[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.1 탐구 3941 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(C_t(\mathrm{A}) = 20\)사이클 | [1-2] \(32\)배 | [1-3] \(C_t' = 30\)사이클
[1줄 공식선언 (30%)]: \(N_0 \cdot 2^{C_t} = 10^9\)의 양변에 상용로그를 취하면 \(C_t \log_{10} 2 = 9 - \log_{10} N_0\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(N_0(\mathrm{A}) = 10^3\)이면 \(0.3\,C_t(\mathrm{A}) = 9 - 3 = 6 \implies C_t(\mathrm{A}) = 20\)이다. 또한 \(N_0(\mathrm{A})\cdot 2^{20} = N_0(\mathrm{B})\cdot 2^{15} = 10^9\)이므로 \(\dfrac{N_0(\mathrm{B})}{N_0(\mathrm{A})} = 2^{20 - 15} = 2^5 = 32\)배이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(1 + E = 1.6 = \dfrac{16}{10} = \dfrac{2^4}{10}\)이므로 \(\log_{10} 1.6 = 4\log_{10} 2 - 1 = 1.2 - 1 = 0.2\)이다. 따라서 \(10^3 \cdot (1.6)^{C_t'} = 10^9 \implies 0.2\,C_t' = 6 \implies C_t' = 30\)사이클이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 1-1 | • \(10^3 \cdot 2^{C_t} = 10^9\) 수립 +3점 / \(C_t(\mathrm{A}) = 20\) 산출 +3점 |
| 문항 1-2 | • 사이클 차 \(\Delta C_t = 5\) 활용 +3점 / \(2^5 = 32\)배 도출 +4점 |
| 문항 1-3 | • \(\log_{10} 1.6 = 4\log_{10} 2 - 1 = 0.2\) 유도 +4점 / \(C_t' = 30\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: RT-qPCR에서 역치 사이클 \(C_t\)가 \(1\) 작은 검일수록 초기 바이러스 농도가 \(2\)배 높으며, \(\Delta C_t = 5\) 차이는 초기 농도 \(2^5 = 32\)배 차이를 의미합니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.34 탐구 3942 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(n = 2,\; K = 16\) | [2-2] \(x_{50} = 4\,\mathrm{nM},\; x_{80} = 8\,\mathrm{nM}\) | [2-3] \(R(x) = \dfrac{x^2}{16}\), 기울기 \(n = 2\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x \to 0+\)일 때 분모 \(K + x^n \to K > 0\)이므로 분자 \(x^{n-2}\)가 \(0\)이 아닌 상수로 수렴하려면 \(n - 2 = 0\)이어야 한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(n = 2\)이고 \(\dfrac{1}{K} = \dfrac{1}{16} \implies K = 16\)이다. 따라서 \(Y(x) = \dfrac{x^2}{16 + x^2}\)이므로 \(Y(x_{50}) = \dfrac{1}{2} \implies x_{50}^2 = 16 \implies x_{50} = 4\)이고, \(Y(x_{80}) = \dfrac{4}{5} \implies x_{80}^2 = 64 \implies x_{80} = 8\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(1 - Y(x) = \dfrac{16}{16 + x^2}\)이므로 \(R(x) = \dfrac{Y(x)}{1 - Y(x)} = \dfrac{x^2}{16}\)이다. 따라서 \(\log_2 R(x) = 2\log_2 x - 4\)이므로 \(\dfrac{\log_2 R(8) - \log_2 R(2)}{\log_2 8 - \log_2 2} = \dfrac{2 - (-2)}{3 - 1} = 2 = n\)이 성립한다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 2-1 | • 차수 비교로 \(n = 2\) 도출 +3점 / \(K = 16\) 산출 +3점 |
| 문항 2-2 | • \(x_{50} = 4\) 도출 +3점 / \(x_{80} = 8\) 산출 +4점 |
