[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.1 탐구 3931 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(\alpha = 240,\; a_n = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)\) | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] 부하 용량 \(L = 240\,\mathrm{mg}\), 누적 투여 총량 \(1320\,\mathrm{mg}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 특성방정식 \(\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha + 120\)에서 \(\alpha = 240\)을 구하여 등비수열 \(\{a_n - 240\}\)으로 변환한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(a_n - 240 = (a_1 - 240)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = -120\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = -\dfrac{240}{2^n}\)이므로 \(a_n = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)\)이다. (i) \(n=1\)일 때 \(a_1 = 240(1 - 1/2) = 120\) 성립. (ii) \(n=k\)일 때 성립 가정 시 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{2}\cdot 240\left(1 - \dfrac{1}{2^k}\right) + 120 = 240 - \dfrac{240}{2^{k+1}} = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^{k+1}}\right)\)이므로 \(n=k+1\)에서도 성립한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 첫 투여 직후 \(a_1 = L = 240\)이면 \(a_2 = \dfrac{1}{2}(240) + 120 = 240\)으로 모든 \(n \ge 1\)에서 \(a_n = 240\)이 유지된다. 따라서 부하 용량은 \(L = 240\,\mathrm{mg}\)이고, \(10\)회까지 투여한 약물의 총량은 \(240 + 120 \times 9 = 1320\,\mathrm{mg}\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 1-1 | • \(\alpha = 240\) 도출 +3점 / 일반항 \(a_n = 240(1 - 2^{-n})\) 산출 +3점 |
| 문항 1-2 | • 초기조건 \(n=1\) 확인 +2점 / \(n=k \implies n=k+1\) 점화식 대입 유도 +5점 |
| 문항 1-3 | • 부하 용량 \(L = 240\,\mathrm{mg}\) 도출 +4점 / 누적 투여 총량 \(1320\,\mathrm{mg}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 임상 약리학에서 반감기마다 유지 용량 \(D\)를 투여할 때 초기 부하 용량 \(L = 2D\)를 투여하면 첫 투여 직후부터 지체 없이 항정 상태(\(2D\))에 도달한다는 원리를 점화식 불변점(\(a_1 = \alpha\))으로 설명한 문항입니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 3932 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(a = 2\sqrt{15}\,\mathrm{cm},\; S = 7\sqrt{6}\,(\mathrm{cm^2})\) | [2-2] \(R = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}\,\mathrm{cm},\; r = \dfrac{7\sqrt{6}}{6 + \sqrt{15}}\,\mathrm{cm}\) | [2-3] \(\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{22}\,\mathrm{cm}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\cos A = \dfrac{1}{5}\)에서 \(\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{1}{25}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\)를 구하고 코사인법칙을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(a^2 = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\dfrac{1}{5} = 74 - 14 = 60 \implies a = 2\sqrt{15}\)이고, \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 7\sqrt{6}\)이다. 외접원 반지름은 \(R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{2\sqrt{15}}{4\sqrt{6}/5} = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}\)이고, 내접원 반지름은 \(r = \dfrac{2S}{a+b+c} = \dfrac{14\sqrt{6}}{12 + 2\sqrt{15}} = \dfrac{7\sqrt{6}}{6 + \sqrt{15}} = \dfrac{7\sqrt{6}(6 - \sqrt{15})}{21} = 2\sqrt{6} - \sqrt{10}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 파푸스 중선정리(또는 \(\triangle \mathrm{ABM}, \triangle \mathrm{ACM}\)의 코사인법칙 연립)에 의해 \(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 = 2(\overline{\mathrm{AM}}^2 + \overline{\mathrm{BM}}^2)\)이고 \(\overline{\mathrm{BM}}^2 = \dfrac{a^2}{4} = 15\)이므로 \(25 + 49 = 2(\overline{\mathrm{AM}}^2 + 15) \implies \overline{\mathrm{AM}}^2 = 37 - 15 = 22 \implies \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{22}\,\mathrm{cm}\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 2-1 | • \(a = 2\sqrt{15}\) 산출 +3점 / \(\sin A = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\) 및 \(S = 7\sqrt{6}\) 도출 +3점 |
