7)}{2} = 16$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 구하는 합은 $36 + 16 = 52$이다.

최종 정답: $52$

문항 4 해설 대수 · 귀납적 정의 (등비형) 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$, $a_2 = 6$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}^2 = a_n a_{n+2}$를 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{5} a_k$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 관계식 $a_{n+1}^2 = a_n a_{n+2}$로부터 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $2$, 공비가 $r = \dfrac{6}{2} = 3$인 등비수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 등비수열의 합 공식 $S_5 = \dfrac{a_1(r^5 - 1)}{r - 1}$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S_5 = \dfrac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = 243 - 1 = 242$이다.

최종 정답: $242$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 미분계수의 정의 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$일 때, 극한 $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x^2) - 4}{x - 1}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $f(1) = 4$이므로 주어진 식을 $\dfrac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1)$로 변형한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \to 1$일 때 $x^2 \to 1$이므로 첫 번째 인수는 $f'(1)$에 수렴하고 두 번째 인수는 $2$에 수렴한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 극한값은 $2f'(1) = 2(-3) = -6$이다.

최종 정답: $-6$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수의 대칭성과 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 10$이 $x = \alpha$에서 극대이고 $x = \beta$에서 극소일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 = 3(x + 2)(x - 4) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 최고차항 계수가 양수이므로 $x = -2$에서 극대($\alpha = -2$), $x = 4$에서 극소($\beta = 4$)이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $\beta - \alpha = 4 - (-2) = 6$이다.

최종 정답: $6$

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문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 미정계수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 이차함수 $f(x) = 3x^2 + 2ax + 1$이 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx$를 만족시킬 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분의 구간 가법성에 의하여 $\int_{-1}^1 f(x)\,dx - \int_0^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^0 f(x)\,dx = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\int_{-1}^0 (3x^2 + 2ax + 1)\,dx = \left[x^3 + ax^2 + x\right]_{-1}^0 = 0 - (-1 + a - 1) = 2 - a$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $2 - a = 0$에서 $a = 2$이다.

최종 정답: $a = 2$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 위치와 움직인 거리 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 10 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 3$)에서의 속도가 $v(t) = 4t - 4$일 때, $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $P$가 움직인 거리 $L$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $v(t) = 4(t - 1) = 0$에서 $t = 1$일 때 속도의 부호가 음에서 양으로 바뀐다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $L = \int_0^1 (4 - 4t)\,dt + \int_1^3 (4t - 4)\,dt$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $L = 2 + 8 = 10$이다.

최종 정답: $10$

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.33 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 227} + 227$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0\cdot 458$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 458$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 458)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 458$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 458)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 458$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(229, 229)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 229)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 458)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 458 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{458}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{230}\right)$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6$가 되어 역수 수열은 공차가 $6$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 $n = 1\;(a_1 = 1/230)$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{230}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 230\right)$을 이용하여 $b_n = 6n + 224$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 224}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{66700}$의 값을 유도하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 231\right)$로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x, y$에 대하여 성립하는 항등식 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 6xy(x+y) - 227$이 주어지면 원점 대입으로 $f(0) = 227$를 먼저 결정한다.

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy(x + y) - 227$을 만족시키고 $f'(0) = 231$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 $f(0) = 227$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 6x^2 + 231$임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 2x^3 + 231x + 227$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 460)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 255\right)$의 값을 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 $t\;(0 \le t \le 669)$에서의 위치 차 함수를 $h(t) = t(t - 669)^2$라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 $h'(t)$이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 669]$에서 두 점 사이의 거리 $D(t) = |t(t - 669)^2|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1338t^2 + 447561t = t(t - 669)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 669$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(669) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 669]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 223)(t - 669)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(223) = 44358268$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2676 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 446$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(446) = 22179134$를 각각 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 224)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (224, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{224} (-6x^2 + 1344x)\,dx = 11239424$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{224}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $11239424$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 1344x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 672x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1344x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 11239424$를 유도하시오.

[문항 5-2] (7점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 11239424$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{224}{2}$를 구하고, $\int_0^{224/2} (-6x^2 + 1344x)\,dx = \dfrac{11239424}{2}$임을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 $y = -6x^2 + 1344x$와 직선 $y = 672x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{11239424}{8}$을 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.33 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 458 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{458}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 458,\; \mathrm{M}(229, 229)$ | [1-2] $\mathrm{P}(228, 230),\; \mathrm{Q}(230, 228)$ | [1-3] 넓이 $S = 458$

