[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.39 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(\cos A = \dfrac{3}{5},\; \sin A = \dfrac{4}{5},\; S = 84\) | [1-2] \(R = \dfrac{65}{8},\; r = 4,\; r_a = \dfrac{21}{2}\) | [1-3] \(\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c} = \dfrac{s}{S} = \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{4}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\cos A = \dfrac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2\cdot 14\cdot 15}\)를 계산하고 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\)를 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\cos A = \dfrac{196 + 225 - 169}{420} = \dfrac{252}{420} = \dfrac{3}{5}\)이므로 \(\sin A = \dfrac{4}{5}\)이고 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 14\cdot 15\cdot\dfrac{4}{5} = 84\)이다. \(s = \dfrac{13+14+15}{2} = 21\)이므로 \(R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{65}{8},\; r = \dfrac{84}{21} = 4,\; r_a = \dfrac{84}{21 - 13} = \dfrac{84}{8} = \dfrac{21}{2}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\dfrac{1}{r_a} + \dfrac{1}{r_b} + \dfrac{1}{r_c} = \dfrac{s-a}{S} + \dfrac{s-b}{S} + \dfrac{s-c}{S} = \dfrac{3s - (a+b+c)}{S} = \dfrac{3s - 2s}{S} = \dfrac{s}{S} = \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{4}\)이 항상 성립한다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [1-1] 6점 | • \(\cos A = \dfrac{3}{5},\; \sin A = \dfrac{4}{5}\) 도출 +3점 / \(S = 84\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(R = \dfrac{65}{8}\) 산출 +2점 / \(r = 4,\; r_a = \dfrac{21}{2}\) 도출 +5점 |
| [1-3] 7점 | • \(\dfrac{3s - (a+b+c)}{S} = \dfrac{s}{S} = \dfrac{1}{r}\) 항등식 증명 +4점 / 값 \(\dfrac{1}{4}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \((13, 14, 15)\) 삼각형은 높이 \(h_b = 12\)가 직각삼각형 \((5, 12, 13)\)과 \((9, 12, 15)\)를 붙여 만든 헤론 삼각형이므로 넓이가 \(84\)로 깔끔하게 떨어집니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.38 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(b = 1\) 또는 \(b = -1\) | [2-2] \(a = -2\) | [2-3] \(a = 2\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\lim_{x \to 2-} |f(x)| = |4 - 12 + 7| = |-1| = 1\)이고 \(\lim_{x \to 2+} |f(x)| = |b|\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(|b| = 1\)에서 \(b = 1\) 또는 \(b = -1\)이다. \(x \le 2\) 근방에서 \(f(x) < 0\)이므로 \(g(x) = -x^2 + 6x - 7\)이고 좌미분계수는 \(g'(2-) = -2(2) + 6 = 2\)이다. \(b = -1\)일 때는 \(x > 2\) 근방에서 \(g(x) = -a(x - 2) + 1\)이므로 우미분계수 \(g'(2+) = -a = 2 \implies a = -2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(b = 1\)일 때는 \(x > 2\) 근방에서 \(f(x) > 0\)이므로 \(g(x) = a(x - 2) + 1\)이고 우미분계수는 \(g'(2+) = a\)이다. 따라서 \(g'(2-) = g'(2+) \implies a = 2\)일 때 \(g(x)\)는 \(x = 2\)에서 미분가능하다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • \(\lim_{x \to 2-} |f(x)| = |-1| = 1\) 도출 +3점 / \(|b| = 1 \implies b = \pm 1\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • 좌미분계수 \(g'(2-) = 2\) 산출 +3점 / \(b=-1\)일 때 \(g'(2+) = -a = 2 \implies a = -2\) 도출 +4점 |
| [2-3] 7점 | • \(b = 1\)일 때 \(g'(2+) = a\) 도출 +3점 / \(a = 2\) 산출 및 불연속 함수의 절댓값 미분가능성 설명 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 불연속(\(f(2-) = -1,\; f(2+) = +1\))이더라도 \(|f(x)|\)는 연속이 될 수 있으며, 접점에서의 기울기 부호가 반대이면 \(|f(x)|\)가 미분가능해집니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(h'(x) = 4(x - 1)^3,\; x = 1\)에서 최솟값 \(-1\) | [3-2] \(k_{\max} = -1\), 접점 \((1, 7)\) | [3-3] \(m > -1\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = (x - 1)^4 - 1\)로 완전네제곱 변형하거나 미분한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(h'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 4(x - 1)^3\)이므로 \(x = 1\)에서 유일한 극솟값이자 최솟값 \(h(1) = -1\)을 갖는다. 