🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 3951 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
[제시문 (가)] 종양 진단용 양전자방출단층촬영(PET)에 쓰이는 방사성 동위원소 추적자(\(^{18}\mathrm{F}\text{-FDG}\))의 방사능 활성도 \(A(t)\;(\mathrm{MBq})\)는 반감기 \(T\)에 대하여 시각 \(t\)(분)에서 \(A(t) = A_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\)으로 감소한다.
반감기가 \(T = 110\)(분)인 방사성 추적자를 병원 사이클로트론에서 합성한 직후(\(t = 0\))의 활성도를 \(A_0\;(\mathrm{MBq})\)라 하자. 합성 후 운송에 \(t_1\)분이 소요되고, 환자에게 투여한 뒤 촬영 개시까지 \(55\)분이 더 경과할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(\sqrt{2} = 1.41,\; \log_{10} 2 = 0.3,\; \log_{10} 3 = 0.48\)로 계산한다.)
[문항 1-1] (6점) 환자 투여 시점의 활성도가 \(300\;(\mathrm{MBq})\)일 때, 투여 \(55\)분 후 촬영 개시 시점에서의 체내 잔류 활성도(\(\mathrm{MBq}\))를 \(\sqrt{2}\)를 이용하여 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 합성 후 \(220\)분 뒤 환자에게 투여할 때 투여 시점 활성도가 최소 \(300\;(\mathrm{MBq})\) 이상이어야 한다면, 초기 합성 활성도 \(A_0\)의 최솟값을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 초기 활성도가 \(A_0 = 960\;(\mathrm{MBq})\)일 때, 방사능 활성도가 안전 격리 해제 기준인 \(40\;(\mathrm{MBq})\) 이하로 떨어지는 최소 경과 시간 \(t\)(분)를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.35 탐구 3952 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 혈관 내 혈류 속도를 비침습적으로 측정하는 초음파 도플러 검사에서, 송신 주파수가 \(f_0\), 생체 조직 내 음속이 \(c\), 혈류 속도가 \(v\), 초음파 빔과 혈관 축이 이루는 입사각이 \(\theta\) (\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\))일 때 도플러 주파수 편이 \(\Delta f\)는 \(\Delta f(\theta) = \dfrac{2 f_0 v}{c}\cos\theta\)로 주어진다.
일정한 혈류 속도 \(v\)가 흐르는 경동맥에 대하여 첫 번째 입사각 \(\theta_1 = \dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)\)에서 측정된 도플러 주파수 편이가 \(\Delta f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 500\;(\mathrm{Hz})\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 비례상수 \(K = \dfrac{2 f_0 v}{c}\)의 값을 구하고, 입사각을 \(\theta_2 = \dfrac{\pi}{6}\;(30^\circ)\)로 변경했을 때 측정되는 주파수 편이 \(\Delta f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 서로 수직인 두 방향의 프로브로 동시 측정한 주파수 편이가 각각 \(\Delta f(\theta) = 600\;(\mathrm{Hz})\), \(\Delta f\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = 800\;(\mathrm{Hz})\)일 때, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 입사각 \(\theta\)를 몰라도 상수 \(K = \dfrac{2 f_0 v}{c}\)와 \(\tan\theta\)를 결정할 수 있음을 보이고 그 값을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 초음파 발신점 \(\mathrm{O}\)에서 혈관 위의 두 지점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)까지의 거리가 \(\overline{\mathrm{OA}} = 3\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{OB}} = 5\,\mathrm{cm}\)이고 \(\overline{\mathrm{AB}} = 7\,\mathrm{cm}\)일 때, 코사인법칙을 이용하여 \(\angle \mathrm{AOB}\)의 크기를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.38 탐구 3953 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
[제시문 (가)] 집단 내 감염자 비율을 \(x \in [0, 1]\)이라 할 때, 비선형 접촉에 의한 신규 감염 생성률 함수를 \(f(x) = 3x^2(1 - x) = 3x^2 - 3x^3\), 보건 방역 및 회복에 의한 감염 소멸률 함수를 \(g(x) = kx\) (\(k > 0\))라 하면, 감염자 비율이 일정하게 유지되는 평형점(Equilibrium)은 방정식 \(f(x) = g(x)\)의 실근이다.
