🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]
[제시문 (가)] 실수 \(a\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 방정식 \(x^n = a\)의 실근의 개수를 \(N(a, n)\)이라 하면, \(n\)이 홀수일 때는 \(a\)의 부호에 관계없이 \(N(a, n) = 1\)이고, \(n\)이 짝수일 때는 \(a > 0\)이면 \(2\), \(a = 0\)이면 \(1\), \(a < 0\)이면 \(0\)이다.
이차다항식 \(p(k) = k^2 - 7k + 10\)에 대하여 \(a = p(k)\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(N\bigl(p(k), n\bigr)\)이라 하자. 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 자연수 \(k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{6} N\bigl(p(k), 4\bigr)\)와 \(\sum_{k=1}^{6} N\bigl(p(k), 5\bigr)\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 양수 \(x\)가 \(x^{1/2} - x^{-1/2} = \sqrt{5}\)를 만족시킬 때, \(x + x^{-1}\)과 \(x^2 + x^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 양수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{x^{3/2} - x^{-3/2}}{x^2 + 1 + x^{-2}}\)의 값을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.36 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 세 변의 길이를 \(a, b, c\), 외접원의 반지름을 \(R\)라 하면 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\)와 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)가 성립한다.
반지름의 길이가 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle A = \dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)\)이고 두 변의 길이의 비가 \(\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 8\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이 \(a\)를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 코사인법칙을 이용하여 두 변 \(\overline{\mathrm{AB}} = c,\; \overline{\mathrm{AC}} = b\)의 길이를 각각 구하고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내접원의 반지름 \(r\)와 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 길이 \(h_a\)를 각각 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.35 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 중심이 원점 \(\mathrm{O}(0,0)\)이고 반지름이 \(r\)인 원 \(x^2 + y^2 = r^2\) 밖의 점 \(\mathrm{P}(t, 0)\) (\(t > r\))에서 원에 그은 두 접선의 접점을 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하면, 직각삼각형 \(\mathrm{OAP}\)에서 접선의 길이는 \(\overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{t^2 - r^2}\)이고 사영 정리에 의해 현 \(\mathrm{AB}\)와 \(x\)축의 교점 \(\mathrm{H}\)의 \(x\)좌표는 \(\dfrac{r^2}{t}\)이다.
원 \(C : x^2 + y^2 = 4\) 밖의 점 \(\mathrm{P}(t, 0)\) (\(t > 2\))에서 원 \(C\)에 그은 두 접선의 접점을 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하고, 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이를 \(S(t)\), 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이를 \(L(t)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 접선의 길이 \(\overline{\mathrm{PA}}\)와 현 \(\mathrm{AB}\)의 길이 \(L(t)\)를 각각 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.
[문항 3-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내고, 극한값 \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{S(t)}{t}\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 원 위의 점 \((2, 0)\)에 한없이 가까워질 때(\(t \to 2+\)), 극한값 \(\lim_{t \to 2+} \dfrac{S(t)}{\bigl(L(t)\bigr)^3}\)를 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 직선 \(y = mx + n\)과 서로 다른 두 점 \(x = \alpha,\; x = \beta\) (\(\alpha < \beta\))에서 동시에 접할 때(이중접선), 인수 정리와 도함수 조건에 의해 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\)이 성립한다.
사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 5\)의 그래프에 동시에 두 점에서 접하는 이중접선 \(l : y = mx + n\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 항등식 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\) (\(\alpha < \beta\))의 우변을 전개하여 계수를 비교함으로써 두 접점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)와 이중접선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)를 구하여 극댓값과 극솟값을 모두 구하고, 곡선 \(y = f(x)\)가 직선 \(x = \dfrac{\alpha + \beta}{2}\)에 대하여 대칭임을 보이시오.
[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점에서 이중접선 \(l\)까지의 연직 거리 \(d(x) = f(x) - (mx + n)\)가 구간 \([\alpha, \beta]\)에서 갖는 최댓값을 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 부산대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (심층 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅰ. 이차곡선
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 두 초점 \(\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F'}(-c, 0)\) (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\))으로부터의 거리의 차가 \(2a\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)의 두 점근선의 방정식은 \(bx - ay = 0\)과 \(bx + ay = 0\)이다.
쌍곡선 \(H : \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)과 두 초점 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F'}(-c, 0)\) (\(c > 0\)), 그리고 두 점근선 \(l_1 : 3x - 4y = 0,\; l_2 : 3x + 4y = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 두 초점 \(\mathrm{F}, \mathrm{F'}\)의 좌표를 구하고, 초점 \(\mathrm{F}\)에서 점근선 \(l_1\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{FH}}\)와 \(\overline{\mathrm{OH}}\)의 길이를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 쌍곡선 \(H\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)에서 두 점근선 \(l_1, l_2\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{Q}, \mathrm{R}\)라 할 때, 두 수선의 길이의 곱 \(\overline{\mathrm{PQ}} \cdot \overline{\mathrm{PR}}\)이 점 \(\mathrm{P}\)의 위치에 관계없이 일정한 상수임을 증명하고 그 값을 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 쌍곡선 \(H\)의 제\(1\)사분면 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 \(\angle \mathrm{F'PF} = 90^\circ\)일 때, 삼각형 \(\mathrm{F'PF}\)의 넓이와 둘레의 길이를 각각 구하시오.
[부산대학교 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.