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 458$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 458$이며 중점은 $\mathrm{M}(229, 229)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 458)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(228, 230),\; \mathrm{Q}(230, 228)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 458 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{458}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{458}{\sqrt{2}} = 458$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 458$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(229, 229)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 458)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(228, 230),\; \mathrm{Q}(230, 228)$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{458}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 458$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 458$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(229, 229)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{230}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 230\right)$을 이용하여 $b_n = 6n + 224$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 224}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{66700}$의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $b_n = 6n + 224,\; a_n = \dfrac{1}{6n + 224}$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $\dfrac{10}{230\times 290} = \dfrac{10}{66700}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 230\right)$에서 $b_{n+1} - b_n = 6$이므로 $b_n = 230 + 6(n - 1) = 6n + 224$이고 $a_n = \dfrac{1}{6n + 224}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 $a_1 = \dfrac{1}{230}$ 성립. (ii) $a_k = \dfrac{1}{6k + 224}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{a_k}{6a_k + 1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 224}$이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{230} - \dfrac{1}{290}\right) = \dfrac{10}{66700}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 $b_n = 6n + 224$ 유도 +3점 / 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 224}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 $a_1 = \dfrac{1}{230}$ 확인 +2점 / 귀납 가정 후 $a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 224}$ 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{230} - \dfrac{1}{290}\right)$ +4점 / 합 $\dfrac{10}{66700}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy(x + y) - 227$을 만족시키고 $f'(0) = 231$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 $f(0) = 227$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 6x^2 + 231$임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 2x^3 + 231x + 227$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 460)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 255\right)$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(0) = 227,\; f'(x) = 6x^2 + 231$ | [3-2] $f(x) = 2x^3 + 231x + 227$, 접선 $y = 237x + 223$ | [3-3] $\dfrac{255}{4}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 227 \implies f(0) = 227$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 227 + 6xh(x+h)}{h} = 6x^2 + 231$이므로 적분하면 $f(x) = 2x^3 + 231x + 227$이고, 점 $(1, 460)$에서의 접선은 $y = 237x + 223$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분모를 인수분해하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{255}{4}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f(0) = 227$ 산출 +2점 / 도함수 정의로 $f'(x) = 6x^2 + 231$ 유도 +4점
소문항 [3-2]	• $f(x) = 2x^3 + 231x + 227$ 결정 +4점 / 접선 $y = 237x + 223$ 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 $\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{255}{4}$ 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 $-227$를 $-f(0)$으로 바꾸어 $\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 231$를 명시해야 감점이 없습니다.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1338t^2 + 447561t = t(t - 669)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 669$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(669) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 669]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 223)(t - 669)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(223) = 44358268$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2676 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 446$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(446) = 22179134$를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 669,\; h'(669) = 0$ | [4-2] $t = 223$에서 최댓값 $44358268$ | [4-3] $t_2 = 446,\; D(446) = 22179134$

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 $h(t) = t(t - 669)^2 = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 669$이고, 도함수 $h'(t) = 3(t - 223)(t - 669)$에 대입하면 $h'(669) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $[0, 669]$에서 내부 극대점은 $t = 223$이므로 최댓값은 $D(223) = 223(-446)^2 = 44358268$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 $h''(t) = 6t - 2676 = 0$에서 $t_2 = 446$이고, 그때의 거리는 $D(446) = 446(-223)^2 = 22179134$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t_1 = 669$ 도출 +3점 / 속도 차 $h'(669) = 0$ 확인 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t - 223)(t - 669) = 0$ 극대 판정 +4점 / 최댓값 $44358268$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• $h''(t) = 6t - 2676 = 0 \implies t_2 = 446$ 도출 +3점 / 거리 $22179134$ 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계($1 : 2 : 3$)에 의해 원점 $t=0$, 극대 $t=223$, 변곡 $t=446$, 접점 $t=669$이 등간격 $223$로 배열됩니다.

[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 1344x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 672x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1344x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 11239424$를 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $S = 11239424$ | [5-2] $k = \dfrac{224}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{11239424}{2}$ | [5-3] 교점 $x = 0, \dfrac{224}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{11239424}{8}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 672x^2\right]_0^{224} = -2(224)^3 + 3(224)^3 = 11239424$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{224}{2}$에 의해 $k = \dfrac{224}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 672x^2\right]_0^{224/2} = -\dfrac{11239424}{4} + \dfrac{3\times 11239424}{4} = \dfrac{11239424}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 1344x = 672x \implies 6x\left(x - \dfrac{224}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{224}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{224/2} (-6x^2 + 672x)\,dx = \dfrac{11239424}{8}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 672x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 11239424$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{224}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 224/2]$ 적분값 $\dfrac{11239424}{2}$ 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 $x = \dfrac{224}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{11239424}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{224}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{11239424}{8}$이 됩니다.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.34 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 양수 $x$에 대하여 $u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{234}\right)$로 치환하면 지수법칙에 의하여 $x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 232$이다.
<제시문 (나)> $u + u^{-1} = \sqrt{234}$일 때 세제곱 곱셈 공식 $u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 231\sqrt{234}$이 성립한다.

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{234}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 232$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 53822$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 231\sqrt{234}$과 $x^3 + x^{-3} = 12486472$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{12486474}{231\sqrt{234}}$의 값을 구하시오.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=669,\; c=1115\right)$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1561\right)$이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 $S$와 둘레의 길이 $a + b + c = 3345$, 내접원의 반지름 $r$ 사이에는 $S = \dfrac{3345}{2}r$가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 669,\; c = 1115$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=669\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1561$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1561\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{745935\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{223\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

[약술문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2263$을 만족시키면 최고차항 계수가 $4$인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> $\lim_{x \to 226} \dfrac{f(x)}{(x - 226)^2} = 449$이 수렴하면 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 226)^2(4x + r)$ 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2263$과 $\lim_{x \to 226} \dfrac{f(x)}{(x - 226)^2} = 449$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 226)^2(4x + r)$로 놓고 상수 $r = -455$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 226)^2(4x + -455)$이 무한대 극한 조건 $-2263$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 $f(228) = 1828$의 값과 $x = 226$에서의 미분계수 $f'(226) = 0$의 값을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 $P(x) = x^2 - 451x + 50848$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 227|P(x)$가 $x = 227$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 $P(227) = 0$인 것이다.
<제시문 (나)> $P(x) = (x - 227)(x - 224)$일 때 구간 $x \lt 227$에서 $h(x) = -(x - 227)^2(x - 224)$로 표현된다.

