[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(n = 2,\; x = 10^{7/3}, 10^{8/3}\) | [1-2] \(P = 10^5,\; \log_{10} P = 5\) | [1-3] \(2000\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(10^2 < x < 10^3 \iff 2 < \log_{10} x < 3\)이므로 정수부분은 \(n = 2\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\log_{10} x = 2 + \alpha\) (\(0 < \alpha < 1\))라 하면 두 소수부분의 합이 \(1\)이고 어느 소수부분도 \(0\)이 될 수 없으므로 \(3\log_{10} x = 6 + 3\alpha \in (6, 9)\)는 정수이다. 따라서 \(3\log_{10} x = 7\) 또는 \(8\)이므로 \(x = 10^{7/3}\) 또는 \(x = 10^{8/3}\)이며, 두 수의 곱은 \(P = 10^{15/3} = 10^5,\; \log_{10} P = 5\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(u = \log_{10} a,\; v = \log_{10} b\)라 하면 \(u + v = 4,\; u^2 + v^2 = 10\)에서 \(2uv = 16 - 10 = 6 \implies uv = 3\)이다. 또한 \(a^{\log_{10} b} = (10^u)^v = 10^{uv} = 10^3 = 1000\)이고 \(b^{\log_{10} a} = 10^{vu} = 1000\)이므로 합은 \(2000\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • \(n = 2\) 도출 +2점 / \(3\log_{10} x \in \{7, 8\}\)로부터 \(x = 10^{7/3}, 10^{8/3}\) 산출 +4점 |
| [1-2] 7점 | • \(P = 10^{7/3 + 8/3} = 10^5\) 도출 +4점 / \(\log_{10} P = 5\) 산출 +3점 |
| [1-3] 7점 | • \((\log_{10} a)(\log_{10} b) = 3\) 유도 +4점 / \(10^3 + 10^3 = 2000\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 두 소수부분의 합이 \(1\)일 때 만약 한쪽 소수부분이 \(0\)이면 다른 쪽 소수부분이 \(1\)이 되어 모순이므로, \(\log_{10} x = 2\)(\(3\log_{10} x = 6\))는 반드시 제외해야 합니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(\overline{\mathrm{BH}} = 2,\; \overline{\mathrm{AH}} = 2\sqrt{2},\; \cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | [2-2] \(\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{33},\; R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) | [2-3] \(\sin\theta = \dfrac{20\sqrt{2}}{33}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 등변사다리꼴의 대칭성에 의해 \(\overline{\mathrm{BH}} = \dfrac{\overline{\mathrm{BC}} - \overline{\mathrm{AD}}}{2}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{BH}} = \dfrac{7 - 3}{2} = 2\)이므로 \(\overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{2}\)이고 \(\cos B = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}},\; \sin B = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\)이다. 코사인법칙에서 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 12 + 49 - 2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 7\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} = 61 - 28 = 33 \implies \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{33}\)이고, 사인법칙에서 \(R = \dfrac{\sqrt{33}}{2\sin B} = \dfrac{\sqrt{33}}{2\sqrt{6}/3} = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 사다리꼴의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}(3 + 7)\cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)이고, 두 대각선의 길이가 \(\overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{33}\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BD}}\sin\theta = \dfrac{33}{2}\sin\theta = 10\sqrt{2} \implies \sin\theta = \dfrac{20\sqrt{2}}{33}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • \(\overline{\mathrm{BH}} = 2,\; \overline{\mathrm{AH}} = 2\sqrt{2}\) 산출 +4점 / \(\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 도출 +2점 |
