🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.1 탐구 3941 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]
[제시문 (가)] 분자진단 검사인 실시간 중합효소연쇄반응(RT-qPCR)에서 초기 표적 DNA 복제수가 \(N_0\)이고 \(1\)사이클당 증폭 효율이 \(E\) (\(0 < E \le 1\))일 때, \(n\)사이클 후의 DNA 복제수 \(N_n\)은 \(N_n = N_0 (1 + E)^n\)으로 주어진다. 형광 검출 임계 복제수를 \(N_{\mathrm{th}}\)라 할 때 \(N_n = N_{\mathrm{th}}\)에 도달하는 사이클 수 \(n = C_t\)를 역치 사이클(Cycle threshold)이라 한다.
이상적인 증폭 조건(\(E = 1\), 즉 매 사이클마다 \(2\)배 증폭)에서 형광 검출 임계 복제수가 \(N_{\mathrm{th}} = 10^9\)일 때, 두 환자 검체 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.3\)으로 계산한다.)
[문항 1-1] (6점) 환자 \(\mathrm{A}\)의 초기 바이러스 DNA 복제수가 \(N_0(\mathrm{A}) = 10^3\)일 때, 임계 복제수 \(N_{\mathrm{th}} = 10^9\)에 도달하는 역치 사이클 \(C_t(\mathrm{A})\)를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 환자 \(\mathrm{B}\)의 역치 사이클이 \(C_t(\mathrm{B}) = 15\)로 측정되었을 때, 환자 \(\mathrm{B}\)의 초기 바이러스 DNA 복제수 \(N_0(\mathrm{B})\)는 환자 \(\mathrm{A}\)의 몇 배인지 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 시약 노화로 증폭 효율이 \(E = 0.6\) (\(1 + E = 1.6\))으로 낮아졌을 때, 초기 복제수 \(N_0(\mathrm{A}) = 10^3\)인 검체가 임계 복제수 \(10^9\)에 도달하는 역치 사이클 \(C_t'\)를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.34 탐구 3942 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 약물 리간드 농도가 \(x \ge 0\;(\mathrm{nM})\)일 때 세포막 수용체의 결합 포화도 \(Y(x)\) (\(0 \le Y(x) < 1\))는 힐 계수(협동성 지수) \(n \in \mathbb{N}\)과 해리 상수 \(K > 0\)에 대하여 힐 방정식(Hill equation) \(Y(x) = \dfrac{x^n}{K + x^n}\)으로 모형화된다.
어떤 표적 항암제의 수용체 결합 포화도 함수 \(Y(x) = \dfrac{x^n}{K + x^n}\) (\(x > 0\))가 두 극한 조건 \(\lim_{x \to 0+} \dfrac{Y(x)}{x^2} = \dfrac{1}{16},\; \lim_{x \to \infty} x^n\bigl(1 - Y(x)\bigr) = K\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 첫 번째 극한 조건 \(\lim_{x \to 0+} \dfrac{x^{n-2}}{K + x^n} = \dfrac{1}{16}\)이 \(0\)이 아닌 유한한 값으로 수렴하기 위한 자연수 \(n\)과 상수 \(K\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 수용체 결합 포화도가 \(50\%\) (\(Y(x) = \dfrac{1}{2}\))가 되는 약물 농도 \(x_{50}\)(\(\mathrm{EC}_{50}\))과 \(80\%\) (\(Y(x) = \dfrac{4}{5}\))가 되는 약물 농도 \(x_{80}\)을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 결합비 \(R(x) = \dfrac{Y(x)}{1 - Y(x)}\)를 \(x\)에 대한 단항식으로 나타내고, \(\dfrac{\ln R(8) - \ln R(2)}{\ln 8 - \ln 2}\) (또는 \(\dfrac{\log_2 R(8) - \log_2 R(2)}{\log_2 8 - \log_2 2}\))의 값이 힐 계수 \(n\)과 같음을 증명하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.37 탐구 3943 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 호흡생리학에서 이물질 배출을 위한 기침 반사가 일어날 때, 정상 반지름이 \(r_0\)인 기관지가 반지름 \(r\) (\(\dfrac{1}{2}r_0 \le r \le r_0\))로 수축하면 기관지 내부를 통과하는 공기의 유속 \(v(r)\)는 압력차와 단면적의 곱의 관계에 의해 \(v(r) = k\,r^2(r_0 - r)\) (단, \(k > 0\)는 상수)로 모형화된다.
