2027학년도 대비 명지대학교 자연계열 교과형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 6회 문제집  |  6회 : 지수·로그함수의 역함수 · 비선형 분수 점화식의 · 함수방정식과 도함수의 · 수직선 위를 움직이는 · 포물선과 직선으로 둘러
2027학년도 대비 명지대학교 자연계열 교과형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 수능최저 없음 · 3줄 핵심 풀이

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.23 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 217} + 217\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 438\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 438\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 438)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.
직선 \(y = -x + 438\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 438)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 438\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(219, 219)\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 219)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 438)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 438 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{438}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{220}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/220)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.
첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{220}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 220\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 214\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 214}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{61600}\)의 값을 유도하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]
<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 221\right)\)로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 항등식 \(f(x+y) = f(x) + f(y) + 12xy(x+y) - 217\)이 주어지면 원점 대입으로 \(f(0) = 217\)를 먼저 결정한다.
미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 12xy(x + y) - 217\)을 만족시키고 \(f'(0) = 221\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 \(f(0) = 217\)를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x) = 12x^2 + 221\)임을 유도하시오.
[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 \(f(x) = 4x^3 + 221x + 217\)를 결정하고, 곡선 위의 점 \((1, 442)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 269\right)\)의 값을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 639)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 639)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 639]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 639)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1278t^2 + 408321t = t(t - 639)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 639\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(639) = 0\)의 값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 639]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 213)(t - 639)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(213) = 38654388\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 2556 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 426\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(426) = 19327194\)를 각각 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 214)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (214, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{214} (-6x^2 + 1284x)\,dx = 9800344\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{214}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(9800344\)를 정확히 이등분한다.
포물선 \(C : y = -6x^2 + 1284x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 642x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1284x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 9800344\)를 유도하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 9800344\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{214}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{214/2} (-6x^2 + 1284x)\,dx = \dfrac{9800344}{2}\)임을 확인하시오.
[문항 5-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1284x\)와 직선 \(y = 642x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{9800344}{8}\)을 구하시오.
[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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