이차함수 $P(x) = x^2 - 451x + 50848$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 227|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) $x = 227$에서의 우미분계수 $P(227)$와 좌미분계수 $-P(227)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(227) = 0$임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $x \lt 227$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 227)(x - 225)$을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) $x \ne 227$에서 도함수가 영이 되는 $x = 225$의 값과 그때의 함숫값 $h(225) = -4\;(\text{기준점 } 227)$를 구하시오.

[약술문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 $A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 686\right)$는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 $f(x) = 3x^2 - 4Ax + 686$을 양변 $[0, 1]$에서 다시 적분하면 $A = 229$에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 $[-1, 1]$에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 $2\int_0^1 (3x^2 + 686)\,dx = 1374$이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 686$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 686)\,dt$를 풀어 상수 $A = 229$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 916x + 686$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{458}{3}$와 함숫값 $f(1) = -227$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 916x + 686)\,dx = 1374$의 값을 구하시오.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.34 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{234}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 232$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 53822$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 231\sqrt{234}$과 $x^3 + x^{-3} = 12486472$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{12486474}{231\sqrt{234}}$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x + x^{-1} = 232,\; x^2 + x^{-2} = 53822$ | [1-2] $x^{3/2} + x^{-3/2} = 231\sqrt{234},\; x^3 + x^{-3} = 12486472$ | [1-3] $231\sqrt{234}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제곱 공식에서 $x + x^{-1} = (\sqrt{234})^2 - 2 = 232$이고, 다시 제곱하면 $x^2 + x^{-2} = 232^2 - 2 = 53822$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 세제곱 공식에서 $x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{234})^3 - 3\sqrt{234} = 231\sqrt{234}$이고, $x^3 + x^{-3} = 232^3 - 3\times 232 = 12486472$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분자 $x^3 + x^{-3} + 2 = 12486474 = (231\sqrt{234})^2$이므로 분모 $231\sqrt{234}$로 약분하면 $231\sqrt{234}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $x + x^{-1} = 232$ 유도 +3점 / $x^2 + x^{-2} = 53822$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $x^{3/2} + x^{-3/2} = 231\sqrt{234}$ 도출 +3점 / $x^3 + x^{-3} = 12486472$ 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 $12486474$ 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 $231\sqrt{234}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 $12486474 = (231\sqrt{234})^2$임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 669,\; c = 1115$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=669\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1561$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1561\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{745935\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{223\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 1561$ | [2-2] $R = \dfrac{1561\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{745935\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $r = \dfrac{223\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{348103}{2}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 $a^2 = 669^2 + 1115^2 - 2(669)(1115)(-1/2) = 49\times 223^2$이므로 $a = 1561$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 $2R = \dfrac{1561}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1561\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 669\times 1115\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{745935\sqrt{3}}{4}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 $a + b + c = 3345$이므로 $\dfrac{3345}{2}r = \dfrac{745935\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{223\sqrt{3}}{2}$이고 $R\cdot r = \dfrac{348103}{2}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 $a^2 = 49\times 223^2$ +3점 / $a = 1561$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{1561\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 넓이 $S = \dfrac{745935\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 $r = \dfrac{223\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점 / 곱 $R\cdot r = \dfrac{348103}{2}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 $120^\circ$이고 두 변의 비가 $3 : 5$인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 $7$이 되는 대표적인 정수비 삼각형($3\times 223 : 5\times 223 : 7\times 223$)입니다.

[약술문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2263$과 $\lim_{x \to 226} \dfrac{f(x)}{(x - 226)^2} = 449$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 226)^2(4x + r)$로 놓고 상수 $r = -455$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 226)^2(4x + -455)$이 무한대 극한 조건 $-2263$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 $f(228) = 1828$의 값과 $x = 226$에서의 미분계수 $f'(226) = 0$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $r = -455$ | [3-2] 이차항 계수 $-2263$ 일치 검증 완료 | [3-3] $f(228) = 1828,\; f'(226) = 0$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 $\lim_{x \to 226} (4x + r) = 904 + r = 449$이므로 $r = -455$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 $f(x) = (x^2 - 452x + 51076)(4x + -455) = 4x^3 + (-2263)x^2 + \cdots$이므로 이차항 계수 $-2263$이 정확히 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] $x = 228$를 대입하면 $f(228) = 4(912 + -455) = 1828$이고, $(x - 226)^2$을 인수로 가지므로 $f'(226) = 0$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 $r = -455$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 $-2263$ 확인 +7점
소문항 [3-3]	• $f(228) = 1828$ 산출 +4점 / 중근 성질로 $f'(226) = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 $(x - 226)^2$이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 $x = 226$을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

이차함수 $P(x) = x^2 - 451x + 50848$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 227|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) $x = 227$에서의 우미분계수 $P(227)$와 좌미분계수 $-P(227)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(227) = 0$임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $x \lt 227$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 227)(x - 225)$을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) $x \ne 227$에서 도함수가 영이 되는 $x = 225$의 값과 그때의 함숫값 $h(225) = -4\;(\text{기준점 } 227)$를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $P(227) = -P(227) = 0$ 확인 | [4-2] $h'(x) = -3(x - 227)(x - 225)$ | [4-3] $x = 225,\; h(225) = -4$