정상 기관지 반지름이 \(r_0 = 6\;(\mathrm{mm})\)이고 비례상수가 \(k = 1\)일 때, 수축 반지름 \(r \in [3, 6]\)에 대한 기류 유속 함수 \(v(r) = r^2(6 - r) = 6r^2 - r^3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 도함수 \(v'(r)\)를 구하고, 닫힌구간 \([3, 6]\)에서 기류 유속 \(v(r)\)가 최대가 되는 기관지 반지름 \(r^*\)와 최대 유속 \(v_{\max}\)를 각각 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 최대 유속이 발생하는 반지름 \(r^*\)와 정상 반지름 \(r_0\)의 비율 \(\dfrac{r^*}{r_0}\)가 \(r_0\)의 값에 관계없이 항상 \(\dfrac{2}{3}\)가 됨을 일반적인 \(v(r) = k\,r^2(r_0 - r)\)을 미분하여 증명하시오.
[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 \([3, 6]\)에서 유속의 변화율 크기 \(|v'(r)|\)의 최댓값과 그때의 반지름 \(r\)를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.40 탐구 3944 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 당뇨병 진단을 위한 경구 포도당 부하 검사(OGTT)에서 공복 기저 혈당을 \(G_0\;(\mathrm{mg/dL})\), 포도당 섭취 \(t\)시간 후의 혈당 함수를 \(G(t)\;(\mathrm{mg/dL})\)라 할 때, 기저 혈당 직선 \(y = G_0\) 위로 상승한 증분 혈당 곡선하 면적(\(\mathrm{iAUC}\))은 \(G(t) \ge G_0\)인 구간에서 \(\mathrm{iAUC} = \int_{t_1}^{t_2} \bigl(G(t) - G_0\bigr)\,dt\)로 정의된다.
포도당 \(75\,\mathrm{g}\)을 섭취한 피검자의 \(0 \le t \le 3\) (단위: 시간) 동안의 혈당 함수가 공복 기저 혈당 \(G_0 = 90\;(\mathrm{mg/dL})\)에 대하여 \(G(t) = 90 + 30t(3 - t) = -30t^2 + 90t + 90\)으로 측정되었을 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 포도당 섭취 후 최고 혈당에 도달하는 시각 \(t_{\max}\)와 최고 혈당치 \(G_{\max}\), 그리고 \(0 \le t \le 3\)에서의 증분 혈당 면적 \(\mathrm{iAUC} = \int_{0}^{3} \bigl(G(t) - 90\bigr)\,dt\)를 각각 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 식후 고혈당 주의 기준선인 혈당 \(150\;(\mathrm{mg/dL})\) 이상을 유지하는 시간 구간 \([t_1, t_2]\)를 구하고, 곡선 \(y = G(t)\)와 직선 \(y = 150\)으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 직선 \(y = m\) (\(90 < m < G_{\max}\))이 곡선 \(y = G(t)\)와 직선 \(y = 90\)으로 둘러싸인 영역의 넓이(\(\mathrm{iAUC}\))를 이등분할 때, \((G_{\max} - m)^3\)의 값을 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅰ. 이차곡선
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.4 탐구 3945 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 초점 \(\mathrm{F}(p, 0)\)과 준선 \(x = -p\) (\(p > 0\))로부터의 거리가 같은 점들의 자취인 포물선 \(y^2 = 4px\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)에서 \(\overline{\mathrm{PF}} = x_0 + p\)가 성립하며, 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)에서의 접선의 방정식은 \(y_0 y = 2p(x + x_0)\)이다.
치과 영상진단용 파노라마 방사선 장치에서 상악 치열궁의 중심 단면이 포물선 \(C : y^2 = 12x\) (단위: \(\mathrm{cm}\))로 모형화되어 있다. 초점 \(\mathrm{F}\)에 회전 중심 센서를 둘 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 포물선 \(C\)의 초점 \(\mathrm{F}\)의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 포물선 위의 치아 지점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\) (\(y_0 > 0\))에서 초점 \(\mathrm{F}\)까지의 거리가 \(\overline{\mathrm{PF}} = 6\,\mathrm{cm}\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) [문항 5-1]의 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l\)이 \(x\)축과 만나는 점 \(\mathrm{T}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{FPT}\)가 이등변삼각형(\(\overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FT}}\))임을 증명하시오.
[문항 5-3] (7점) 초점 \(\mathrm{F}\)를 지나는 직선이 포물선 \(C\)와 만나는 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{BF}} = 1 : 3\)일 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.