[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(\sum_{k=1}^{6} N(p(k), 4) = 6,\; \sum_{k=1}^{6} N(p(k), 5) = 6\) | [1-2] \(x + x^{-1} = 7,\; x^2 + x^{-2} = 47\) | [1-3] \(\dfrac{\sqrt{5}}{6}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(p(k) = (k - 2)(k - 5)\)의 부호를 조사하고, \((x^{1/2} - x^{-1/2})^2 = x + x^{-1} - 2\)를 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(k = 1, 6\)일 때 \(p(k) > 0\)이므로 \(N(p(k), 4) = 2\), \(k = 2, 5\)일 때 \(p(k) = 0\)이므로 \(N(p(k), 4) = 1\), \(k = 3, 4\)일 때 \(p(k) < 0\)이므로 \(N(p(k), 4) = 0\)이 되어 합은 \(2+1+0+0+1+2 = 6\)이다. 홀수 \(n = 5\)일 때는 모든 \(k\)에서 \(1\)이므로 합은 \(6\)이다. 또한 \(x + x^{-1} = 5 + 2 = 7\)이고 \(x^2 + x^{-2} = 7^2 - 2 = 47\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(x^{3/2} - x^{-3/2} = (x^{1/2} - x^{-1/2})(x + 1 + x^{-1}) = \sqrt{5}(7 + 1) = 8\sqrt{5}\)이므로 \(\dfrac{x^{3/2} - x^{-3/2}}{x^2 + 1 + x^{-2}} = \dfrac{8\sqrt{5}}{47 + 1} = \dfrac{8\sqrt{5}}{48} = \dfrac{\sqrt{5}}{6}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • \(p(k)\)의 부호 분류(\(k=1,6\) 양, \(k=2,5\) 영, \(k=3,4\) 음) +3점 / 두 급수 합 각각 \(6\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(x + x^{-1} = 7\) 도출 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 47\) 산출 +4점 |
| [1-3] 7점 | • \(x^{3/2} - x^{-3/2} = 8\sqrt{5}\) 계산 +4점 / 기약분수 \(\dfrac{\sqrt{5}}{6}\) 도출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(p(2) = p(5) = 0\)일 때 \(0\)의 짝수 제곱근은 \(0\) 하나로 존재하므로 \(N(0, 4) = 1\)임을 빠뜨리지 않도록 주의하십시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.36 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(a = 7\) | [2-2] \(c = 3,\; b = 8,\; S = 6\sqrt{3}\) | [2-3] \(r = \dfrac{2\sqrt{3}}{3},\; h_a = \dfrac{12\sqrt{3}}{7}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(a = 2R\sin\dfrac{\pi}{3}\)으로 \(a\)를 구하고 \(c = 3k,\; b = 8k\) (\(k > 0\))로 놓는다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(a = 2\cdot\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 7\)이다. 코사인법칙에서 \(7^2 = (8k)^2 + (3k)^2 - 2(8k)(3k)\cos 60^\circ = 49k^2 \implies k = 1\)이므로 \(c = 3,\; b = 8\)이고 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\sin 60^\circ = 6\sqrt{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 둘레의 길이가 \(a + b + c = 18\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}r(18) = 9r = 6\sqrt{3} \implies r = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)이고, \(S = \dfrac{1}{2}a h_a = \dfrac{7}{2}h_a = 6\sqrt{3} \implies h_a = \dfrac{12\sqrt{3}}{7}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • 사인법칙 \(a = 2R\sin 60^\circ\) 적용 +3점 / \(a = 7\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(49k^2 = 49 \implies c=3, b=8\) 도출 +4점 / 넓이 \(S = 6\sqrt{3}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • 내접원 반지름 \(r = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점 / 높이 \(h_a = \dfrac{12\sqrt{3}}{7}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \((3, 7, 8)\) 삼각형은 \(\angle A = 60^\circ\)를 이루는 대표적인 정수변 코사인법칙 삼각형(\(3^2 + 8^2 - 3\cdot 8 = 49 = 7^2\))입니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(\overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{t^2 - 4},\; L(t) = \dfrac{4\sqrt{t^2 - 4}}{t}\) | [3-2] \(S(t) = \dfrac{2(t^2 - 4)^{3/2}}{t^2}\), 극한값 \(2\) | [3-3] \(\dfrac{1}{16}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(r = 2\)이므로 \(\overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{t^2 - 4}\)이고 직각삼각형 \(\mathrm{OAP}\)의 넓이에서 \(\dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{OA}}\cdot\overline{\mathrm{PA}}\)를 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{2\sqrt{t^2 - 4}}{t}\)이므로 \(L(t) = 2\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{4\sqrt{t^2 - 4}}{t}\)이다. 또한 \(\overline{\mathrm{PH}} = t - \dfrac{4}{t} = \dfrac{t^2 - 4}{t}\)이므로 \(S(t) = \dfrac{1}{2}L(t)\overline{\mathrm{PH}} = \dfrac{2(t^2 - 4)^{3/2}}{t^2}\)이고 \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t} = \lim_{t \to \infty} 2\left(1 - \dfrac{4}{t^2}\right)^{3/2} = 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\dfrac{S(t)}{\bigl(L(t)\bigr)^3} = \dfrac{2(t^2 - 4)^{3/2} / t^2}{64(t^2 - 4)^{3/2} / t^3} = \dfrac{t}{32}\)이므로, \(t \to 2+\)일 때의 극한값은 \(\lim_{t \to 2+} \dfrac{t}{32} = \dfrac{2}{32} = \dfrac{1}{16}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • \(\overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{t^2-4}\) 도출 +2점 / \(L(t) = \dfrac{4\sqrt{t^2-4}}{t}\) 유도 +4점 |