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수 정의에서 $\lim_{x \to 227\pm} \dfrac{|x - 227|P(x)}{x - 227} = \pm P(227)$이고 실제로 $P(227) = (227 - 227)(227 - 224) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $x \lt 227$에서 $h(x) = -(x - 227)^2(x - 224)$를 미분하면 $h'(x) = -(x - 227)(3x - 675) = -3(x - 227)(x - 225)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 $x \ne 227$에서 극점은 $x = 225$이고, 대입하면 $h(225) = -(225 - 227)^2(225 - 224) = -4$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 $\pm P(227)$ 정의식 서술 +4점 / $P(227) = 0$ 확인 +2점
소문항 [4-2]	• $x \lt 227$ 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / $h'(x) = -3(x - 227)(x - 225)$ 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 $x = 225$ 도출 +3점 / 함숫값 $h(225) = -4\;(\text{극점 } 225)$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 $x = 227$에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 $x - 227$을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[약술문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 686$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 686)\,dt$를 풀어 상수 $A = 229$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 916x + 686$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{458}{3}$와 함숫값 $f(1) = -227$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 916x + 686)\,dx = 1374$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $A = 229,\; f(x) = 3x^2 - 916x + 686$ | [5-2] $x = \dfrac{458}{3},\; f(1) = -227$ | [5-3] $1374$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 $A = \left[t^3 - 2At^2 + 686t\right]_0^1 = 687 - 2A \implies 3A = 687$이므로 $A = 229$이고 $f(x) = 3x^2 - 916x + 686$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 $f'(x) = 6x - 916 = 0$에서 극소점은 $x = \dfrac{458}{3}$이고, $f(1) = 3 - 916 + 686 = -227$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 기함수 항 $-916x$는 소거되므로 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 916x + 686)\,dx = 2(1 + 686) = 1374$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $A = 687 - 2A \implies A = 229$ 도출 +3점 / $f(x) = 3x^2 - 916x + 686$ 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $x = \dfrac{458}{3}$ 산출 +4점 / $f(1) = -227$ 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 $1374$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 $A = 229$이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.35 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A_1, A_2$에서 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{222},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{222}$일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 $n = 788544$인 표본에서 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36$일 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{788544}}$이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{222},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{222}$이며, 크기 $n = 788544$인 표본의 표본비율이 $\hat{p} = 0.36$일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{222}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 222)$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 $n = 788544$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{888} = \dfrac{3}{5550}$를 유도하시오.

[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{138750}$를 기약분수로 구하시오.

[약술문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 미분가능한 함수 $f(x) = x^3 + 657x + 2$에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 $f'(c) = 3c^2 + 657$인 $c$가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 $f'(x) = 3x^2 + 657 \gt 0$이므로 역함수 $g(x)$가 존재하며 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 657}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 657x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 657(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하시오.

[문항 2-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 660$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{657}$와 $g'(660) = \dfrac{1}{660}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 $(660, 1)$에서의 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{660}x$를 구하고, $\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(660)} = 1317$의 값을 구하시오.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 1338$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1338)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1338)\,dt = 3x^2 - 1338x$이고 $F''(x) = 6x - 1338$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1338)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1338x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1338$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(446) = 44358268$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 223$에서의 함숫값 $F(223) = -22179134$과 접선의 기울기 $F'(223) = -149187$을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 $y^2 = 884x$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점 $\mathrm{F}(221, 0)$까지의 거리는 준선 $x = -221$까지의 거리 $x_1 + 221$와 같다.
<제시문 (나)> 포물선 $y^2 = 884x$ 위의 점 $\mathrm{P}(884, 884)$에서의 접선의 방정식은 $y = \dfrac{1}{2}x + 442$이다.

초점이 $\mathrm{F}(221, 0)$인 포물선 $y^2 = 884x$ 위의 제1사분면의 점 $\mathrm{P}(884, 884)$에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 $x = -221$와 선분 $\overline{\mathrm{PF}} = 1105$의 길이를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 $\mathrm{P}(884, 884)$에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 $\mathrm{Q}(-884, 0)$을 구하여 $\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 1105$임을 증명하시오.

[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 $1105$와 높이 $884$로부터 삼각형의 넓이 $S = 488410$를 구하시오.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 $\mathrm{A}(663, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 663, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 663)$을 지나는 평면의 방정식은 $x + y + z = 663$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 663)$이다.
<제시문 (나)> 평면 $x + y + z = 663$와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 $S' = S\cos\theta = \dfrac{439569}{2}$가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(663, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 663, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 663)$을 지나는 평면 $x + y + z = 663$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 663 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 221\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{439569}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{439569\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 48572374$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.35 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{222}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 222)$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 $n = 788544$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{888} = \dfrac{3}{5550}$를 유도하시오.

[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{138750}$를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $P(B) = \dfrac{2}{222},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}$ | [1-2] 표준오차 $\dfrac{3}{5550}$ | [1-3] $L = \dfrac{294}{138750}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 $P(B) = \dfrac{1}{444} + \dfrac{3}{444} = \dfrac{2}{222}$이고, 베이즈 정리에 의해 $P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 222)}{2/222} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 788544}} = \dfrac{12}{25 \times 888} = \dfrac{3}{5550}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{5550} = \dfrac{294}{138750}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{222}$ 계산 +3점 / 사후확률 $P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 222)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $\sqrt{n} = 888$ 계산 +4점 / 표준오차 $\dfrac{3}{5550}$ 유도 +3점
소문항 [1-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / $\dfrac{294}{138750}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 $\dfrac{3}{5550}$ 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

[약술문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 657x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 660$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{657}$와 $g'(660) = \dfrac{1}{660}$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $f'(c) = 3c^2 + 657 \ge 657$ 증명 완료 | [2-2] $g'(2) = \dfrac{1}{657},\; g'(660) = \dfrac{1}{660}$ | [2-3] 접선 $y = \dfrac{1}{660}x,\; \text{합 } 1317$

