[조건 수식 확인]: \(a\) , \(r\) , \(a_n = a r^{n-1}\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) , \(\mathrm{I}\) , \(k\) , \(u_k = k(k + 2)\) , \(\mathrm{II}\) , \(v_k = 3^k\) , \(5\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} u_k\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} v_k\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{u_k} = \sum_{k=1}^{10} \dfrac{2}{k(k+2)}\)

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 1-1 해설]: \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 (k^2 + 2k) = \dfrac{5\cdot 6\cdot 11}{6} + 2\cdot\dfrac{5\cdot 6}{2} = 55 + 30 = 85\)이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 1-2 해설]: \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 3^k = \dfrac{3(3^5 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{3\times 242}{2} = 363\)이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 1-3 해설]: \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right) = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{23}{132} = \dfrac{175}{132}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(\displaystyle\lim_{p\to\infty}\dfrac{Ap^2 + Bp}{Cp^2 + D} = \dfrac{A}{C}\) , \(\displaystyle\lim_{p\to a}\dfrac{f(p)}{p - a} = L\) , \(f(a) = 0\) , \(p > 0\) , \(S(p) = \dfrac{ap^2 + bp}{p^2 + 16}\) , \(\displaystyle\lim_{p\to\infty} S(p) = 100\) , \(a\) , \(b\) , \(\displaystyle\lim_{p\to 0+} \dfrac{S(p)}{p}\) , \(p = 4\) , \(S'(4)\)

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 2-1 해설]: \(\lim_{p\to\infty} S(p) = a = 100\)이고, \(S(4) = \dfrac{1600 + 4b}{32} = 60 \implies 1600 + 4b = 1920 \implies b = 80\)이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 2-2 해설]: \(\displaystyle\lim_{p\to 0+}\dfrac{100p + 80}{p^2 + 16} = \dfrac{80}{16} = 5\)이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 2-3 해설]: \(S(p) - 60 = \dfrac{100p^2 + 80p - 60p^2 - 960}{p^2 + 16} = \dfrac{40(p - 4)(p + 6)}{p^2 + 16}\)이므로 \(S'(4) = \displaystyle\lim_{p\to 4}\dfrac{40(p+6)}{p^2+16} = \dfrac{400}{32} = \dfrac{25}{2}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(r\) , \(h\) , \(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\) , \(V = \pi r^2 h\) , \(r > 0\) , \(S = 24\pi\;(\mathrm{mm}^2)\) , \(V(r)\) , \(V'(r)\) , \(r_0\) , \(V_{\max}\)

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 3-1 해설]: \(2\pi r^2 + 2\pi rh = 24\pi \implies r^2 + rh = 12 \implies h = \dfrac{12 - r^2}{r}\)이고 \(h > 0\)에서 \(0 < r < 2\sqrt{3}\)이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 3-2 해설]: \(V(r) = \pi r^2\cdot\dfrac{12 - r^2}{r} = \pi(12r - r^3)\)이고 \(V'(r) = 3\pi(4 - r^2)\)이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 3-3 해설]: \(V'(r) = 0\)에서 \(r_0 = 2\)일 때 \(h_0 = \dfrac{8}{2} = 4\)이고 최대 부피는 \(V_{\max} = \pi(24 - 8) = 16\pi\;(\mathrm{mm}^3)\)이다.

[조건 수식 확인]: \(I\;(\mathrm{mg})\) , \(c(t)\;(\mathrm{mg/L})\) , \(0 \le t \le T\) , \(\mathrm{CO}\;(\mathrm{L/s})\) , \(\mathrm{CO} = \dfrac{I}{\int_0^T c(t)\,dt}\) , \(I = 9\;(\mathrm{mg})\) , \(0 \le t \le 6\) , \(c(t) = \dfrac{1}{2}t(6 - t)\;(\mathrm{mg/L})\) , \(\displaystyle\int_0^6 c(t)\,dt\) , \(1\) , \(60\) , \(\mathrm{L/min}\)

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 4-1 해설]: \(c(t) = -\dfrac{1}{2}(t - 3)^2 + \dfrac{9}{2}\)이므로 \(t = 3\)초에서 최고 농도 \(\dfrac{9}{2}\;(\mathrm{mg/L})\)이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 4-2 해설]: \(\displaystyle\int_0^6 \dfrac{1}{2}(6t - t^2)\,dt = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{6^3}{6} = 18\;(\mathrm{mg\cdot s/L})\)이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 4-3 해설]: 초당 심박출량은 \(\mathrm{CO} = \dfrac{9}{18} = 0.5\;(\mathrm{L/s})\)이고, 분당 심박출량은 \(0.5 \times 60 = 30\;(\mathrm{L/min})\)이다.

[조건 수식 확인]: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2\) , \(xy\) , \(\sqrt{R^2 - c^2}\) , \(S : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 41\) , \(S\) , \(\mathrm{C}\) , \(\mathrm{O}(0,0,0)\) , \(\overline{\mathrm{OC}}\) , \(r\) , \(\mathrm{P}\) , \(\mathrm{O}\) , \(M\) , \(m\) , \(Mm\)

[의공학 풀이 1 [원리] — 문항 5-1 해설]: 중심은 \(\mathrm{C}(3, 4, 5)\)이고 \(\overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)이다.

[의공학 풀이 2 [계산] — 문항 5-2 해설]: \(z = 0\)을 대입하면 \((x-3)^2 + (y-4)^2 = 41 - 25 = 16\)이므로 중심은 \((3, 4, 0)\), 반지름은 \(r = 4\), 단면 넓이는 \(16\pi\)이다.

[의공학 풀이 3 [결론] — 문항 5-3 해설]: \(M = 5\sqrt{2} + \sqrt{41},\; m = 5\sqrt{2} - \sqrt{41}\)이므로 \(Mm = 50 - 41 = 9\)이다.