2027학년도 경희대학교(의·약학계열) 의예·한의예·치의예·약학 수리·과학논술 모의고사 5회 해설집 (제2권)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 3951 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(150\sqrt{2} \approx 211.5\;(\mathrm{MBq})\) | [1-2] \(A_0 \ge 1200\;(\mathrm{MBq})\) | [1-3] \(506\)분

[1줄 공식선언 (30%)]: \(55\)분은 반감기 \(110\)분의 절반(\(\dfrac{1}{2}T\))이므로 \(A(55) = 300\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/2}\)이다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: 촬영 개시 시점 활성도는 \(\dfrac{300}{\sqrt{2}} = 150\sqrt{2} = 150 \times 1.41 = 211.5\;(\mathrm{MBq})\)이다. 또한 \(220\)분은 반감기의 \(2\)배이므로 \(A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{220/110} = \dfrac{1}{4}A_0 \ge 300 \implies A_0 \ge 1200\;(\mathrm{MBq})\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(960\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/110} \le 40 \iff 2^{t/110} \ge 24\)에서 양변에 상용로그를 취하면 \(\dfrac{t}{110}\log_{10} 2 \ge 3\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.9 + 0.48 = 1.38\)이다. 따라서 \(\dfrac{0.3t}{110} \ge 1.38 \implies t \ge 110 \times 4.6 = 506\)분이다.

배점 단계	경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표
문항 1-1	• 지수 \(\dfrac{55}{110} = \dfrac{1}{2}\) 대입 +3점 / \(150\sqrt{2}\) (\(211.5\,\mathrm{MBq}\)) 산출 +3점
문항 1-2	• \(\dfrac{1}{4}A_0 \ge 300\) 부등식 수립 +4점 / 최솟값 \(1200\,\mathrm{MBq}\) 도출 +3점
문항 1-3	• \(2^{t/110} \ge 24\) 및 상용로그 변환 +4점 / 최소 시간 \(506\)분 산출 +3점

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: \(24 = 2^3 \times 3\)으로 소인수분해하면 \(\log_{10} 24 = 3\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 1.38\)이 되어 \(0.3\)으로 나누었을 때 \(4.6\)으로 나누어떨어집니다.

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 3952 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(K = 1000\,\mathrm{Hz},\; \Delta f(\pi/6) = 500\sqrt{3}\,\mathrm{Hz}\) | [2-2] \(K = 1000\,\mathrm{Hz},\; \tan\theta = \dfrac{4}{3}\) | [2-3] \(\angle \mathrm{AOB} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)\)

[1줄 공식선언 (30%)]: \(K\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}K = 500\) 및 여각 공식 \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta\)를 적용한다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(K = 1000\,\mathrm{Hz}\)이므로 \(\Delta f(\pi/6) = 1000\cos\dfrac{\pi}{6} = 500\sqrt{3}\,\mathrm{Hz}\)이다. 수직 이중 프로브에서 \(K\cos\theta = 600,\; K\sin\theta = 800\)이므로 제곱하여 더하면 \(K^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 600^2 + 800^2 = 1000^2 \implies K = 1000\,\mathrm{Hz}\)이고 \(\tan\theta = \dfrac{800}{600} = \dfrac{4}{3}\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)에서 코사인법칙에 의해 \(\cos(\angle \mathrm{AOB}) = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2\cdot 3\cdot 5} = \dfrac{34 - 49}{30} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(\angle \mathrm{AOB} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)\)이다.

배점 단계	경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표
문항 2-1	• \(K = 1000\,\mathrm{Hz}\) 산출 +3점 / \(\Delta f(\pi/6) = 500\sqrt{3}\,\mathrm{Hz}\) 도출 +3점
문항 2-2	• \(\cos(\pi/2-\theta) = \sin\theta\) 변환 +3점 / \(K = 1000\,\mathrm{Hz},\; \tan\theta = \dfrac{4}{3}\) 산출 +4점
문항 2-3	• 코사인법칙 \(\cos(\angle \mathrm{AOB}) = -\dfrac{1}{2}\) 유도 +4점 / \(\angle \mathrm{AOB} = \dfrac{2\pi}{3}\) 도출 +3점

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 단일 프로브는 혈관 각도 \(\theta\) 측정 오차에 민감하지만, 직교 이중 프로브를 쓰면 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)에 의해 각도 \(\theta\)와 무관하게 혈류 속도를 정확히 복원할 수 있습니다.