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 657 \ge 657$이고 $x_2 - x_1 \gt 0$이므로 $f(x_2) - f(x_1) \ge 657(x_2 - x_1)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{657}$이고 $g'(660) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{660}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 점 $(660, 1)$에서의 접선은 $y - 1 = \dfrac{1}{660}(x - 660) \implies y = \dfrac{1}{660}x$이고, 역수의 합은 $657 + 660 = 1317$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 $f'(c) = 3c^2 + 657 \ge 657$ 서술 +6점
소문항 [2-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{657}$ 산출 +3점 / $g'(660) = \dfrac{1}{660}$ 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{660}x$ 유도 +4점 / 역수 합 $1317$ 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 $g'(660)$를 구할 때는 $f(a) = 660$를 만족시키는 원함수 위의 점 $a = 1$을 먼저 찾아야 합니다.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1338)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1338x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1338$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(446) = 44358268$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 223$에서의 함숫값 $F(223) = -22179134$과 접선의 기울기 $F'(223) = -149187$을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 446),\; F''(x) = 6x - 1338$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=446$, 차 $44358268$ | [3-3] $F(223) = -22179134,\; F'(223) = -149187$

[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1338)\,dt = 3x^2 - 1338x$이고 $F''(x) = 6x - 1338$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 446) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(446) = -44358268$이므로 극값의 차는 $44358268$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 669x^2$에 $x = 223$을 대입하면 $F(223) = -22179134$이고 $F'(223) = -149187$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 1338x$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 446$ 판정 +3점 / 극값의 차 $44358268$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $F(223) = -22179134$ 계산 +4점 / $F'(223) = -149187$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 1338)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[약술문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 $x = -221$와 선분 $\overline{\mathrm{PF}} = 1105$의 길이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 $1105$와 높이 $884$로부터 삼각형의 넓이 $S = 488410$를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 준선 $x = -221,\; \overline{\mathrm{PF}} = 1105$ | [4-2] 접선 $y = \dfrac{1}{2}x + 442,\; \mathrm{Q}(-884, 0),\; \overline{\mathrm{FQ}} = 1105$ | [4-3] 넓이 $S = 488410$

[1줄: 공식선언 (30%)] 포물선 $y^2 = 884x$의 준선은 $x = -221$이므로 정의에 의해 $\overline{\mathrm{PF}} = 884 + 221 = 1105$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{2}x + 442$의 가로축 절편은 $\mathrm{Q}(-884, 0)$이므로 $\overline{\mathrm{FQ}} = 221 - (-884) = 1105$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 삼각형 FPQ의 밑변은 $1105$, 높이는 $884$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 1105\times 884 = 488410$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 준선 $x = -221$ 명시 +2점 / 포물선 정의로 $\overline{\mathrm{PF}} = 1105$ 도출 +4점
소문항 [4-2]	• 접선 $y = \dfrac{1}{2}x + 442$ 유도 +4점 / $\mathrm{Q}(-884, 0)$ 및 $\overline{\mathrm{FQ}} = 1105$ 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 밑변 $1105$ 및 높이 $884$ 설정 +3점 / 넓이 $S = 488410$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 위의 점 $(884, 884)$에서의 접선의 가로축 절편은 항상 $-884$가 되어 초점 F를 중심으로 이등변삼각형이 형성됩니다.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(663, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 663, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 663)$을 지나는 평면 $x + y + z = 663$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 663 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 221\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{439569}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{439569\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 48572374$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $d = \dfrac{663}{\sqrt{3}} = 221\sqrt{3}$ | [5-2] $S' = \dfrac{439569}{2},\; S = \dfrac{439569\sqrt{3}}{2}$ | [5-3] $V = 48572374$

[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 $d = \dfrac{663}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 221\sqrt{3}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 $S' = \dfrac{439569}{2}$이므로 $S = \sqrt{3}S' = \dfrac{439569\sqrt{3}}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{439569\sqrt{3}}{2} \times 221\sqrt{3} = 48572374$로 정확히 일치한다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+y+z=663$ 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 $d = 221\sqrt{3}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 $S' = \dfrac{439569}{2}$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{439569\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 $V = 48572374$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 $x + y + z = 663$과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.36 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 230} + 230$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0\cdot 464$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 464$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 464)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 464$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 464)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 464$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(232, 232)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 232)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 464)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 464 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{464}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=675,\; c=1125\right)$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1575\right)$이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 $S$와 둘레의 길이 $a + b + c = 3375$, 내접원의 반지름 $r$ 사이에는 $S = \dfrac{3375}{2}r$가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 675,\; c = 1125$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=675\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1575$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1575\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{759375\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{225\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 1344$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1344)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1344)\,dt = 3x^2 - 1344x$이고 $F''(x) = 6x - 1344$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1344)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1344x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1344$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(448) = 44957696$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 224$에서의 함숫값 $F(224) = -22478848$과 접선의 기울기 $F'(224) = -150528$을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 $t\;(0 \le t \le 678)$에서의 위치 차 함수를 $h(t) = t(t - 678)^2$라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 $h'(t)$이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 678]$에서 두 점 사이의 거리 $D(t) = |t(t - 678)^2|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1356t^2 + 459684t = t(t - 678)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 678$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(678) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 678]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 226)(t - 678)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(226) = 46172704$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2712 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 452$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(452) = 23086352$를 각각 구하시오.

