🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
[제시문 (가)] 임의의 양수 \(x\)에 대하여 상용로그 \(\log_{10} x\)는 정수부분 \(n \in \mathbb{Z}\)과 소수부분 \(\alpha\) (\(0 \le \alpha < 1\))의 합 \(\log_{10} x = n + \alpha\)로 유일하게 표현된다. 특히 두 상용로그의 소수부분의 합이 \(1\)이면 두 상용로그의 합은 정수가 된다.
\(100 < x < 1000\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^2\)의 소수부분의 합이 \(1\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) \(\log_{10} x\)의 정수부분 \(n\)을 구하고, \(\log_{10} x + \log_{10} x^2 = 3\log_{10} x\)가 정수가 됨을 이용하여 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) [문항 1-1]에서 구한 모든 실수 \(x\)들의 곱 \(P\)와 \(\log_{10} P\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 양수 \(a, b\)가 \(\log_{10} a + \log_{10} b = 4\)이고 \(\left(\log_{10} a\right)^2 + \left(\log_{10} b\right)^2 = 10\)을 만족시킬 때, \(a^{\log_{10} b} + b^{\log_{10} a}\)의 값을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] \(\overline{\mathrm{AD}} \parallel \overline{\mathrm{BC}}\)이고 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}}\)인 등변사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\)는 항상 한 원에 내접하며, 그 외접원은 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원과 일치한다.
\(\overline{\mathrm{AD}} \parallel \overline{\mathrm{BC}}\)인 등변사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\)에서 윗변 \(\overline{\mathrm{AD}} = 3\), 아랫변 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\), 옆변 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = 2\sqrt{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 밑변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 할 때, \(\overline{\mathrm{BH}}\)와 높이 \(\overline{\mathrm{AH}}\)를 구하고 \(\angle B\)의 크기를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 코사인법칙을 적용하여 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 구하고, 사인법칙으로 등변사다리꼴 \(\mathrm{ABCD}\)의 외접원의 반지름 \(R\)를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 두 대각선 \(\mathrm{AC}\)와 \(\mathrm{BD}\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\sin\theta\)의 값을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 곡선 \(y = f(x)\) 위의 두 고정점 \(\mathrm{A}(a, f(a)),\; \mathrm{B}(b, f(b))\) (\(a < b\))를 잇는 선분 \(\mathrm{AB}\)와 호 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직이는 동점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\) (\(a < t < b\))에 대하여, 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이가 최대가 되는 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선의 기울기 \(f'(t)\)는 직선 \(\mathrm{AB}\)의 기울기 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)와 같다.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)의 그래프 위의 두 점 \(\mathrm{A}(0, 2),\; \mathrm{B}(3, 2)\)와 호 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\) (\(0 < t < 3\))에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 직선 \(\mathrm{AB}\)의 방정식을 구하고, 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차다항식으로 나타내시오.
[문항 3-2] (7점) 열린구간 \((0, 3)\)에서 넓이 \(S(t)\)가 최대가 되는 \(t\)의 값과 그때의 최대 넓이 \(S_{\max}\)를 구하고, 그 점에서 평균값 정리 등식 \(f'(t) = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0}\)이 성립함을 확인하시오.
[문항 3-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{A}(0, 2)\)를 지날 때(단, \(t > 0\)), \(t\)의 값과 그때의 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이를 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.43 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a > 0\))의 그래프 위의 서로 다른 두 점 \(\mathrm{A}(\alpha, f(\alpha)),\; \mathrm{B}(\beta, f(\beta))\) (\(\alpha < \beta\))에 대하여, 직선 \(\mathrm{AB}\)와 포물선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_1\), 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에서의 두 접선과 포물선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_2\)라 하자.
포물선 \(y = x^2\) 위의 두 점 \(\mathrm{A}(-1, 1),\; \mathrm{B}(3, 9)\)와 이 두 점에서의 접선 \(l_1, l_2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 두 접선 \(l_1, l_2\)의 방정식과 두 접선의 교점 \(\mathrm{T}\)의 좌표를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 직선 \(\mathrm{AB}\)와 포물선 \(y = x^2\)으로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S_1\)과 두 접선 \(l_1, l_2\) 및 포물선으로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S_2\)를 각각 정적분으로 구하여 \(S_1 : S_2 = 2 : 1\)임을 확인하시오.
[문항 4-3] (7점) 일반적인 포물선 \(y = ax^2\) (\(a > 0\)) 위의 임의의 두 점 \(x = \alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))에서도 두 접선의 교점의 \(x\)좌표가 항상 \(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\)이고 \(S_1 = 2S_2 = \dfrac{a}{6}(\beta - \alpha)^3\)이 성립함을 증명하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
[제시문 (가)] 한 모서리의 길이가 \(a\)인 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)에서 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 밑면 \(\triangle \mathrm{BCD}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{G}\)는 정삼각형 \(\mathrm{BCD}\)의 무게중심이며, 부피 분할 원리에 의해 정사면체의 높이 \(h\)는 내접구의 반지름 \(r\)의 \(4\)배(\(h = 4r\))이다.
한 모서리의 길이가 \(a = 6\)인 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 밑면 \(\triangle \mathrm{BCD}\)의 넓이 \(S\)와 정사면체의 높이 \(h = \overline{\mathrm{AG}}\)를 구하고, 두 면 \(\mathrm{ABC}\)와 \(\mathrm{BCD}\)가 이루는 이면각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)의 부피 \(V\)를 이용하여 내접구의 반지름 \(r\)와 외접구의 반지름 \(R\)를 각각 구하고, \(r : R = 1 : 3\)임을 보이시오.
[문항 5-3] (7점) 모서리 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\), 모서리 \(\mathrm{CD}\)의 중점을 \(\mathrm{N}\)이라 할 때, 선분 \(\mathrm{MN}\)이 두 꼬인 모서리 \(\mathrm{AB}, \mathrm{CD}\)의 공통수선임을 보이고 \(\overline{\mathrm{MN}}\)의 길이를 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.