[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(x_1 + x_2 = 6,\; y_1 + y_2 = 6,\; x_1 y_1 - x_2 y_2 = 0\) | [1-2] \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2),\; \overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2},\; \triangle \mathrm{OAB} = 6\) | [1-3] \(\mathrm{C}(3, 3),\; \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 점 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\)과 \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\)는 \(y = x\)에 대칭이므로 \(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\)이고 \(x_1 + y_1 = 6\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(x_1 + x_2 = x_1 + y_1 = 6,\; y_1 + y_2 = 6,\; x_1 y_1 - x_2 y_2 = 0\)이다. \(y = 2^x\)는 순증가, \(y = -x + 6\)은 순감소이고 \(x = 2\)일 때 \(2^2 = 4 = -2 + 6\)이므로 \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)\)이다. 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\)이고, 원점에서 직선 \(x + y - 6 = 0\)까지의 거리는 \(3\sqrt{2}\)이므로 \(\triangle \mathrm{OAB} = \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} = 6\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(2^{x-2} + 1 = -x + 6\)에서 좌변은 순증가, 우변은 순감소이고 \(x = 3\)일 때 \(2^{3-2} + 1 = 3 = -3 + 6\)이므로 유일한 교점은 \(\mathrm{C}(3, 3)\)이며, \(\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{(3-2)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{2}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • \(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\) 대칭 관계 명시 +3점 / \(6, 6, 0\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • 단조성에 의한 유일근 \(\mathrm{A}(2, 4), \mathrm{B}(4, 2)\) 확정 +3점 / \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\) 및 넓이 \(6\) 산출 +4점 |
| [1-3] 7점 | • 교점 \(\mathrm{C}(3, 3)\) 도출 +4점 / \(\overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{2}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 초월방정식 \(2^x = -x + 6\)을 풀 때는 좌변이 순증가, 우변이 순감소 함수이므로 실근이 유일하다는 단조성 논거를 함께 서술해야 만점을 받습니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.37 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(r_1 = 2\), 넓이 비 \(\dfrac{2}{3}\) | [2-2] \(r_2 = \dfrac{2}{3}\) | [2-3] 실근 \(4\)개, 합 \(\dfrac{10\pi}{3}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(2\theta = \dfrac{\pi}{3} \implies \theta = \dfrac{\pi}{6}\)이므로 \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{r_1}{6 - r_1}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(2r_1 = 6 - r_1 \implies r_1 = 2\)이다. 부채꼴 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\cdot 6^2\cdot\dfrac{\pi}{3} = 6\pi\)이고 내접원 넓이는 \(4\pi\)이므로 넓이 비는 \(\dfrac{4\pi}{6\pi} = \dfrac{2}{3}\)이다. 두 번째 원 \(O_2\)는 반지름이 \(6 - 2r_1 = 2\)인 축소 부채꼴의 내접원과 닮음(닮음비 \(\dfrac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta} = \dfrac{1}{3}\))이므로 \(r_2 = \dfrac{1}{3}r_1 = \dfrac{2}{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\dfrac{r_1}{R} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{3}\)이다. \(t = 2x - \dfrac{\pi}{6} \in \left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{23\pi}{6}\right]\)에서 \(\sin t = \dfrac{1}{3}\)은 \([0, \pi]\)에서 대칭축 \(t = \dfrac{\pi}{2}\)에 대칭인 두 근 \(t_1, t_2\) (\(t_1 + t_2 = \pi\))와 \([2\pi, 3\pi]\)에서 대칭축 \(t = \dfrac{5\pi}{2}\)에 대칭인 두 근 \(t_3, t_4\) (\(t_3 + t_4 = 5\pi\))의 총 \(4\)개 실근을 갖는다. 