[약술문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A_1, A_2$에서 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{223},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{223}$일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 $n = 795664$인 표본에서 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36$일 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{795664}}$이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{223},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{223}$이며, 크기 $n = 795664$인 표본의 표본비율이 $\hat{p} = 0.36$일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{223}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 223)$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 $n = 795664$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{892} = \dfrac{3}{5575}$를 유도하시오.

[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{139375}$를 기약분수로 구하시오.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.36 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 464 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{464}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 464,\; \mathrm{M}(232, 232)$ | [1-2] $\mathrm{P}(231, 233),\; \mathrm{Q}(233, 231)$ | [1-3] 넓이 $S = 464$

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 464$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 464$이며 중점은 $\mathrm{M}(232, 232)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 464)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(231, 233),\; \mathrm{Q}(233, 231)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 464 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{464}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{464}{\sqrt{2}} = 464$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 464$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(232, 232)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 464)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(231, 233),\; \mathrm{Q}(233, 231)$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{464}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 464$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 464$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(232, 232)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 675,\; c = 1125$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=675\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1575$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1575\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{759375\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{225\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 1575$ | [2-2] $R = \dfrac{1575\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{759375\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $r = \dfrac{225\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{354375}{2}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 $a^2 = 675^2 + 1125^2 - 2(675)(1125)(-1/2) = 49\times 225^2$이므로 $a = 1575$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 $2R = \dfrac{1575}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1575\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 675\times 1125\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{759375\sqrt{3}}{4}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 $a + b + c = 3375$이므로 $\dfrac{3375}{2}r = \dfrac{759375\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{225\sqrt{3}}{2}$이고 $R\cdot r = \dfrac{354375}{2}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 $a^2 = 49\times 225^2$ +3점 / $a = 1575$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{1575\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 넓이 $S = \dfrac{759375\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 $r = \dfrac{225\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점 / 곱 $R\cdot r = \dfrac{354375}{2}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 $120^\circ$이고 두 변의 비가 $3 : 5$인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 $7$이 되는 대표적인 정수비 삼각형($3\times 225 : 5\times 225 : 7\times 225$)입니다.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1344)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1344x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1344$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(448) = 44957696$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 224$에서의 함숫값 $F(224) = -22478848$과 접선의 기울기 $F'(224) = -150528$을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 448),\; F''(x) = 6x - 1344$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=448$, 차 $44957696$ | [3-3] $F(224) = -22478848,\; F'(224) = -150528$

[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1344)\,dt = 3x^2 - 1344x$이고 $F''(x) = 6x - 1344$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 448) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(448) = -44957696$이므로 극값의 차는 $44957696$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 672x^2$에 $x = 224$을 대입하면 $F(224) = -22478848$이고 $F'(224) = -150528$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 1344x$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 448$ 판정 +3점 / 극값의 차 $44957696$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $F(224) = -22478848$ 계산 +4점 / $F'(224) = -150528$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 1344)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1356t^2 + 459684t = t(t - 678)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 678$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(678) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 678]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 226)(t - 678)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(226) = 46172704$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2712 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 452$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(452) = 23086352$를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 678,\; h'(678) = 0$ | [4-2] $t = 226$에서 최댓값 $46172704$ | [4-3] $t_2 = 452,\; D(452) = 23086352$

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 $h(t) = t(t - 678)^2 = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 678$이고, 도함수 $h'(t) = 3(t - 226)(t - 678)$에 대입하면 $h'(678) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $[0, 678]$에서 내부 극대점은 $t = 226$이므로 최댓값은 $D(226) = 226(-452)^2 = 46172704$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 $h''(t) = 6t - 2712 = 0$에서 $t_2 = 452$이고, 그때의 거리는 $D(452) = 452(-226)^2 = 23086352$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t_1 = 678$ 도출 +3점 / 속도 차 $h'(678) = 0$ 확인 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t - 226)(t - 678) = 0$ 극대 판정 +4점 / 최댓값 $46172704$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• $h''(t) = 6t - 2712 = 0 \implies t_2 = 452$ 도출 +3점 / 거리 $23086352$ 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계($1 : 2 : 3$)에 의해 원점 $t=0$, 극대 $t=226$, 변곡 $t=452$, 접점 $t=678$이 등간격 $226$로 배열됩니다.

[약술문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{223}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 223)$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 $n = 795664$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{892} = \dfrac{3}{5575}$를 유도하시오.

[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{139375}$를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $P(B) = \dfrac{2}{223},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}$ | [5-2] 표준오차 $\dfrac{3}{5575}$ | [5-3] $L = \dfrac{294}{139375}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 $P(B) = \dfrac{1}{446} + \dfrac{3}{446} = \dfrac{2}{223}$이고, 베이즈 정리에 의해 $P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 223)}{2/223} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 795664}} = \dfrac{12}{25 \times 892} = \dfrac{3}{5575}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{5575} = \dfrac{294}{139375}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{223}$ 계산 +3점 / 사후확률 $P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 223)$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• $\sqrt{n} = 892$ 계산 +4점 / 표준오차 $\dfrac{3}{5575}$ 유도 +3점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / $\dfrac{294}{139375}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 $\dfrac{3}{5575}$ 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.37 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{234}\right)$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5$가 되어 역수 수열은 공차가 $5$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 $n = 1\;(a_1 = 1/234)$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{234}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 234\right)$을 이용하여 $b_n = 5n + 229$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 229}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{66456}$의 값을 유도하시오.