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 3953 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(x^* = \dfrac{2}{3},\; f(x^*) = \dfrac{4}{9}\) | [3-2] \(0 < k < \dfrac{3}{4}\) | [3-3] \(k_c = \dfrac{3}{4}\), 접점 \(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{8}\right)\)

[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 6x - 9x^2 = 3x(2 - 3x)\)이고, \(x > 0\)에서 \(f(x) = kx \iff 3x - 3x^2 = k\)이다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \((0, 1)\)에서 \(x^* = \dfrac{2}{3}\)일 때 \(f(x)\)는 극대이자 최대이며 \(f\left(\dfrac{2}{3}\right) = 3\cdot\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9}\)이다. 또한 \(x \in (0, 1]\)에서 \(3x^2 - 3x^3 = kx\)의 양변을 \(x\)로 나누면 \(h(x) = -3x^2 + 3x = -3\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} = k\)이므로, \((0, 1]\)에서 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 \(0 < k < \dfrac{3}{4}\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: 직선 \(y = kx\)가 \(x > 0\)에서 \(y = f(x)\)에 접할 조건은 이차방정식 \(3x^2 - 3x + k = 0\)이 중근을 가질 조건과 같으므로 \(k_c = \dfrac{3}{4}\)이고 중근은 \(x = \dfrac{1}{2}\), 접점의 좌표는 \(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{8}\right)\)이다.

배점 단계	경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표
문항 3-1	• \(f'(x) = 3x(2-3x)\) 도출 +3점 / \(x^* = \dfrac{2}{3},\; f(x^) = \dfrac{4}{9}\) 산출 +3점*
문항 3-2	• \(x > 0\)에서 \(-3x^2 + 3x = k\)로 약분 변환 +4점 / \(0 < k < \dfrac{3}{4}\) 도출 +3점
문항 3-3	• 판별식 \(D = 9 - 12k = 0\)으로 \(k_c = \dfrac{3}{4}\) 도출 +4점 / 접점 \(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{8}\right)\) 산출 +3점

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 회복률 계수 \(k\)가 임계값 \(k_c = \dfrac{3}{4}\)보다 커지면 \(x > 0\)에서 평형점이 사라져 감염자 비율이 항상 \(x = 0\)(질병 소멸)으로 수렴하게 됩니다.

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 탐구 3954 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(\int_{0}^{3} P(t)\,dt = 3,\; \mathrm{CL} = 180\,\mathrm{mL/h},\; \mathrm{GFR} = 3\,\mathrm{mL/min}\) (단위 환산 전 기본값; 또는 \(P(t)\) 단위 \(\mathrm{mg/dL}\) 시 \(100\)배) | [4-2] \(M(1) = 380\,\mathrm{mg},\; \dfrac{19}{27}\) | [4-3] \(t^* = \dfrac{3}{2} = 1.5\)시간

[1줄 공식선언 (30%)]: \(\int_{0}^{3} \dfrac{1}{3}(3-t)^2\,dt = \Bigl[-\dfrac{1}{9}(3-t)^3\Bigr]_{0}^{3} = 3\)이며 \(M(3) = \mathrm{CL}\int_{0}^{3} P(t)\,dt = 540\)이다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\mathrm{CL} = \dfrac{540}{3} = 180\,\mathrm{mL/h}\)이고 분당 여과율은 \(\dfrac{180}{60} = 3\,\mathrm{mL/min}\)이다. 시각 \(t\)까지의 누적 배설량은 \(M(t) = 180\int_{0}^{t} \dfrac{1}{3}(3-s)^2\,ds = 20\bigl(27 - (3-t)^3\bigr)\)이므로 \(M(1) = 20(27 - 8) = 380\,\mathrm{mg}\)이고 비율은 \(\dfrac{380}{540} = \dfrac{19}{27}\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(\dfrac{M(t^*)}{M(3)} = 1 - \left(\dfrac{3 - t^*}{3}\right)^3 = \dfrac{7}{8}\)에서 \(\left(\dfrac{3 - t^*}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{8} \implies \dfrac{3 - t^*}{3} = \dfrac{1}{2} \implies t^* = \dfrac{3}{2} = 1.5\)시간이다.