구간 \(0 \le x \le 1\)에서 신규 감염 생성률 함수 \(f(x) = 3x^2 - 3x^3\)과 회복률 직선 \(g(x) = kx\) (\(k > 0\))에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 신규 감염 생성률 \(f(x)\)가 최대가 되는 감염자 비율 \(x^*\)와 최대 생성률 \(f(x^*)\)를 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 비자명 평형점(\(0 < x \le 1\)에서의 방정식 \(f(x) = kx\)의 실근)이 서로 다른 두 개로 존재하도록 하는 회복률 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 원점 \((0, 0)\)을 지나는 직선 \(y = kx\)가 곡선 \(y = f(x)\)의 \(x > 0\) 부분에 접할 때의 상수 \(k\)의 값(임계 방역 계수 \(k_c\))과 그때의 접점의 좌표를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 탐구 3954 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
[제시문 (가)] 신장 기능 검사에서 조영제 투여 후 시각 \(t \in [0, T]\)(시간)에서의 혈장 조영제 농도를 \(P(t)\;(\mathrm{mg/mL})\), 소변으로의 순간 배설 속도를 \(U(t)\;(\mathrm{mg/h})\)라 할 때, 신장 청소율(사구체 여과율, \(\mathrm{GFR}\))이 일정한 상수 \(\mathrm{CL}\;(\mathrm{mL/h})\)이면 모든 시각 \(t\)에서 \(U(t) = \mathrm{CL}\cdot P(t)\)가 성립하며, 구간 \([0, T]\) 동안 소변으로 배설된 조영제의 총량 \(M(T)\)는 \(M(T) = \int_{0}^{T} U(t)\,dt\)이다.
조영제 투여 후 \(0 \le t \le 3\) (단위: 시간) 동안 혈장 농도가 \(P(t) = \dfrac{1}{3}(3 - t)^2\;(\mathrm{mg/mL})\)로 감소하고, \(3\)시간 동안 소변으로 배설된 조영제의 총량이 \(M(3) = 540\;(\mathrm{mg})\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분 \(\int_{0}^{3} P(t)\,dt\)의 값을 구하고, 이 환자의 시간당 신장 청소율 \(\mathrm{CL}\;(\mathrm{mL/h})\)과 분당 사구체 여과율 \(\mathrm{GFR} = \dfrac{\mathrm{CL}}{60}\;(\mathrm{mL/min})\)을 각각 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 투여 후 첫 \(1\)시간(\(0 \le t \le 1\)) 동안 소변으로 배설된 조영제의 양 \(M(1)\)을 구하고, 이는 \(3\)시간 총 배설량 \(M(3)\)의 몇 분의 몇인지 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 누적 배설량이 전체 배설량 \(540\,\mathrm{mg}\)의 정확히 \(\dfrac{7}{8}\) (\(= 472.5\,\mathrm{mg}\))에 도달하는 시각 \(t^* \in (0, 3)\)를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.4 탐구 3955 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
[제시문 (가)] 공간좌표에서 중심이 원점 \(\mathrm{O}(0,0,0)\)이고 반지름이 \(R\)인 구 \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)을 원점으로부터의 거리가 \(d\) (\(0 < d < R\))인 평면 \(\alpha\)로 절단할 때, 단면은 반지름이 \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\)인 원이 되며, 구의 중심 \(\mathrm{O}\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)는 단면 원의 중심이다.
정형외과 수술 내비게이션 공간좌표계(단위: \(\mathrm{mm}\))에서 대퇴골두를 중심이 원점 \(\mathrm{O}(0,0,0)\)이고 반지름이 \(R = 25\)인 구 \(S : x^2 + y^2 + z^2 = 625\)로 모형화하자. 수술용 절삭 가이드 평면 \(\alpha\)가 법선벡터가 \(\vec{n} = (1, 2, 2)\)이고 점 \(\mathrm{M}(5, 10, 10)\)을 지나는 평면 \(x + 2y + 2z = 45\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 구의 중심 \(\mathrm{O}(0,0,0)\)에서 절삭 평면 \(\alpha : x + 2y + 2z = 45\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)의 좌표와 거리 \(d = \overline{\mathrm{OH}}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 절삭 평면 \(\alpha\)에 의해 잘린 대퇴골두 단면 원의 반지름 \(r\)와 단면 원의 넓이를 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 평면 \(\alpha\)와 평행하고 대퇴골두 구면 \(S\)의 양(\(+\))의 팔분공간 부분에 접하는 접평면 \(\beta\)의 방정식과 접점 \(\mathrm{T}\)의 좌표, 그리고 절삭되어 제거되는 구모(Spherical Cap)의 높이 \(h = R - d\)를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.