[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(2 \le x \le 8\), 자연수 \(7\)개 | [1-2] 최댓값 \(10\), 최솟값 \(8\) | [1-3] 최솟값 \(12,\; \log_a b = \dfrac{3}{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\log_2(x/2) = t - 1,\; \log_2(x/8) = t - 3\)을 대입하여 이차부등식을 푼다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \((t - 1)(t - 3) \le 0 \iff 1 \le t \le 3 \iff 2 \le x \le 8\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 구간 \(2 \le x \le 8\)에서 자연수 \(x\)는 \(7\)개이고, 산술·기하평균에 의해 \(f(x) = x + \dfrac{16}{x}\)는 \(x = 4\)에서 최솟값 \(8\), 양 끝점 \(x = 2, 8\)에서 최댓값 \(10\)을 갖는다. 또한 \(u = \log_a b > 0\)라 하면 \(4u + \dfrac{9}{u} \ge 2\sqrt{36} = 12\)이며 등호는 \(4u = \dfrac{9}{u} \implies u = \dfrac{3}{2}\)일 때 성립한다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [1-1] 6점 | • 치환 부등식 \((t-1)(t-3) \le 0\) 유도 +3점 / \(2 \le x \le 8\) 및 자연수 \(7\)개 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(x = 4\)에서 최솟값 \(8\) 도출 +4점 / 끝점 \(x = 2, 8\)에서 최댓값 \(10\) 산출 +3점 |
| [1-3] 7점 | • \(4\log_a b + \dfrac{9}{\log_a b} \ge 12\) 유도 +4점 / 등호 조건 \(\log_a b = \dfrac{3}{2}\) 도출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 밑변환 공식 \(\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}\)를 쓰면 서로 역수인 두 양수의 합 형태가 되어 산술·기하평균 부등식을 즉시 적용할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.37 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(f(x) = (x - 1)^2(x - 2)(x + 2)\) | [2-2] \(x = 1,\; \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{4}\), 극댓값 \(f(1) = 0\) | [2-3] 세 근의 합 \(\dfrac{3}{2}\), 접선 \(y = 4x - 8\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 첫 조건에서 \(f(x) = (x - 1)^2(x - 2)(x - k)\)로 놓고 두 극한식을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(x \to 1\)일 때 \((1 - 2)(1 - k) = -(1 - k) = -3 \implies k = -2\)이므로 \(f(x) = (x - 1)^2(x - 2)(x + 2)\)이며, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = (2 - 1)^2(2 + 2) = 4\)가 일치한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(x) = (x - 1)^2(x^2 - 4) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4\)이므로 \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 6x + 8 = 2(x - 1)(2x^2 - x - 4) = 0\)에서 세 실근은 \(1,\; \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{4}\)이고 \(x = 1\)에서 극댓값 \(f(1) = 0\)을 갖는다. 세 근의 합은 \(\dfrac{3}{2}\)이고 \((2, 0)\)에서의 접선은 \(y = 4(x - 2) = 4x - 8\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • \(f(x) = (x-1)^2(x-2)(x-k)\) 인수 설정 +3점 / \(k = -2\) 및 \(f(x) = (x-1)^2(x^2-4)\) 도출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(f'(x) = 2(x-1)(2x^2-x-4)\) 인수분해 +4점 / 세 실근 및 극댓값 \(f(1) = 0\) 도출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • 세 실근의 합 \(\dfrac{3}{2}\) 산출 +3점 / 접선 \(y = 4x - 8\) 도출 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \((x - 1)^2\)과 \((x - 2)\)를 인수로 갖는 사차함수에서 나머지 일차인수를 \((x - k)\)로 놓으면 미정계수가 \(k\) 하나로 줄어들어 계산이 대폭 간소화됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.41 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 = k\) | [3-2] \(0 < k < 1\) | [3-3] \(m = -5, -4\), 합 \(-9\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f(x) = x^3 - 3x^2\)에서 접선 \(y = (3t^2 - 6t)(x - t) + t^3 - 3t^2\)에 \((0, k)\)를 대입한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(k = -2t^3 + 3t^2 = g(t)\)이다. \(g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0\)에서 \(g(0) = 0\)(극소), \(g(1) = 1\)(극대)이므로 서로 다른 세 접선을 그을 수 있는 \(k\)의 범위는 \(0 < k < 1\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 점 \(\mathrm{Q}(2, m)\)을 대입하면 \(m = (3t^2 - 6t)(2 - t) + t^3 - 3t^2 = -2t^3 + 9t^2 - 12t = h(t)\)이다. \(h'(t) = -6t^2 + 18t - 12 = -6(t - 1)(t - 2) = 0\)이므로 접선이 \(2\)개가 되는 \(m\)은 극솟값 \(h(1) = -5\)와 극댓값 \(h(2) = -4\)이며, 두 값의 합은 \(-9\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • 접선의 \(y\)절편 식 유도 +3점 / \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 = k\) 도출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(g'(t) = -6t(t-1)\) 및 \(g(0)=0,\; g(1)=1\) 산출 +4점 / \(0 < k < 1\) 도출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \(h(t) = -2t^3 + 9t^2 - 12t\) 유도 +3점 / \(h(1) = -5,\; h(2) = -4\) 및 합 \(-9\) 산출 