🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
[제시문 (가)] 지수함수 \(y = a^x\) (\(a > 1\))와 로그함수 \(y = \log_a x\)의 그래프는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다. 또한 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\) 자체도 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로, 두 곡선이 직선 \(y = -x + k\)와 만나는 교점도 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이다.
기울기가 \(-1\)인 직선 \(l : y = -x + 6\)이 곡선 \(y = 2^x\)와 만나는 점을 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\), 곡선 \(y = \log_2 x\)와 만나는 점을 \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\)라 하고, 직선 \(l\)과 직선 \(y = x\)의 교점을 \(\mathrm{M}\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2,\; y_1 + y_2,\; x_1 y_1 - x_2 y_2\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 방정식 \(2^x = -x + 6\)의 유일한 실근 \(x_1\)을 구하여 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 좌표를 확정하고, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이와 원점 \(\mathrm{O}\)에 대한 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이를 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 곡선 \(y = 2^{x-2} + 1\)과 직선 \(y = -x + 6\)의 교점을 \(\mathrm{C}(x_3, y_3)\)라 할 때, 평행이동과 단조성을 이용하여 점 \(\mathrm{C}\)의 좌표와 선분 \(\mathrm{AC}\)의 길이를 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.37 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
[제시문 (가)] 중심각의 크기가 \(2\theta\) (\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\))이고 반지름의 길이가 \(R\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 반지름이 \(r\)인 원이 내접할 때, 원의 중심 \(\mathrm{C}\)는 각 \(\angle \mathrm{AOB}\)의 이등분선 위에 놓이며 \(\overline{\mathrm{OC}} + r = R\)이고 \(\sin\theta = \dfrac{r}{\overline{\mathrm{OC}}} = \dfrac{r}{R - r}\)이 성립한다.
반지름의 길이가 \(R = 6\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 내접하는 원 \(O_1\)의 반지름을 \(r_1\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 내접원 \(O_1\)의 반지름 \(r_1\)을 구하고, 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이에 대한 내접원 \(O_1\)의 넓이의 비를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 꼭짓점 \(\mathrm{O}\)와 원 \(O_1\)에 접하고 부채꼴의 두 반지름 \(\mathrm{OA}, \mathrm{OB}\)에 동시에 접하는 두 번째 작은 내접원 \(O_2\)의 반지름 \(r_2\)를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{r_1}{R}\)의 모든 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.36 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
[제시문 (가)] 매개변수 \(r > 0\)에 따라 도형 \(C_1(r)\)과 고정된 도형 \(C_2\)의 교점의 개수를 \(N(r)\)라 할 때, 함수 \(N(r)\)는 두 도형이 접하거나 꼭짓점을 지나는 경계 반지름 \(r = r_k\)에서 불연속이 된다.
좌표평면에서 포물선 \(P : y = x^2 - 2\)와 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(r > 0\)인 원 \(C_r : x^2 + y^2 = r^2\)의 교점의 개수를 \(N(r)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) \(x^2 = y + 2\)를 원의 방정식에 대입하여 \(y\)에 대한 이차방정식 \(y^2 + y + 2 - r^2 = 0\)을 유도하고, 교점이 존재하기 위한 \(y\)의 값의 범위(\(y \ge -2\))를 설명하시오.
[문항 3-2] (7점) 양수 \(r > 0\)에서 함수 \(N(r)\)가 불연속이 되는 모든 \(r\)의 값을 작은 것부터 차례로 \(r_1, r_2\)라 할 때, \(r_1, r_2\)의 값과 그때의 함숫값 \(N(r_1), N(r_2)\)를 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 다항함수 \(g(r) = r^2 + ar + b\)에 대하여 곱함수 \(N(r)g(r)\)가 \(r > 0\) 전체에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a, b\)의 값을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.42 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
[제시문 (가)] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + 4\)를 만족시킬 때, 자연수 \(k\)에 대하여 구간 \([2k, 2k+2]\)에서의 정적분은 \(I_k = \int_{2k}^{2k+2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} \bigl(f(t) + 4k\bigr)\,dt = I_0 + 8k\)로 등차수열을 이룬다.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 \(f(x) = 3x^2 - 4x\)이다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + 4\)이다.
다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 기본 구간에서의 정적분 \(I_0 = \int_{0}^{2} f(x)\,dx\)를 구하고, 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 실제로 연속임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 정수 \(k \ge 0\)에 대하여 \(I_k = \int_{2k}^{2k+2} f(x)\,dx\)를 \(k\)에 대한 일차식으로 나타내고, \(\int_{0}^{10} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 정적분으로 정의된 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)에 대하여 곡선 \(y = F(x)\) 위의 점 \((5, F(5))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅱ. 평면벡터
[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]
[제시문 (가)] 평면 위의 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외심을 \(\mathrm{O}\)라 할 때, 세 꼭짓점의 위치벡터 \(\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}},\; \vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{OB}},\; \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{OC}}\)는 외접원의 반지름 \(R\)에 대하여 \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R\)를 만족시킨다.
외심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 외접원의 반지름이 \(R = 4\)인 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 점 \(\mathrm{H}\)를 \(\overrightarrow{\mathrm{OH}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\)로 정의할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 내적 \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}\)를 각각 계산하여 점 \(\mathrm{H}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 수심(세 수선의 교점)임을 증명하시오.
[문항 5-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 무게중심을 \(\mathrm{G}\)라 할 때, \(\overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}}\)임을 보여 세 점 \(\mathrm{O}, \mathrm{G}, \mathrm{H}\)가 한 직선(오일러 직선) 위에 있고 \(\overline{\mathrm{OG}} : \overline{\mathrm{GH}} = 1 : 2\)임을 증명하시오.
[문항 5-3] (7점) \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4,\; \vec{b}\cdot\vec{c} = 6,\; \vec{c}\cdot\vec{a} = -2\)일 때, 선분 \(\mathrm{OH}\)의 길이와 선분 \(\mathrm{GH}\)의 길이를 각각 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.