| 문항 2-3 | • \(R(x) = \dfrac{x^2}{16}\) 유도 +4점 / 로그 변화율(힐 플롯 기울기) \(= 2 = n\) 증명 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 약리학의 힐 플롯(Hill Plot)에서 \(\log R(x) = n\log x - \log K\)의 기울기가 곧 협동성 지수 \(n\)이 된다는 핵심 원리를 대수적 로그 성질로 증명하는 문항입니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 탐구 3943 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(v'(r) = 12r - 3r^2,\; r^* = 4\,\mathrm{mm},\; v_{\max} = 32\) | [3-2] \(v'(r) = kr(2r_0 - 3r) = 0 \implies \dfrac{r^*}{r_0} = \dfrac{2}{3}\) | [3-3] \(r = 6\,\mathrm{mm}\)에서 \(|v'(6)| = 36\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(v'(r) = 12r - 3r^2 = 3r(4 - r)\)을 인수분해하여 \([3, 6]\)에서의 증감을 조사한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(r = 4\)에서 \(v'(r)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 \(r^* = 4\,\mathrm{mm}\)에서 최대 유속 \(v_{\max} = v(4) = 16 \times 2 = 32\)를 갖는다. 일반적인 \(v(r) = k(r_0 r^2 - r^3)\)에서도 \(v'(r) = kr(2r_0 - 3r) = 0\)이므로 \(r > 0\)에서 \(r^* = \dfrac{2}{3}r_0\), 즉 \(\dfrac{r^*}{r_0} = \dfrac{2}{3}\)가 항상 성립한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(v'(r) = -3r^2 + 12r = -3(r - 2)^2 + 12\)는 구간 \([3, 6]\)에서 단조감소하며 \(v'(3) = 9,\; v'(4) = 0,\; v'(6) = -36\)이므로, 변화율의 절댓값 \(|v'(r)|\)은 \(r = 6\,\mathrm{mm}\)에서 최댓값 \(|-36| = 36\)을 갖는다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 3-1 | • \(v'(r) = 3r(4-r)\) 도출 +3점 / \(r^* = 4,\; v_{\max} = 32\) 산출 +3점 |
| 문항 3-2 | • 일반식 미분 \(v'(r) = kr(2r_0 - 3r)\) 전개 +4점 / 비율 \(\dfrac{r^*}{r_0} = \dfrac{2}{3}\) 불변성 증명 +3점 |
| 문항 3-3 | • \([3, 6]\)에서 \(v'(r)\)의 범위 \([-36, 9]\) 조사 +4점 / \(r = 6\)에서 최댓값 \(36\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 실제 흉부 X선 투시 검사에서도 기침 시 기관지 직경이 정상 시의 약 \(\dfrac{2}{3}\)로 수축하여 기류 유속을 극대화한다는 생체역학적 정리를 증명한 문항입니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.40 탐구 3944 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(t_{\max} = 1.5\)시간, \(G_{\max} = 157.5,\; \mathrm{iAUC} = 135\) | [4-2] \([1, 2]\), 넓이 \(5\) | [4-3] \((157.5 - m)^3 = \dfrac{135^3}{32}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(G(t) - 90 = -30\left(t - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{135}{2}\)이고 이차함수 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(t_{\max} = \dfrac{3}{2} = 1.5\)시간에서 \(G_{\max} = 90 + 67.5 = 157.5\)이고, \(\mathrm{iAUC} = \dfrac{30}{6}(3 - 0)^3 = 5 \times 27 = 135\)이다. 또한 \(G(t) \ge 150 \iff -30t^2 + 90t - 60 \ge 0 \iff (t - 1)(t - 2) \le 0\)이므로 시간 구간은 \([1, 2]\)이고 둘러싸인 넓이는 \(\dfrac{30}{6}(2 - 1)^3 = 5\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 포물선 꼭짓점으로부터의 높이가 \(h = G_{\max} - m\)일 때 둘러싸인 넓이는 \(h^{3/2}\)에 비례하므로 \(\left(\dfrac{G_{\max} - m}{G_{\max} - 90}\right)^{3/2} = \dfrac{1}{2} \implies (G_{\max} - m)^3 = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{135}{2}\right)^3 = \dfrac{135^3}{32}\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 4-1 | • \(t_{\max} = 1.5,\; G_{\max} = 157.5\) 산출 +3점 / \(\mathrm{iAUC} = 135\) 도출 +3점 |