배점 단계	경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표
문항 4-1	• 정적분 \(\int_0^3 P(t)\,dt = 3\) 산출 +3점 / \(\mathrm{CL} = 180\,\mathrm{mL/h},\; \mathrm{GFR} = 3\,\mathrm{mL/min}\) 도출 +3점
문항 4-2	• \(M(t) = 20(27 - (3-t)^3)\) 유도 +4점 / \(M(1) = 380\,\mathrm{mg}\) 및 비율 \(\dfrac{19}{27}\) 산출 +3점
문항 4-3	• 잔여 비율 식 \(\left(\dfrac{3-t^}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\) 수립 +4점* / \(t^* = 1.5\)시간 도출 +3점

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 정적분 \(\int_0^t (3-s)^2\,ds\)를 전개하지 않고 \(\int_t^3 (3-s)^2\,ds = \dfrac{1}{3}(3-t)^3\)을 전체 적분값 \(9\)에서 빼면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.

[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.4 탐구 3955 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\mathrm{H}(5, 10, 10),\; d = 15\,\mathrm{mm}\) | [5-2] \(r = 20\,\mathrm{mm}\), 단면 넓이 \(400\pi\,(\mathrm{mm^2})\) | [5-3] 접평면 \(x + 2y + 2z = 75\), 접점 \(\mathrm{T}\left(\dfrac{25}{3}, \dfrac{50}{3}, \dfrac{50}{3}\right)\), 높이 \(h = 10\,\mathrm{mm}\)

[1줄 공식선언 (30%)]: 직선 \(\mathrm{OH}\)의 방향벡터가 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)이므로 \(\mathrm{H}(t, 2t, 2t)\)를 평면 방정식에 대입한다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(t + 4t + 4t = 9t = 45 \implies t = 5\)이므로 \(\mathrm{H}(5, 10, 10)\)이고 \(d = \overline{\mathrm{OH}} = \sqrt{25 + 100 + 100} = 15\,\mathrm{mm}\)이다. 따라서 단면 원의 반지름은 \(r = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20\,\mathrm{mm}\)이고 단면 넓이는 \(\pi r^2 = 400\pi\,(\mathrm{mm^2})\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: 단위 법선벡터가 \(\vec{u} = \dfrac{1}{3}(1, 2, 2)\)이므로 반지름 \(R = 25\)인 구면의 접점은 \(\mathrm{T} = 25\vec{u} = \left(\dfrac{25}{3}, \dfrac{50}{3}, \dfrac{50}{3}\right)\)이고, 접평면 \(\beta\)의 방정식은 \(x + 2y + 2z = 3 \times 25 = 75\)이며, 제거되는 골두 구모의 높이는 \(h = 25 - 15 = 10\,\mathrm{mm}\)이다.

배점 단계	경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표
문항 5-1	• \(\mathrm{H}(5, 10, 10)\) 도출 +3점 / \(d = 15\,\mathrm{mm}\) 산출 +3점
문항 5-2	• \(r = \sqrt{625 - 225} = 20\,\mathrm{mm}\) 도출 +4점 / 넓이 \(400\pi\) 산출 +3점
문항 5-3	• 접점 \(\mathrm{T}\left(\dfrac{25}{3}, \dfrac{50}{3}, \dfrac{50}{3}\right)\) 및 접평면 \(x+2y+2z=75\) 도출 +4점 / 높이 \(h = 10\,\mathrm{mm}\) 산출 +3점

⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 점 \(\mathrm{M}(5, 10, 10)\)의 위치벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OM}} = 5(1, 2, 2)\)가 이미 평면의 법선벡터 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)와 평행하므로 점 \(\mathrm{M}\) 자체가 수선의 발 \(\mathrm{H}\)가 됩니다.

경희대학교(의·약학계열) [문항 1] 모범답안 및 채점 루브릭 [양전자방출단층촬영[PET] 방사성 추적자[18F-FDG]의 붕괴 법칙과 투여 용량 설계] (20점)

경희대학교(의·약학계열) [문항 2] 모범답안 및 채점 루브릭 [초음파 도플러 혈류 측정기의 프로브 입사각 코사인 보정과 혈류 속도] (20점)

경희대학교(의·약학계열) [문항 3] 모범답안 및 채점 루브릭 [전염병 역학 구획 모델의 감염 재생산 곡선과 평형점 실근 개수] (20점)

경희대학교(의·약학계열) [문항 4] 모범답안 및 채점 루브릭 [신장 사구체 여과율[GFR]과 신장 배설 속도 함수의 정적분 청소율 해석] (20점)

경희대학교(의·약학계열) [문항 5] 모범답안 및 채점 루브릭 [정형외과 인공고관절 치환술의 대퇴골두 구면 절삭 평면과 단면 기하] (20점)