[약술문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2293$을 만족시키면 최고차항 계수가 $4$인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> $\lim_{x \to 229} \dfrac{f(x)}{(x - 229)^2} = 455$이 수렴하면 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 229)^2(4x + r)$ 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2293$과 $\lim_{x \to 229} \dfrac{f(x)}{(x - 229)^2} = 455$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 229)^2(4x + r)$로 놓고 상수 $r = -461$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 229)^2(4x + -461)$이 무한대 극한 조건 $-2293$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 $f(231) = 1852$의 값과 $x = 229$에서의 미분계수 $f'(229) = 0$의 값을 각각 구하시오.

[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 미분가능한 함수 $f(x) = x^3 + 663x + 2$에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 $f'(c) = 3c^2 + 663$인 $c$가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 $f'(x) = 3x^2 + 663 \gt 0$이므로 역함수 $g(x)$가 존재하며 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 663}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 663x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 663(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 666$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{663}$와 $g'(666) = \dfrac{1}{666}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 $(666, 1)$에서의 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{666}x$를 구하고, $\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(666)} = 1329$의 값을 구하시오.

[약술문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 228)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (228, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{228} (-6x^2 + 1368x)\,dx = 11852352$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{228}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $11852352$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 1368x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 684x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1368x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 11852352$를 유도하시오.

[문항 4-2] (7점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 11852352$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{228}{2}$를 구하고, $\int_0^{228/2} (-6x^2 + 1368x)\,dx = \dfrac{11852352}{2}$임을 확인하시오.

[문항 4-3] (7점) 포물선 $y = -6x^2 + 1368x$와 직선 $y = 684x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{11852352}{8}$을 구하시오.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 $\mathrm{A}(669, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 669, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 669)$을 지나는 평면의 방정식은 $x + y + z = 669$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 669)$이다.
<제시문 (나)> 평면 $x + y + z = 669$와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 $S' = S\cos\theta = \dfrac{447561}{2}$가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(669, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 669, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 669)$을 지나는 평면 $x + y + z = 669$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 669 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 223\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{447561}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{447561\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 49903051$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

2027학년도 대비 삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 1개 3등급 · 3줄 완성 루브릭

[약술문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.37 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{234}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 234\right)$을 이용하여 $b_n = 5n + 229$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 229}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{66456}$의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $b_n = 5n + 229,\; a_n = \dfrac{1}{5n + 229}$ | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] $\dfrac{10}{234\times 284} = \dfrac{10}{66456}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 234\right)$에서 $b_{n+1} - b_n = 5$이므로 $b_n = 234 + 5(n - 1) = 5n + 229$이고 $a_n = \dfrac{1}{5n + 229}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 $a_1 = \dfrac{1}{234}$ 성립. (ii) $a_k = \dfrac{1}{5k + 229}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{a_k}{5a_k + 1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 229}$이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{234} - \dfrac{1}{284}\right) = \dfrac{10}{66456}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 $b_n = 5n + 229$ 유도 +3점 / 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 229}$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 $a_1 = \dfrac{1}{234}$ 확인 +2점 / 귀납 가정 후 $a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 229}$ 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 $\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{234} - \dfrac{1}{284}\right)$ +4점 / 합 $\dfrac{10}{66456}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[약술문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2293$과 $\lim_{x \to 229} \dfrac{f(x)}{(x - 229)^2} = 455$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 229)^2(4x + r)$로 놓고 상수 $r = -461$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 229)^2(4x + -461)$이 무한대 극한 조건 $-2293$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 $f(231) = 1852$의 값과 $x = 229$에서의 미분계수 $f'(229) = 0$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $r = -461$ | [2-2] 이차항 계수 $-2293$ 일치 검증 완료 | [2-3] $f(231) = 1852,\; f'(229) = 0$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 $\lim_{x \to 229} (4x + r) = 916 + r = 455$이므로 $r = -461$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 $f(x) = (x^2 - 458x + 52441)(4x + -461) = 4x^3 + (-2293)x^2 + \cdots$이므로 이차항 계수 $-2293$이 정확히 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] $x = 231$를 대입하면 $f(231) = 4(924 + -461) = 1852$이고, $(x - 229)^2$을 인수로 가지므로 $f'(229) = 0$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 $r = -461$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 $-2293$ 확인 +7점
소문항 [2-3]	• $f(231) = 1852$ 산출 +4점 / 중근 성질로 $f'(229) = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 $(x - 229)^2$이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 $x = 229$을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 663x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 666$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{663}$와 $g'(666) = \dfrac{1}{666}$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $f'(c) = 3c^2 + 663 \ge 663$ 증명 완료 | [3-2] $g'(2) = \dfrac{1}{663},\; g'(666) = \dfrac{1}{666}$ | [3-3] 접선 $y = \dfrac{1}{666}x,\; \text{합 } 1329$

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 663 \ge 663$이고 $x_2 - x_1 \gt 0$이므로 $f(x_2) - f(x_1) \ge 663(x_2 - x_1)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{663}$이고 $g'(666) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{666}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 점 $(666, 1)$에서의 접선은 $y - 1 = \dfrac{1}{666}(x - 666) \implies y = \dfrac{1}{666}x$이고, 역수의 합은 $663 + 666 = 1329$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 $f'(c) = 3c^2 + 663 \ge 663$ 서술 +6점
소문항 [3-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{663}$ 산출 +3점 / $g'(666) = \dfrac{1}{666}$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{666}x$ 유도 +4점 / 역수 합 $1329$ 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 $g'(666)$를 구할 때는 $f(a) = 666$를 만족시키는 원함수 위의 점 $a = 1$을 먼저 찾아야 합니다.