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼차함수 곡선 위의 점과 변곡접선 위의 점(변곡점 제외)이 바로 접선을 정확히 \(2\)개 그을 수 있는 경계 영역이 됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(t_1 = \dfrac{3}{2},\; D_{\max} = \dfrac{9}{8}\) | [4-2] \(t_2 = \dfrac{9}{4}\), 위치 \(\dfrac{243}{64}\) | [4-3] \(L_1 = 4 + \dfrac{13}{64} = \dfrac{269}{64},\; L_2 = \dfrac{243}{64}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 상대 속도 \(v_1(t) - v_2(t) = 3t - 2t^2 = t(3 - 2t)\)를 적분하여 위치 차 \(\Delta x(t) = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{2}{3}t^3\)을 구한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(v_1(t) = v_2(t) \implies t_1 = \dfrac{3}{2}\)에서 \(\Delta x\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{27}{8} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{8}\)로 최대 거리를 갖는다. 다시 만나는 시각은 \(\Delta x(t_2) = t_2^2\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}t_2\right) = 0 \implies t_2 = \dfrac{9}{4}\)이며, 위치는 \(x_2\left(\dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{81}{16}\right) - \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{729}{64}\right) = \dfrac{243}{64}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 점 \(\mathrm{P}\)는 \(t = 2\)에서 운동 방향을 바꾸므로 \(L_1 = \int_{0}^{2} (6t - 3t^2)\,dt + \int_{2}^{9/4} (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + (4 - \dfrac{243}{64}) = \dfrac{269}{64}\)이고, 점 \(\mathrm{Q}\)는 \([0, 9/4]\)에서 항상 \(v_2(t) \ge 0\)이므로 \(L_2 = x_2\left(\dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{243}{64}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • \(t_1 = \dfrac{3}{2}\) 도출 +3점 / 정적분으로 \(D_{\max} = \dfrac{9}{8}\) 산출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • \(\Delta x(t_2) = 0 \implies t_2 = \dfrac{9}{4}\) 도출 +4점 / 만남 위치 \(\dfrac{243}{64}\) 산출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • 점 \(\mathrm{P}\)의 방향 전환 시각 \(t = 2\) 분할 적분 \(L_1 = \dfrac{269}{64}\) +4점 / \(L_2 = \dfrac{243}{64}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 두 점이 만나는 시각은 속도가 같아지는 시각(\(v_1 = v_2\))이 아니라 위치의 정적분 값이 같아지는 시각(\(\int_0^t (v_1 - v_2)\,ds = 0\))임을 명확히 구분하십시오.
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] 합 \(14\), 차 \(6 \implies \overline{\mathrm{PF'}} = 10,\; \overline{\mathrm{PF}} = 4\) | [5-2] \(\cos(\angle \mathrm{F'PF}) = \dfrac{1}{5}\), 넓이 \(8\sqrt{6}\) | [5-3] \(m_1 m_2 = -\dfrac{24\cdot 16 x_0^2}{49\cdot 9 y_0^2} = -1\) 직교 증명
[1줄 공식선언 (30%)]: \(a_1 = 7,\; a_2 = 3\)이므로 \(\overline{\mathrm{PF'}} + \overline{\mathrm{PF}} = 14,\; \overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{PF}} = 6\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 연립하면 \(\overline{\mathrm{PF'}} = 10,\; \overline{\mathrm{PF}} = 4\)이고 \(\overline{\mathrm{F'F}} = 10\)이다. 코사인법칙에서 \(\cos(\angle \mathrm{F'PF}) = \dfrac{10^2 + 4^2 - 10^2}{2\cdot 10\cdot 4} = \dfrac{16}{80} = \dfrac{1}{5}\)이므로 \(\sin(\angle \mathrm{F'PF}) = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\)이고 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 8\sqrt{6}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 두 곡선의 식을 변변 빼면 \(x_0^2\left(\dfrac{1}{49} - \dfrac{1}{9}\right) + y_0^2\left(\dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{16}\right) = 0 \implies -\dfrac{40}{49\cdot 9}x_0^2 + \dfrac{40}{24\cdot 16}y_0^2 = 0 \implies \dfrac{x_0^2}{y_0^2} = \dfrac{49\cdot 9}{24\cdot 16}\)이다. 두 접선의 기울기는 \(m_1 = -\dfrac{24x_0}{49y_0},\; m_2 = \dfrac{16x_0}{9y_0}\)이므로 \(m_1 m_2 = -\dfrac{24\cdot 16}{49\cdot 9}\cdot\dfrac{x_0^2}{y_0^2} = -1\)이 되어 두 접선은 수직이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • 합 \(14\), 차 \(6\) 설정 +3점 / \(\overline{\mathrm{PF'}} = 10,\; \overline{\mathrm{PF}} = 4\) 도출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(\cos(\angle \mathrm{F'PF}) = \dfrac{1}{5}\) 산출 +4점 / 넓이 \(8\sqrt{6}\) 도출 +3점 |
| [5-3] 7점 | • 두 곡선 차로부터 \(\dfrac{x_0^2}{y_0^2} = \dfrac{49\cdot 9}{24\cdot 16}\) 유도 +4점 / \(m_1 m_2 = -1\) 직교 증명 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 공초점 타원과 쌍곡선의 방정식 변변을 빼면 상수항 \(1 - 1 = 0\)이 소거되어 교점 좌표 \((x_0, y_0)\)를 직접 구하지 않고도 \(\dfrac{x_0^2}{y_0^2}\)의 비율을 즉시 얻을 수 있습니다.