따라서 \(2\sum_{k=1}^{4} x_k - \dfrac{4\pi}{6} = 6\pi \implies \sum_{k=1}^{4} x_k = \dfrac{10\pi}{3}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • \(r_1 = 2\) 도출 +3점 / 넓이 비 \(\dfrac{4\pi}{6\pi} = \dfrac{2}{3}\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • 닮음비 \(\dfrac{1-\sin 30^\circ}{1+\sin 30^\circ} = \dfrac{1}{3}\) 유도 +4점 / \(r_2 = \dfrac{2}{3}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • 실근 \(4\)개 확인 +3점 / 대칭축 합산으로 \(\dfrac{10\pi}{3}\) 도출 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 중심각이 \(60^\circ\)인 부채꼴에 연이어 내접하는 원들의 반지름은 공비가 \(\dfrac{1 - \sin 30^\circ}{1 + \sin 30^\circ} = \dfrac{1}{3}\)인 등비수열을 이룹니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.36 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(y^2 + y + 2 - r^2 = 0\), \(y = x^2 - 2 \ge -2\) | [3-2] \(r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2},\; r_2 = 2,\; N(r_1) = 2,\; N(r_2) = 3\) | [3-3] \(a = -\dfrac{4 + \sqrt{7}}{2},\; b = \sqrt{7}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x^2 = y + 2 \ge 0\)이므로 \(y > -2\)인 실근 \(y\) 하나에는 \(x = \pm\sqrt{y+2}\)의 \(2\)개 교점이 대응하고, \(y = -2\)에는 \((0, -2)\)의 \(1\)개 교점이 대응한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(h(y) = y^2 + y + 2 - r^2 = \left(y + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4} - r^2 = 0\)의 대칭축은 \(y = -\dfrac{1}{2} > -2\)이다. (i) 판별식 \(D = 0 \iff r^2 = \dfrac{7}{4} \implies r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)에서 접하며 \(y = -\dfrac{1}{2}\) 하나이므로 \(N(r_1) = 2\). (ii) \(y = -2\)를 지날 때 \(4 - 2 + 2 - r^2 = 0 \implies r_2 = 2\)이고 두 근이 \(y = -2, 1\)이므로 \(N(r_2) = 1 + 2 = 3\)이다. (\(r_1 < r < r_2\)에서는 \(4\)개, \(r > r_2\)에서는 \(2\)개).
[3줄 최종결론 (30%)]: \(N(r)\)가 불연속인 두 점 \(r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)와 \(r_2 = 2\)에서 연속함수 \(g(r)\)가 \(g(r_1) = g(r_2) = 0\)을 만족시켜야 하므로, 근과 계수의 관계에 의해 \(a = -(r_1 + r_2) = -\dfrac{4 + \sqrt{7}}{2},\; b = r_1 r_2 = \sqrt{7}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • \(y^2 + y + 2 - r^2 = 0\) 유도 +3점 / \(y > -2\) 시 교점 2개, \(y = -2\) 시 교점 1개 설명 +3점 |
| [3-2] 7점 | • 접할 조건 \(r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2},\; N(r_1) = 2\) 도출 +4점 / 꼭짓점 통과 \(r_2 = 2,\; N(r_2) = 3\) 도출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \(g(r_1) = g(r_2) = 0\) 필요충분조건 명시 +3점 / \(a = -\dfrac{4+\sqrt{7}}{2},\; b = \sqrt{7}\) 산출 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(y\)에 대한 방정식의 실근 개수와 \((x, y)\) 교점의 개수를 혼동하지 마십시오. \(y > -2\)인 근 \(1\)개는 \(x = \pm\sqrt{y+2}\)의 교점 \(2\)개를 만듭니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.42 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(I_0 = 0\), \(\lim_{x \to 2-} f(x) = 4 = f(0) + 4 = f(2)\) 연속 | [4-2] \(I_k = 8k,\; \int_{0}^{10} f(x)\,dx = 80\) | [4-3] \(y = 7x - 20\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(I_0 = \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x)\,dx = \Bigl[x^3 - 2x^2\Bigr]_{0}^{2}\)이고 \(f(2) = f(0) + 4\)를 확인한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(I_0 = 8 - 8 = 0\)이고 \(\lim_{x \to 2-} (3x^2 - 4x) = 12 - 8 = 4 = f(0) + 4 = f(2)\)로 연속이다. 