| 문항 2-2 | • 사인법칙으로 \(R = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}\) 산출 +4점 / \(r = 2\sqrt{6} - \sqrt{10}\) 도출 +3점 |
| 문항 2-3 | • 중선정리 또는 코사인법칙 식 수립 +4점 / \(\overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{22}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 삼각형의 중선 길이는 \(\angle \mathrm{AMB} + \angle \mathrm{AMC} = \pi\)이므로 양쪽 삼각형에 코사인법칙을 적용하여 더하면 코사인 항이 소거되어 곧바로 도출됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 3933 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(|v'(2)| = 40\), \(r\)절편 \(\dfrac{5}{2}\) | [3-2] \(c = 1\,\mathrm{mm}\) | [3-3] \(\dfrac{1}{4}\)배로 감소, 순간 변화율 \(640\pi\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(v'(r) = -20r\) 및 \(Q'(r) = 40\pi\left(2r - \dfrac{1}{2}r^3\right) = 20\pi r(4 - r^2) = 2\pi r\,v(r)\)을 도출한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(|v'(2)| = |-40| = 40\)이고, \((1, 30)\)에서의 접선은 \(y = -20(r - 1) + 30 = -20r + 50\)이므로 \(r\)절편은 \(\dfrac{5}{2}\)이다. 또한 \(\dfrac{Q(2) - Q(0)}{2 - 0} = \dfrac{80\pi - 0}{2} = 40\pi = Q'(c) = 20\pi(4c - c^3)\)에서 \(c^3 - 4c + 2 = 0\)이 아니라 \(Q(2) = 40\pi(4 - 2) = 80\pi\)이므로 \(4c - c^3 = 2\), 즉 \(c \in (0, 2)\)를 구한다. 특히 \(v(r)\)에 대한 \([0, 2]\) 평균값 정리는 \(v'(c_1) = \dfrac{-40}{2} = -20 \implies c_1 = 1\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(Q_{\mathrm{total}}(R) = 20\pi R^4\)에서 \(\dfrac{Q_{\mathrm{total}}(\sqrt{2})}{Q_{\mathrm{total}}(2)} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{4}\)배가 되며, \(\dfrac{dQ_{\mathrm{total}}}{dR} = 80\pi R^3\)에 \(R = 2\)를 대입하면 \(640\pi\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 3-1 | • \(|v'(2)| = 40\) 산출 +3점 / 접선 \(y = -20r + 50\) 및 \(r\)절편 \(\dfrac{5}{2}\) 도출 +3점 |
| 문항 3-2 | • \(Q(2) = 80\pi\) 및 평균변화율 \(40\pi\) 도출 +4점 / \(Q'(c) = 40\pi \iff c^3 - 4c + 2 = 0\) (\(v(r)\) 기준 \(c=1\)) 도출 +3점 |
| 문항 3-3 | • 유량 비 \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{4}\) 산출 +3점 / 미분계수 \(80\pi(2)^3 = 640\pi\) 도출 +4점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 포아죄유 법칙에서 총 혈류량은 혈관 반지름의 네제곱(\(R^4\))에 비례하므로 반지름이 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)배로 줄어들면 혈류량은 \(\dfrac{1}{4}\)로 급감합니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.39 탐구 3934 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-06]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(\int_{0}^{10} c(t)\,dt = 10,\; \Phi = 0.5\,\mathrm{L/s},\; \mathrm{CO} = 30\,\mathrm{L/min}\) | [4-2] \(\mathrm{MTT} = 5\)초 | [4-3] \(\mathrm{CBV} = 2.5\,\mathrm{L},\; 50\%\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 이차함수 정적분 공식 \(\int_{0}^{10} \dfrac{3}{50}t(10-t)\,dt = \dfrac{3}{50}\cdot\dfrac{10^3}{6}\)을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\int_{0}^{10} c(t)\,dt = \dfrac{3}{50}\cdot\dfrac{1000}{6} = 10\,(\mathrm{mg\cdot s/L})\)이므로 \(\Phi = \dfrac{5}{10} = 0.5\,\mathrm{L/s}\)이고 분당 심박출량은 \(60 \times 0.5 = 30\,\mathrm{L/min}\)(고박출 운동 상태)이다. 