[약술문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 1368x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 684x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1368x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 11852352$를 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $S = 11852352$ | [4-2] $k = \dfrac{228}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{11852352}{2}$ | [4-3] 교점 $x = 0, \dfrac{228}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{11852352}{8}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 684x^2\right]_0^{228} = -2(228)^3 + 3(228)^3 = 11852352$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{228}{2}$에 의해 $k = \dfrac{228}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 684x^2\right]_0^{228/2} = -\dfrac{11852352}{4} + \dfrac{3\times 11852352}{4} = \dfrac{11852352}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 1368x = 684x \implies 6x\left(x - \dfrac{228}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{228}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{228/2} (-6x^2 + 684x)\,dx = \dfrac{11852352}{8}$이다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 684x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 11852352$ 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{228}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 228/2]$ 적분값 $\dfrac{11852352}{2}$ 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 $x = \dfrac{228}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{11852352}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{228}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{11852352}{8}$이 됩니다.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(669, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 669, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 669)$을 지나는 평면 $x + y + z = 669$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 669 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 223\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{447561}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{447561\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 49903051$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $d = \dfrac{669}{\sqrt{3}} = 223\sqrt{3}$ | [5-2] $S' = \dfrac{447561}{2},\; S = \dfrac{447561\sqrt{3}}{2}$ | [5-3] $V = 49903051$

[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 $d = \dfrac{669}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 223\sqrt{3}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 $S' = \dfrac{447561}{2}$이므로 $S = \sqrt{3}S' = \dfrac{447561\sqrt{3}}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{447561\sqrt{3}}{2} \times 223\sqrt{3} = 49903051$로 정확히 일치한다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+y+z=669$ 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 $d = 223\sqrt{3}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 $S' = \dfrac{447561}{2}$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{447561\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 $V = 49903051$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 $x + y + z = 669$과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 458\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(229, 229)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 458)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(228, 230),\; \mathrm{Q}(230, 228)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{458}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 458\) 산출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 6n + 224\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 224}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{230}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 224}\) 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{230} - \dfrac{1}{290}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{66700}\) 산출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 227\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 6x^2 + 231\) 유도 +4점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = 2x^3 + 231x + 227\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 237x + 223\) 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{255}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 669\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(669) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 223)(t - 669) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(44358268\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 2676 = 0 \implies t_2 = 446\) 도출 +3점 / 거리 \(22179134\) 계산 +4점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 672x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 11239424\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{224}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 224/2]\) 적분값 \(\dfrac{11239424}{2}\) 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 \(x = \dfrac{224}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{11239424}{8}\) 도출 +4점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 232\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 53822\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 231\sqrt{234}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 12486472\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(12486474\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(231\sqrt{234}\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 223^2\) +3점 / \(a = 1561\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1561\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{745935\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{223\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{348103}{2}\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -455\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-2263\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(228) = 1828\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(226) = 0\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(227)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(227) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 227\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 227)(x - 225)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 225\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(225) = -4\;(\text{극점 } 225)\) 산출 +4점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 687 - 2A \implies A = 229\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 916x + 686\) 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{458}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -227\) 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(1374\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{222}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 222)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\sqrt{n} = 888\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{5550}\) 유도 +3점
소문항 [1-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{138750}\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 657 \ge 657\) 서술 +6점
소문항 [2-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{657}\) 산출 +3점 / \(g'(660) = \dfrac{1}{660}\) 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{660}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1317\) 계산 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 1338x\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 \(x = 0, 446\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(44358268\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \(F(223) = -22179134\) 계산 +4점 / \(F'(223) = -149187\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 준선 \(x = -221\) 명시 +2점 / 포물선 정의로 \(\overline{\mathrm{PF}} = 1105\) 도출 +4점
소문항 [4-2]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 442\) 유도 +4점 / \(\mathrm{Q}(-884, 0)\) 및 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 1105\) 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 밑변 \(1105\) 및 높이 \(884\) 설정 +3점 / 넓이 \(S = 488410\) 산출 +4점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=663\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 221\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{439569}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{439569\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 48572374\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 464\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(232, 232)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 464)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(231, 233),\; \mathrm{Q}(233, 231)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{464}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 464\) 산출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 225^2\) +3점 / \(a = 1575\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1575\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{759375\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{225\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{354375}{2}\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 678\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(678) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 226)(t - 678) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(46172704\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 2712 = 0 \implies t_2 = 452\) 도출 +3점 / 거리 \(23086352\) 계산 +4점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{223}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 223)\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\sqrt{n} = 892\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{5575}\) 유도 +3점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{139375}\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 5n + 229\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 229}\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{234}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 229}\) 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{234} - \dfrac{1}{284}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{66456}\) 산출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -461\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-2293\) 확인 +7점
소문항 [2-3]	• \(f(231) = 1852\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(229) = 0\) 도출 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 663 \ge 663\) 서술 +6점
소문항 [3-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{663}\) 산출 +3점 / \(g'(666) = \dfrac{1}{666}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{666}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1329\) 계산 +3점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 684x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 11852352\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{228}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 228/2]\) 적분값 \(\dfrac{11852352}{2}\) 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 \(x = \dfrac{228}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{11852352}{8}\) 도출 +4점

평가 소문항	삼육대학교 자연·약학 약술형 논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=669\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 223\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{447561}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{447561\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 49903051\) 도출 +3점