🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]
[제시문 (가)] 밑이 \(a > 1\)인 로그부등식 \(\left(\log_a x\right)^2 - (p + q)\log_a x + pq \le 0\) (\(p < q\))은 \(t = \log_a x\)로 치환하면 \(p \le \log_a x \le q\)가 되며, 로그함수의 단조증가성에 의해 진수 조건 \(x > 0\) 아래에서 \(a^p \le x \le a^q\)와 동치이다.
양수 \(x\)에 대한 로그부등식 \(\log_2\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot\log_2\left(\dfrac{x}{8}\right) \le 0\)과 두 양수 \(a > 1,\; b > 1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) \(t = \log_2 x\)로 치환하여 주어진 부등식을 만족시키는 실수 \(x\)의 값의 범위와 자연수 \(x\)의 개수를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) [문항 1-1]의 해 구간에서 함수 \(f(x) = x + \dfrac{16}{x}\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) \(a > 1,\; b > 1\)인 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\log_a b^4 + \log_b a^9\)의 최솟값과 그때의 \(\log_a b\)의 값을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.37 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{(x - a)^2} = L\) (\(L \ne 0\)인 실수)이 성립하려면, 인수 정리에 의해 \(f(x)\)는 \((x - a)^2\)을 인수로 가져야 하며 \(f(x) = (x - a)^2 q(x)\) (\(q(a) = L\))의 꼴로 표현된다.
최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 두 극한 조건 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = -3,\; \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 4\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 두 극한 조건을 이용하여 사차함수 \(f(x)\)를 인수분해된 형태로 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하여 방정식 \(f'(x) = 0\)의 모든 실근을 구하고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 방정식 \(f'(t) = 0\)을 만족시키는 서로 다른 세 실근 \(t_1, t_2, t_3\)의 합 \(t_1 + t_2 + t_3\)와 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((2, 0)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.41 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 좌표평면 위의 점 \(\mathrm{P}(a, b)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그은 접선의 개수는, 접점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 할 때 접선의 방정식 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)에 \((a, b)\)를 대입한 방정식 \(b = f'(t)(a - t) + f(t)\)의 서로 다른 실근 \(t\)의 개수와 같다.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2\)의 그래프와 \(y\)축 위의 점 \(\mathrm{P}(0, k)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{P}(0, k)\)를 지날 조건을 \(t\)에 대한 방정식 \(g(t) = k\)로 나타내고, 다항식 \(g(t)\)를 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(0, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 점 \(\mathrm{Q}(2, m)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그을 수 있는 접선의 개수가 정확히 \(2\)개가 되도록 하는 모든 실수 \(m\)의 값과 그 합을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
[제시문 (가)] 수직선 위의 원점을 시각 \(t = 0\)에 동시에 출발한 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 속도가 각각 \(v_1(t), v_2(t)\)일 때, 두 점 사이의 위치 차는 \(\Delta x(t) = x_1(t) - x_2(t) = \int_{0}^{t} \bigl(v_1(s) - v_2(s)\bigr)\,ds\)이며, \(\Delta x'(t) = 0 \iff v_1(t) = v_2(t)\)인 시각에서 두 점 사이의 거리가 극값을 갖는다.
시각 \(t = 0\)에 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 시각 \(t \ge 0\)에서의 속도가 각각 \(v_1(t) = 6t - 3t^2,\; v_2(t) = 3t - t^2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후(\(t > 0\)) 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 속도가 같아지는 시각 \(t_1\)과 그 시각까지 두 점 사이의 최대 거리 \(D_{\max}\)를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 출발 후 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)가 다시 만나는(추월하는) 시각 \(t_2 > 0\)와 그때 두 점이 원점으로부터 떨어진 위치를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 시각 \(t = 0\)부터 다시 만나는 시각 \(t = t_2\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 총거리 \(L_1\)과 점 \(\mathrm{Q}\)가 실제로 움직인 총거리 \(L_2\)를 각각 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅰ. 이차곡선
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 동일한 두 초점 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F'}(-c, 0)\)을 공유하는 타원 \(\dfrac{x^2}{a_1^2} + \dfrac{y^2}{b_1^2} = 1\) (\(a_1^2 - b_1^2 = c^2\))과 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a_2^2} - \dfrac{y^2}{b_2^2} = 1\) (\(a_2^2 + b_2^2 = c^2\))이 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{P}\)에서 만날 때, 타원과 쌍곡선의 정의를 연립하면 \(\overline{\mathrm{PF'}}\)와 \(\overline{\mathrm{PF}}\)의 길이가 유일하게 결정된다.
두 초점 \(\mathrm{F}(5, 0),\; \mathrm{F'}(-5, 0)\)을 공유하는 타원 \(E : \dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{24} = 1\)과 쌍곡선 \(H : \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\)이 제\(1\)사분면에서 만나는 교점을 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 타원과 쌍곡선의 정의를 이용하여 \(\overline{\mathrm{PF'}} + \overline{\mathrm{PF}}\)와 \(\overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{PF}}\)를 구하고, \(\overline{\mathrm{PF'}}\)와 \(\overline{\mathrm{PF}}\)의 길이를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{F'PF}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\cos(\angle \mathrm{F'PF})\)와 삼각형 \(\mathrm{F'PF}\)의 넓이를 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 교점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)에서 타원 \(E\)에 그은 접선과 쌍곡선 \(H\)에 그은 접선이 서로 수직임을 두 접선의 기울기의 곱을 이용하여 증명하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.