| [3-2] 7점 | • \(S(t) = \dfrac{2(t^2-4)^{3/2}}{t^2}\) 도출 +4점 / 극한값 \(2\) 산출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \((t^2-4)^{3/2}\) 약분으로 \(\dfrac{t}{32}\) 유도 +4점 / 극한값 \(\dfrac{1}{16}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(S(t)\)와 \(\bigl(L(t)\bigr)^3\) 모두 \((t^2 - 4)^{3/2}\) 인수를 공통으로 가지므로 \(t \to 2+\)에서 \(0/0\) 부정형 인수가 깔끔하게 약분됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(\alpha = -1,\; \beta = 3\), 이중접선 \(y = -4\) (\(m = 0,\; n = -4\)) | [4-2] 극댓값 \(f(1) = 12\), 극솟값 \(f(-1) = f(3) = -4\), 대칭축 \(x = 1\) | [4-3] 최댓값 \(16\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \((x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - px + q\)로 놓으면 \((x^2 - px + q)^2 = x^4 - 2px^3 + (p^2 + 2q)x^2 - 2pqx + q^2\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(f(x)\)의 \(x^3, x^2\) 계수와 비교하면 \(-2p = -4 \implies p = 2\)이고 \(4 + 2q = -2 \implies q = -3\)이다. 따라서 \(x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)\)에서 \(\alpha = -1,\; \beta = 3\)이며, \(12 - m = -2pq = 12 \implies m = 0\)이고 \(5 - n = q^2 = 9 \implies n = -4\)이므로 이중접선은 \(y = -4\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(x) = (x + 1)^2(x - 3)^2 - 4 = \bigl((x - 1)^2 - 4\bigr)^2 - 4\)이므로 \(x = 1\)에 대하여 좌우 대칭이고, \(x = 1\)에서 극댓값 \(f(1) = 16 - 4 = 12\), \(x = -1, 3\)에서 극솟값 \(-4\)를 갖는다. 따라서 구간 \([-1, 3]\)에서 \(d(x) = (x+1)^2(x-3)^2\)의 최댓값은 \(d(1) = 16\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • 완전제곱 전개 및 계수 비교 +3점 / \(\alpha = -1,\; \beta = 3\) 및 접선 \(y = -4\) 도출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • 극댓값 \(12\), 극솟값 \(-4\) 산출 +4점 / \(f(1+t) = f(1-t)\) 대칭성 증명 +3점 |
| [4-3] 7점 | • \(d(x) = (x+1)^2(x-3)^2\) 표현 +3점 / \(x = 1\)에서 최댓값 \(\left(\dfrac{\beta - \alpha}{2}\right)^4 = 16\) 산출 +4점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 최고차항 계수가 \(a\)인 사차함수의 이중접선 두 접점 간격이 \(\beta - \alpha\)일 때, 중점에서의 높이 차는 항상 \(\dfrac{a}{16}(\beta - \alpha)^4\)가 됩니다.
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\mathrm{F}(5, 0),\; \mathrm{F'}(-5, 0),\; \overline{\mathrm{FH}} = 3,\; \overline{\mathrm{OH}} = 4\) | [5-2] \(\overline{\mathrm{PQ}}\cdot\overline{\mathrm{PR}} = \dfrac{144}{25}\) (상수) | [5-3] 넓이 \(9\), 둘레 \(10 + 2\sqrt{34}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(a = 4,\; b = 3 \implies c = \sqrt{16 + 9} = 5\)이고 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{FH}} = \dfrac{|3\cdot 5 - 0|}{\sqrt{9 + 16}} = 3 (= b)\)이고 \(\overline{\mathrm{OH}} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 (= a)\)이다. 또한 \(9x_0^2 - 16y_0^2 = 144\)이므로 \(\overline{\mathrm{PQ}}\cdot\overline{\mathrm{PR}} = \dfrac{|3x_0 - 4y_0|}{5}\cdot\dfrac{|3x_0 + 4y_0|}{5} = \dfrac{|9x_0^2 - 16y_0^2|}{25} = \dfrac{144}{25}\)로 일정하다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\overline{\mathrm{PF'}} = p,\; \overline{\mathrm{PF}} = q\)라 하면 \(p - q = 2a = 8\)이고 \(p^2 + q^2 = (2c)^2 = 100\)이므로 \(2pq = (p^2 + q^2) - (p - q)^2 = 100 - 64 = 36 \implies \triangle \mathrm{F'PF} = \dfrac{1}{2}pq = 9\)이다. 또한 \((p + q)^2 = (p - q)^2 + 4pq = 64 + 72 = 136 \implies p + q = 2\sqrt{34}\)이므로 둘레는 \(2c + p + q = 10 + 2\sqrt{34}\)이다.
| 배점 단계 | 부산대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \(\mathrm{F}(\pm 5, 0)\) 도출 +2점 / \(\overline{\mathrm{FH}} = 3,\; \overline{\mathrm{OH}} = 4\) 산출 +4점 |
| [5-2] 7점 | • 거리 공식의 곱 \(\dfrac{|9x_0^2 - 16y_0^2|}{25}\) 전개 +4점 / 쌍곡선 식 대입으로 \(\dfrac{144}{25}\) 증명 +3점 |
| [5-3] 7점 | • \(p-q=8,\; p^2+q^2=100\)으로 넓이 \(9\) 도출 +4점 / 둘레 \(10 + 2\sqrt{34}\) 산출 +3점 |
⚠️ 부산대학교 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 쌍곡선의 초점 \(\mathrm{F}(c, 0)\)에서 점근선에 내린 수선의 길이는 항상 \(b\)이고 원점으로부터 수선의 발까지의 거리는 항상 \(a\)가 되는 기하학적 불변성을 기억해 두십시오.