또한 \(I_k = I_0 + 8k = 8k\)이므로 \(\int_{0}^{10} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{4} 8k = 8(0+1+2+3+4) = 80\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(F'(5) = f(5) = f(1) + 8 = (3 - 4) + 8 = 7\)이고 \(F(5) = I_0 + I_1 + \int_{4}^{5} f(x)\,dx = 0 + 8 + \int_{0}^{1} (3t^2 - 4t + 8)\,dt = 8 + (1 - 2 + 8) = 15\)이므로 접선은 \(y = 7(x - 5) + 15 = 7x - 20\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • \(I_0 = 0\) 산출 +3점 / \(\lim_{x \to 2-} f(x) = 4 = f(0) + 4\) 연속 확인 +3점 |
| [4-2] 7점 | • \(I_k = 8k\) 유도 +4점 / \(\int_{0}^{10} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{4} 8k = 80\) 산출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • \(F'(5) = f(5) = 7\) 및 \(F(5) = 15\) 산출 +4점 / 접선 \(y = 7x - 20\) 도출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 구간 반복 함수 \(f(x+2) = f(x) + 4\)가 \(x = 2\)에서 연속이려면 반드시 양 끝점의 차 \(f(2-) - f(0) = 4\)가 단차 상수 \(4\)와 일치해야 합니다.
[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} = |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0\) 증명 완료 | [5-2] \(\overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}} \implies \overline{\mathrm{OG}}:\overline{\mathrm{GH}} = 1:2\) | [5-3] \(\overline{\mathrm{OH}} = 8,\; \overline{\mathrm{GH}} = \dfrac{16}{3}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\overrightarrow{\mathrm{AH}} = \overrightarrow{\mathrm{OH}} - \vec{a} = \vec{b} + \vec{c}\)이고 \(\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \vec{c} - \vec{b}\)임을 대입한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} = (\vec{b} + \vec{c})\cdot(\vec{c} - \vec{b}) = |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 = R^2 - R^2 = 0\)이므로 \(\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}\)이고, 같은 방법으로 \(\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}} = |\vec{a}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0\)이므로 \(\mathrm{BH} \perp \mathrm{CA}\)가 되어 \(\mathrm{H}\)는 수심이다. 또한 \(\overrightarrow{\mathrm{OG}} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)이므로 \(\overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}}\)가 성립하여 \(\mathrm{O}, \mathrm{G}, \mathrm{H}\)는 일직선 위에 있고 \(\overline{\mathrm{OG}} : \overline{\mathrm{GH}} = 1 : 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) = 16 + 16 + 16 + 2(4 + 6 - 2) = 48 + 16 = 64\)이므로 \(\overline{\mathrm{OH}} = 8\)이고 \(\overline{\mathrm{GH}} = \dfrac{2}{3}\overline{\mathrm{OH}} = \dfrac{16}{3}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \(\overrightarrow{\mathrm{AH}} = \vec{b}+\vec{c}\) 표현 +3점 / 내적 \(|\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0\)으로 수심 증명 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(\overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}}\) 도출 +4점 / 일직선성 및 \(1 : 2\) 내분 논증 +3점 |
| [5-3] 7점 | • \(|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2 = 64\) 계산 +4점 / \(\overline{\mathrm{OH}} = 8,\; \overline{\mathrm{GH}} = \dfrac{16}{3}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 시점을 외심 \(\mathrm{O}\)로 잡으면 세 꼭짓점 위치벡터의 크기가 모두 외접원의 반지름 \(R\)로 같아지므로 합차 공식 \((\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b}) = 0\)으로 수심 정리가 단 한 줄에 증명됩니다.