또한 \(\int_{0}^{10} t\,c(t)\,dt = \dfrac{3}{50}\int_{0}^{10} (10t^2 - t^3)\,dt = \dfrac{3}{50}\left(\dfrac{10000}{3} - \dfrac{10000}{4}\right) = 50\)이므로 \(\mathrm{MTT} = \dfrac{50}{10} = 5\)초이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 중심 혈액량은 \(\mathrm{CBV} = 0.5 \times 5 = 2.5\,\mathrm{L}\)이며, \(c(t)\)가 직선 \(t = 5\)에 대하여 대칭이므로 \(\int_{0}^{5} c(t)\,dt = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{10} c(t)\,dt = 5\)가 되어 시각 \(t = 5\)초까지 정확히 \(50\%\)의 지시약이 통과한다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 4-1 | • 정적분 값 \(10\) 산출 +3점 / \(\Phi = 0.5\,\mathrm{L/s},\; \mathrm{CO} = 30\,\mathrm{L/min}\) 도출 +3점 |
| 문항 4-2 | • \(\int_{0}^{10} t\,c(t)\,dt = 50\) 계산 또는 \(t=5\) 대칭성 논증 +4점 / \(\mathrm{MTT} = 5\)초 도출 +3점 |
| 문항 4-3 | • \(\mathrm{CBV} = 2.5\,\mathrm{L}\) 산출 +4점 / 대칭성에 의한 \(50\%\) 통과율 도출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: \(c(10-t) = c(t)\)인 대칭 분포에서는 \((t - 5)c(t)\)가 \(t = 5\)에 대하여 기함수적 대칭을 이루므로 \(\int_{0}^{10} (t-5)c(t)\,dt = 0 \implies \mathrm{MTT} = 5\)초임을 즉시 확인할 수 있습니다.
[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.3 탐구 3935 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\overline{\mathrm{OC}} = 3\,\mathrm{cm},\; d_{\min} = 7\,\mathrm{cm},\; \mathrm{P}\left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{20}{3}, \dfrac{20}{3}\right)\) | [5-2] \(\overline{\mathrm{AT}} = \sqrt{61}\,\mathrm{cm}\) | [5-3] \(92\pi\,(\mathrm{cm^2})\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\)이며, 최단 진입점 \(\mathrm{P}\)는 반직선 \(\mathrm{OC}\)와 구면 \(S_1\)의 교점이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(d_{\min} = R - \overline{\mathrm{OC}} = 10 - 3 = 7\,\mathrm{cm}\)이고, \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{10}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{20}{3}, \dfrac{20}{3}\right)\)이다. 또한 \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = (6-1)^2 + (8-2)^2 + (0-2)^2 = 25 + 36 + 4 = 65\)이고 \(\angle \mathrm{ATC} = 90^\circ\)이므로 \(\overline{\mathrm{AT}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AC}}^2 - r^2} = \sqrt{65 - 4} = \sqrt{61}\,\mathrm{cm}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 평면 \(z = 2\)로 자른 \(S_1\)의 단면 원은 \(x^2 + y^2 = 100 - 4 = 96\)이므로 넓이가 \(96\pi\)이고, \(S_2\)의 중심 \(\mathrm{C}(1, 2, 2)\)는 평면 \(z = 2\) 위에 있으므로 단면 원은 반지름 \(r = 2\)인 대원(넓이 \(4\pi\))이다. 따라서 넓이의 차는 \(96\pi - 4\pi = 92\pi\,(\mathrm{cm^2})\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 5-1 | • \(\overline{\mathrm{OC}} = 3\) 및 \(d_{\min} = 7\) 산출 +3점 / \(\mathrm{P}\left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{20}{3}, \dfrac{20}{3}\right)\) 도출 +3점 |
| 문항 5-2 | • \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 65\) 계산 +3점 / 피타고라스 정리로 \(\overline{\mathrm{AT}} = \sqrt{61}\) 도출 +4점 |
| 문항 5-3 | • 두 단면 원의 넓이 \(96\pi,\; 4\pi\) 각각 산출 +4점 / 넓이 차 \(92\pi\) 도출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 구면 위의 점에서 종양 중심까지의 최단 경로는 구의 중심 \(\mathrm{O}\)와 종양 중심 \(\mathrm{C}\)를 잇는 직선 위에 놓이므로 방향 단위벡터 \(\dfrac{1}{3}(1, 2, 2)\)에 구의 반지름 \(10\)을 곱하여 즉시 구할 수 있습니다.