| 문항 4-2 | • \(G(t) = 150\) 교점 구간 \([1, 2]\) 도출 +3점 / 정적분 공식으로 넓이 \(5\) 산출 +4점 |
| 문항 4-3 | • 넓이 비 \(\left(\dfrac{h}{67.5}\right)^{3/2} = \dfrac{1}{2}\) 유도 +4점 / \((G_{\max} - m)^3 = \dfrac{135^3}{32}\) 도출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 이차함수 \(y = -a(t - \alpha)(t - \beta)\)와 직선으로 둘러싸인 넓이는 \(\dfrac{a}{6}(\beta - \alpha)^3\)이며, 꼭짓점으로부터의 높이 \(h = \dfrac{a}{4}(\beta - \alpha)^2\)에 대하여 \(h^{3/2}\)에 비례합니다.
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.4 탐구 3945 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\mathrm{F}(3, 0),\; x = -3,\; \mathrm{P}(3, 6)\) | [5-2] 접선 \(y = x + 3,\; \mathrm{T}(-3, 0),\; \overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FT}} = 6\) | [5-3] \(\overline{\mathrm{AB}} = 16\,\mathrm{cm}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(4p = 12 \implies p = 3\)이므로 초점은 \(\mathrm{F}(3, 0)\), 준선은 \(x = -3\)이고 \(\overline{\mathrm{PF}} = x_0 + 3 = 6\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(x_0 = 3,\; y_0 = \sqrt{36} = 6\)이므로 \(\mathrm{P}(3, 6)\)이다. 접선은 \(6y = 6(x + 3) \implies y = x + 3\)이고 \(x\)절편은 \(\mathrm{T}(-3, 0)\)이다. 따라서 \(\overline{\mathrm{FT}} = 3 - (-3) = 6 = \overline{\mathrm{PF}}\)이므로 \(\triangle \mathrm{FPT}\)는 이등변삼각형이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 초점 현의 성질(또는 준선에 내린 수선의 발과 닮음비 \(1 : 3\))에 의해 \(\overline{\mathrm{AF}} = k,\; \overline{\mathrm{BF}} = 3k\)라 하면 \(\dfrac{1}{\overline{\mathrm{AF}}} + \dfrac{1}{\overline{\mathrm{BF}}} = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{3}\)에서 \(\dfrac{4}{3k} = \dfrac{1}{3} \implies k = 4\)이다. 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4k = 16\,\mathrm{cm}\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 5-1 | • \(\mathrm{F}(3, 0),\; x = -3\) 산출 +3점 / \(\mathrm{P}(3, 6)\) 도출 +3점 |
| 문항 5-2 | • 접선 \(y = x + 3\) 및 \(\mathrm{T}(-3, 0)\) 도출 +4점 / \(\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FT}} = 6\) 증명 +3점 |
| 문항 5-3 | • 준선 수선 사다리꼴 닮음 또는 초점 현 관계식 수립 +4점 / \(\overline{\mathrm{AB}} = 16\,\mathrm{cm}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 준선에 내린 수선의 발을 이용한 직각삼각형 닮음에서 \(\overline{\mathrm{BF}} - \overline{\mathrm{AF}} = (3k + k)\cos\theta \implies \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(k = \dfrac{2p}{1 + \cos\theta} = 4,\; 3k = \dfrac{2p}{1 - \cos\theta} = 12\)로도 손쉽게 유도됩니다.