| [2-2] 7점 | • 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{33}\) 도출 +4점 / 사인법칙으로 \(R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • 사다리꼴 넓이 \(10\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{33})^2\sin\theta\) 등식 수립 +4점 / \(\sin\theta = \dfrac{20\sqrt{2}}{33}\) 도출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 볼록사각형의 넓이는 두 대각선의 길이 \(d_1, d_2\)와 끼인각 \(\theta\)에 대하여 \(S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta\)가 성립하므로 복잡한 각의 덧셈정리 없이 \(\sin\theta\)를 즉시 구할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] 직선 \(y = 2\), \(S(t) = \dfrac{3}{2}(3t^2 - t^3)\) | [3-2] \(t = 2,\; S_{\max} = 6,\; f'(2) = 0\) | [3-3] \(t = \dfrac{3}{2},\; S\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{81}{16}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f(0) = f(3) = 2\)이므로 직선 \(\mathrm{AB}\)는 \(y = 2\)이고 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3\)이며, \((0, 3)\)에서 \(f(t) < 2\)이므로 높이는 \(2 - f(t) = 3t^2 - t^3\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(S(t) = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot (3t^2 - t^3) = \dfrac{3}{2}(3t^2 - t^3)\)이고 \(S'(t) = \dfrac{3}{2}(6t - 3t^2) = -\dfrac{9}{2}t(t - 2) = 0\)에서 \(t = 2\)일 때 최댓값 \(S_{\max} = S(2) = \dfrac{3}{2}(12 - 8) = 6\)을 갖는다. 이때 \(f'(2) = 3(4) - 6(2) = 0 = \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}\)이 성립한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 점 \(\mathrm{P}(t, t^3 - 3t^2 + 2)\)에서의 접선 \(y = (3t^2 - 6t)(x - t) + t^3 - 3t^2 + 2\)가 \((0, 2)\)를 지나므로 \(2 = -2t^3 + 3t^2 + 2 \implies t^2(2t - 3) = 0\)에서 \(t = \dfrac{3}{2}\)이고, 넓이는 \(S\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{27}{8} = \dfrac{81}{16}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • 직선 \(y = 2\) 및 높이 \(2 - f(t) = 3t^2 - t^3\) 도출 +3점 / \(S(t) = \dfrac{3}{2}(3t^2 - t^3)\) 산출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(t = 2,\; S_{\max} = 6\) 도출 +4점 / \(f'(2) = 0\) 평균값 정리 등식 확인 +3점 |
| [3-3] 7점 | • 접선의 \(y\)절편 조건으로 \(t = \dfrac{3}{2}\) 도출 +4점 / 넓이 \(\dfrac{81}{16}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 점 \((0, 2)\)에서 삼차곡선에 그은 접선의 접점 \(t = \dfrac{3}{2}\)는 두 교점 \(x = 0\)(중근)과 \(x = 3\)의 평균이 되는 삼차함수 접선 비례 관계(\(2 : 1\) 내분)로도 검산할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.43 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(l_1 : y = -2x - 1,\; l_2 : y = 6x - 9,\; \mathrm{T}(1, -3)\) | [4-2] \(S_1 = \dfrac{32}{3},\; S_2 = \dfrac{16}{3},\; S_1 : S_2 = 2 : 1\) | [4-3] 중점 \(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) 및 \(S_2 = \dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^3\) 일반 증명
[1줄 공식선언 (30%)]: \(y' = 2x\)이므로 \(l_1 : y = -2x - 1,\; l_2 : y = 6x - 9\)이고 연립하면 교점은 \(\mathrm{T}(1, -3)\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 직선 \(\mathrm{AB} : y = 2x + 3\)이므로 \(S_1 = \int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2)\,dx = \dfrac{1}{6}(3 - (-1))^3 = \dfrac{32}{3}\)이다. 또한 \(S_2 = \int_{-1}^{1} (x + 1)^2\,dx + \int_{1}^{3} (x - 3)^2\,dx = \dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}\)이므로 \(S_1 : S_2 = 2 : 1\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(y = ax^2\)에서 두 접선 \(y = 2a\alpha x - a\alpha^2,\; y = 2a\beta x - a\beta^2\)을 빼면 \(2a(\beta - \alpha)x = a(\beta^2 - \alpha^2) \implies x = \dfrac{\alpha + \beta}{2} = m\)이다. 