따라서 \(k \le -1\)에서 \(k_{\max} = -1\)이고, 접점은 \((1, f(1)) = (1, 7)\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(h(x) = (x - 1)^4 - 1 = m \iff (x - 1)^4 = m + 1\)이므로, 서로 다른 두 실근 \(x = 1 \pm (m + 1)^{1/4}\)을 갖기 위한 필요충분조건은 \(m + 1 > 0 \iff m > -1\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • \(h'(x) = 4(x-1)^3\) 인수분해 +3점 / \(x = 1\)에서 최솟값 \(-1\) 산출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(k_{\max} = -1\) 도출 +4점 / 접점 \((1, 7)\) 산출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \((x-1)^4 = m + 1\) 완전네제곱 변형 +4점 / \(m > -1\) 도출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 이항정리 계수 \(1, -4, 6, -4, 1\)을 관찰하면 \(h(x) + 1 = (x - 1)^4\)임이 한눈에 보여 도함수 없이도 최솟값 \(-1\)을 즉시 확인할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.45 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] 극댓값 \(F(1) = 1\), 극솟값 \(F(0) = F(2) = 0\) | [4-2] \(F(2) - F(0) = 0\) 등적 확인, 전체 넓이 \(2\) | [4-3] \(\dfrac{16\sqrt{2}}{15}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(F'(x) = f(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 극점 \(x = 0, 1, 2\)를 구하고 적분한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(F(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 = x^2(x - 2)^2\)이므로 \(x = 1\)에서 극댓값 \(F(1) = 1\), \(x = 0, 2\)에서 극솟값 \(F(0) = F(2) = 0\)을 갖는다. \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt = F(2) - F(0) = 0\)이므로 \([0, 1]\) 넓이 \(S_1 = F(1) - F(0) = 1\)과 \([1, 2]\) 넓이 \(S_2 = F(1) - F(2) = 1\)이 서로 같고, 전체 넓이는 \(1 + 1 = 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(F(x) - 1 = (x^2 - 2x)^2 - 1 = (x^2 - 2x - 1)(x - 1)^2 = 0\)에서 직선 \(y = 1\)은 \((1, 1)\)에서 접하고 \(x = 1 \pm \sqrt{2}\)에서 만난다. \(u = x - 1\)로 평행이동하면 \(F(1 + u) - 1 = (u^2 - 1)^2 - 1 = u^4 - 2u^2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2u^2 - u^4)\,du = 2\left[\dfrac{2}{3}u^3 - \dfrac{1}{5}u^5\right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3} - \dfrac{4\sqrt{2}}{5}\right) = \dfrac{16\sqrt{2}}{15}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • \(F(x) = x^2(x-2)^2\) 적분 +3점 / 극댓값 \(F(1)=1\), 극솟값 \(F(0)=F(2)=0\) 도출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • \(S_1 = S_2 = 1\) 등적 설명 +4점 / 전체 넓이 \(2\) 산출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • \(u = x - 1\) 치환으로 \(\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2u^2 - u^4)\,du\) 유도 +4점 / 넓이 \(\dfrac{16\sqrt{2}}{15}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 사차함수 \(F(x) = x^2(x-2)^2\)를 대칭축 \(x = 1\)을 기준으로 \(u = x - 1\) 치환하면 우함수 \((u^2 - 1)^2\)가 되어 정적분 계산량이 절반으로 줄어듭니다.
[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\mathrm{M}(3, 2),\; \overline{\mathrm{QM}} = 5\) | [5-2] 최댓값 \(14\), 최솟값 \(6\) | [5-3] 최댓값 \(45\), 최솟값 \(5\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 중점은 \(\mathrm{M}(3, 2)\)이고 \(\overline{\mathrm{QM}} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = 5\)이며 원의 반지름은 \(r = 2\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{PM}}\)의 범위는 \(\overline{\mathrm{QM}} - r \le \overline{\mathrm{PM}} \le \overline{\mathrm{QM}} + r \iff 3 \le \overline{\mathrm{PM}} \le 7\)이다. 따라서 \(|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + \overrightarrow{\mathrm{PB}}| = 2\overline{\mathrm{PM}}\)의 최댓값은 \(14\), 최솟값은 \(6\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\overrightarrow{\mathrm{PA}} = \overrightarrow{\mathrm{PM}} + \overrightarrow{\mathrm{MA}},\; \overrightarrow{\mathrm{PB}} = \overrightarrow{\mathrm{PM}} + \overrightarrow{\mathrm{MB}} = \overrightarrow{\mathrm{PM}} - \overrightarrow{\mathrm{MA}}\)이므로 내적하면 \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}} = |\overrightarrow{\mathrm{PM}}|^2 - |\overrightarrow{\mathrm{MA}}|^2\)이 성립한다. \(|\overrightarrow{\mathrm{MA}}| = 2\)이므로 \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{PM}}^2 - 4\)는 \(\overline{\mathrm{PM}} = 7\)일 때 최댓값 \(49 - 4 = 45\), \(\overline{\mathrm{PM}} = 3\)일 때 최솟값 \(9 - 4 = 5\)를 갖는다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [5-1] 6점 | • 중점 \(\mathrm{M}(3, 2)\) 도출 +3점 / \(\overline{\mathrm{QM}} = 5\) 산출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(3 \le \overline{\mathrm{PM}} \le 7\) 범위 설정 +3점 / \(2\overline{\mathrm{PM}}\)의 최댓값 \(14\), 최솟값 \(6\) 산출 +4점 |
| [5-3] 7점 | • 중점 분해 내적 항등식 증명 +3점 / 최댓값 \(45\), 최솟값 \(5\) 산출 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 동점 \(\mathrm{P}\)가 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}, \overrightarrow{\mathrm{PB}}\)에 동시에 들어 있을 때는 중점 \(\mathrm{M}\)을 경유하여 \(\mathrm{P}\)가 한 번만 등장하는 \(\overline{\mathrm{PM}}^2 - \overline{\mathrm{MA}}^2\)으로 변환하는 것이 핵심입니다.