2027학년도 대비 부산대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 부산대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 거점국립 심층논술

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.29 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{229}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 227\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{229}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 226\sqrt{229}\)이 성립한다.

양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{229}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 227\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 51527\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 226\sqrt{229}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 11696402\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{11696404}{226\sqrt{229}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 227,\; x^2 + x^{-2} = 51527\) | [1-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 226\sqrt{229},\; x^3 + x^{-3} = 11696402\) | [1-3] \(226\sqrt{229}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{229})^2 - 2 = 227\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 227^2 - 2 = 51527\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{229})^3 - 3\sqrt{229} = 226\sqrt{229}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 227^3 - 3\times 227 = 11696402\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 11696404 = (226\sqrt{229})^2\)이므로 분모 \(226\sqrt{229}\)로 약분하면 \(226\sqrt{229}\)이다.

평가 소문항	부산대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 227\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 51527\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 226\sqrt{229}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 11696402\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(11696404\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(226\sqrt{229}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(11696404 = (226\sqrt{229})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=654,\; c=1090\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1526\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 3270\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{3270}{2}r\)가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 654,\; c = 1090\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=654\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1526\)의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1526\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{712860\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{218\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 1526\) | [2-2] \(R = \dfrac{1526\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{712860\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{218\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{332668}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 654^2 + 1090^2 - 2(654)(1090)(-1/2) = 49\times 218^2\)이므로 \(a = 1526\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{1526}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1526\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 654\times 1090\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{712860\sqrt{3}}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 3270\)이므로 \(\dfrac{3270}{2}r = \dfrac{712860\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{218\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{332668}{2}\)이다.

평가 소문항	부산대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 218^2\) +3점 / \(a = 1526\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1526\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{712860\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{218\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{332668}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 218 : 5\times 218 : 7\times 218\))입니다.

[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -887\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(2\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 221} \dfrac{f(x)}{(x - 221)^2} = 439\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 221)^2(2x + r)\) 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -887\)과 \(\lim_{x \to 221} \dfrac{f(x)}{(x - 221)^2} = 439\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 221)^2(2x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -3\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 221)^2(2x + -3)\)이 무한대 극한 조건 \(-887\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(223) = 1772\)의 값과 \(x = 221\)에서의 미분계수 \(f'(221) = 0\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(r = -3\) | [3-2] 이차항 계수 \(-887\) 일치 검증 완료 | [3-3] \(f(223) = 1772,\; f'(221) = 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 221} (2x + r) = 442 + r = 439\)이므로 \(r = -3\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 442x + 48841)(2x + -3) = 2x^3 + (-887)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-887\)이 정확히 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 223\)를 대입하면 \(f(223) = 4(446 + -3) = 1772\)이고, \((x - 221)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(221) = 0\)이다.

평가 소문항	부산대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-887\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(223) = 1772\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(221) = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 221)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 221\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[대문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 441x + 48618\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 222|P(x)\)가 \(x = 222\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(222) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 222)(x - 219)\)일 때 구간 \(x \lt 222\)에서 \(h(x) = -(x - 222)^2(x - 219)\)로 표현된다.

이차함수 \(P(x) = x^2 - 441x + 48618\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 222|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(x = 222\)에서의 우미분계수 \(P(222)\)와 좌미분계수 \(-P(222)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(222) = 0\)임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 222\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 222)(x - 220)\)을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) \(x \ne 222\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 220\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(220) = -4\;(\text{기준점 } 222)\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(P(222) = -P(222) = 0\) 확인 | [4-2] \(h'(x) = -3(x - 222)(x - 220)\) | [4-3] \(x = 220,\; h(220) = -4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수 정의에서 \(\lim_{x \to 222\pm} \dfrac{|x - 222|P(x)}{x - 222} = \pm P(222)\)이고 실제로 \(P(222) = (222 - 222)(222 - 219) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \(x \lt 222\)에서 \(h(x) = -(x - 222)^2(x - 219)\)를 미분하면 \(h'(x) = -(x - 222)(3x - 660) = -3(x - 222)(x - 220)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(x \ne 222\)에서 극점은 \(x = 220\)이고, 대입하면 \(h(220) = -(220 - 222)^2(220 - 219) = -4\)이다.

평가 소문항	부산대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(222)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(222) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 222\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 222)(x - 220)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 220\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(220) = -4\;(\text{극점 } 220)\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 \(x = 222\)에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 \(x - 222\)을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[대문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 671\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 671\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 224\)에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 671)\,dx = 1344\)이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 671\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 671)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 224\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 896x + 671\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{448}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -222\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 896x + 671)\,dx = 1344\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(A = 224,\; f(x) = 3x^2 - 896x + 671\) | [5-2] \(x = \dfrac{448}{3},\; f(1) = -222\) | [5-3] \(1344\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 \(A = \left[t^3 - 2At^2 + 671t\right]_0^1 = 672 - 2A \implies 3A = 672\)이므로 \(A = 224\)이고 \(f(x) = 3x^2 - 896x + 671\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 \(f'(x) = 6x - 896 = 0\)에서 극소점은 \(x = \dfrac{448}{3}\)이고, \(f(1) = 3 - 896 + 671 = -222\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 기함수 항 \(-896x\)는 소거되므로 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 896x + 671)\,dx = 2(1 + 671) = 1344\)이다.

평가 소문항	부산대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 672 - 2A \implies A = 224\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 896x + 671\) 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{448}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -222\) 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(1344\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 \(A = 224\)이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

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