따라서 \(S_2 = \int_{\alpha}^{m} a(x-\alpha)^2\,dx + \int_{m}^{\beta} a(x-\beta)^2\,dx = \dfrac{a}{3}\cdot\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{8} \times 2 = \dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^3 = \dfrac{1}{2}S_1\)이 항상 성립한다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • 두 접선 \(y=-2x-1,\; y=6x-9\) 도출 +3점 / 교점 \(\mathrm{T}(1, -3)\) 산출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 계산 +3점 / 구간 분할 적분으로 \(S_2 = \dfrac{16}{3}\) 및 \(2:1\) 확인 +4점 |
| [4-3] 7점 | • 교점 \(x = \dfrac{\alpha+\beta}{2}\) 일반 유도 +3점 / \(S_2 = \dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^3 = \dfrac{1}{2}S_1\) 적분 증명 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 피적분함수 \(f(x) - l_1(x) = a(x - \alpha)^2\)으로 완전제곱 인수분해하여 적분하면 전개 없이 \(\left[\dfrac{a}{3}(x-\alpha)^3\right]_{\alpha}^{m}\)로 단번에 계산됩니다.
[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(S = 9\sqrt{3},\; h = 2\sqrt{6},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3}\) | [5-2] \(V = 18\sqrt{2},\; r = \dfrac{\sqrt{6}}{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\) (\(1:3\)) | [5-3] \(\overline{\mathrm{MN}} = 3\sqrt{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점을 \(\mathrm{E}\)라 하면 \(\overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{DE}} = 3\sqrt{3}\)이고 무게중심 \(\mathrm{G}\)는 \(\overline{\mathrm{DE}}\)를 \(2 : 1\)로 내분하므로 \(\overline{\mathrm{GE}} = \sqrt{3}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36 = 9\sqrt{3}\)이고, \(h = \sqrt{\overline{\mathrm{AE}}^2 - \overline{\mathrm{GE}}^2} = \sqrt{27 - 3} = 2\sqrt{6}\)이며 \(\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{GE}}}{\overline{\mathrm{AE}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}\)이다. 부피는 \(V = \dfrac{1}{3}Sh = 18\sqrt{2}\)이고 \(V = \dfrac{1}{3}(4S)r \implies r = \dfrac{1}{4}h = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\)이며, 외접구 반지름은 \(R = h - r = \dfrac{3}{4}h = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\)이므로 \(r : R = 1 : 3\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\overline{\mathrm{AN}} = \overline{\mathrm{BN}} = 3\sqrt{3}\)이므로 이등변삼각형 \(\mathrm{ABN}\)에서 중선 \(\mathrm{MN} \perp \mathrm{AB}\)이고, 대칭적으로 \(\mathrm{MN} \perp \mathrm{CD}\)이다. 직각삼각형 \(\mathrm{AMN}\)에서 \(\overline{\mathrm{MN}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AN}}^2 - \overline{\mathrm{AM}}^2} = \sqrt{27 - 9} = 3\sqrt{2}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \(S = 9\sqrt{3},\; h = 2\sqrt{6}\) 산출 +4점 / \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\) 도출 +2점 |
| [5-2] 7점 | • \(V = 18\sqrt{2}\) 및 \(r = \dfrac{1}{4}h = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\) 유도 +4점 / \(R = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\) 및 \(1:3\) 확인 +3점 |
| [5-3] 7점 | • 이등변삼각형 성질로 공통수선 증명 +3점 / \(\overline{\mathrm{MN}} = 3\sqrt{2}\) 산출 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 정사면체의 무게중심(내접구와 외접구의 공통 중심)은 높이 수선 \(\overline{\mathrm{AG}}\)를 꼭짓점으로부터 \(3 : 1\)로 내분하므로 항상 \(R = 3r\)이 성립합니다.