🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅲ. 수열
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.1 탐구 3931 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
[제시문 (가)] 환자에게 매 \(8\)시간마다 일정 용량 \(D\;(\mathrm{mg})\)의 약물을 반복 투여할 때, 투여 간격(\(8\)시간) 동안 체내 약물의 절반이 대사·배설된다면 \(n\)번째 투여 직후의 체내 총 약물량 \(a_n\;(\mathrm{mg})\)은 귀납적 관계식 \(a_1 = D,\; a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + D\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))를 만족시킨다.
매 \(8\)시간마다 \(D = 120\;(\mathrm{mg})\)의 심혈관 약물을 반복 투여할 때, \(n\)번째 투여 직후의 체내 약물량 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 120,\; a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 120\)을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 상수 \(\alpha\)에 대하여 \(a_{n+1} - \alpha = \dfrac{1}{2}(a_n - \alpha)\)가 성립하도록 하는 \(\alpha\)(항정 상태 최대 약물량)를 구하고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) [문항 1-1]에서 구한 일반항 \(a_n = 240\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) 첫 투여 직후부터 항정 상태 약물량(\(240\,\mathrm{mg}\))에 즉시 도달시키기 위해 첫 번째 투여만 고용량(부하 용량, Loading Dose) \(L\;(\mathrm{mg})\)을 투여하고 \(2\)회차부터 \(120\,\mathrm{mg}\)씩 유지 투여할 때, 모든 \(n \ge 1\)에서 \(a_n = 240\)이 되도록 하는 첫 부하 용량 \(L\)과 \(1\)회~10회 누적 투여 총량을 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 3932 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 세 변의 길이를 \(a, b, c\), 외접원의 반지름을 \(R\), 내접원의 반지름을 \(r\)라 할 때, 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)\)가 성립한다.
치열 교정용 와이어가 고정된 세 브라켓 지점 \(\mathrm{A}\)(중절치), \(\mathrm{B}\)(좌측 제1대구치), \(\mathrm{C}\)(우측 제1대구치)가 이루는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{AC}} = 7\,\mathrm{cm},\; \cos A = \dfrac{1}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 양측 대구치 사이의 폭 \(\overline{\mathrm{BC}} = a\)와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 세 브라켓 지점을 지나는 이상적인 치열궁 원(삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원)의 반지름 \(R\)와 내접원의 반지름 \(r\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)을 연결한 정중선(Median)의 길이 \(\overline{\mathrm{AM}}\)을 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 3933 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
[제시문 (가)] 반지름이 \(R\)인 원통형 동맥 혈관 내부에서 혈류 층류(포아죄유 흐름)가 형성될 때, 혈관 중심축으로부터의 거리 \(r \in [0, R]\)에서의 혈류 유속 \(v(r)\)와 반지름 \(r\)까지의 누적 유량 함수 \(Q(r)\)는 각각 \(v(r) = v_0\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right),\; Q(r) = \pi v_0\left(r^2 - \dfrac{r^4}{2R^2}\right)\)로 주어진다.
반지름이 \(R = 2\;(\mathrm{mm})\)이고 중심 최고 유속이 \(v_0 = 40\;(\mathrm{cm/s})\)인 동맥 혈관에서 \(v(r) = 40 - 10r^2\), 누적 유량 함수 \(Q(r) = 40\pi\left(r^2 - \dfrac{1}{8}r^4\right)\) (\(0 \le r \le 2\))일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 혈관 내벽(\(r = 2\))에서의 유속 변화율(전단 속도 크기) \(|v'(2)|\)를 구하고, 곡선 \(y = v(r)\) 위의 점 \((1, v(1))\)에서의 접선의 \(r\)절편을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 누적 유량 함수 \(Q(r)\)에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 \(c \in (0, 2)\)의 값을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 동맥경화로 혈관 반지름이 \(R = 2\)에서 \(R_1 = \sqrt{2}\)로 감소할 때(단, 압력 구배가 일정하여 전체 혈류량 \(Q_{\mathrm{total}} = 20\pi R^4\)는 반지름의 네제곱에 비례함), 전체 혈류량은 원래의 몇 분의 몇으로 감소하는지 구하고 \(R = 2\)에서의 순간 변화율 \(\left.\dfrac{dQ_{\mathrm{total}}}{dR}\right|_{R=2}\)를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.39 탐구 3934 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-06]
[제시문 (가)] 심장학의 스튜어트-해밀턴(Stewart-Hamilton) 원리에 따르면, 정맥에 총량 \(M\;(\mathrm{mg})\)의 지시약을 일시 주입한 후 동맥에서 시각 \(t \in [0, T]\)(초)에 측정한 지시약 농도가 \(c(t)\;(\mathrm{mg/L})\)일 때, 초당 심박출량 \(\Phi\;(\mathrm{L/s})\)는 \(\Phi = \dfrac{M}{\int_{0}^{T} c(t)\,dt}\)로 주어지며, 지시약 분자의 평균 통과 시각(\(\mathrm{MTT}\))은 \(\mathrm{MTT} = \dfrac{\int_{0}^{T} t\,c(t)\,dt}{\int_{0}^{T} c(t)\,dt}\)이다.
환자에게 \(M = 5\;(\mathrm{mg})\)의 지시약을 주입한 후 \(0 \le t \le 10\)(초) 동안 동맥에서 측정된 농도 곡선이 \(c(t) = \dfrac{3}{50}t(10 - t)\;(\mathrm{mg/L})\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정적분 \(\int_{0}^{10} c(t)\,dt\)의 값을 구하고, 이 환자의 초당 심박출량 \(\Phi\;(\mathrm{L/s})\)와 분당 심박출량 \(\mathrm{CO} = 60\Phi\;(\mathrm{L/min})\)를 각각 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 지시약의 평균 통과 시각 \(\mathrm{MTT} = \dfrac{\int_{0}^{10} t\,c(t)\,dt}{\int_{0}^{10} c(t)\,dt}\)를 정적분 계산 또는 대칭성을 이용하여 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 심폐 순환계 내부의 중심 혈액량(\(\mathrm{CBV}\), Central Blood Volume)이 \(\mathrm{CBV} = \Phi \times \mathrm{MTT}\;(\mathrm{L})\)로 정의될 때, \(\mathrm{CBV}\)를 구하고 시각 \(t = \mathrm{MTT}\)까지 통과한 지시약의 양이 전체 주입량 \(M = 5\,\mathrm{mg}\)의 몇 \(\%\)인지 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
[출처: 비상 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.3 탐구 3935 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
[제시문 (가)] 공간좌표에서 중심이 \(\mathrm{C}(a, b, c)\)이고 반지름이 \(R\)인 구의 방정식은 \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\)이며, 구 밖의 점 또는 구 내부의 점에서 구면 위의 점까지의 최단·최장 거리는 구의 중심 \(\mathrm{C}\)를 지나는 직선 위에서 달성된다.
뇌종양 방사선 수술을 위한 정위 프레임 공간좌표계(단위: \(\mathrm{cm}\))에서 두개골 외피를 원점 \(\mathrm{O}(0, 0, 0)\)가 중심이고 반지름이 \(R = 10\)인 구면 \(S_1 : x^2 + y^2 + z^2 = 100\)으로, 구형 종양 병소를 점 \(\mathrm{C}(1, 2, 2)\)가 중심이고 반지름이 \(r = 2\)인 구 \(S_2 : (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 4\)로 모형화할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 두 구의 중심 사이의 거리 \(\overline{\mathrm{OC}}\)를 구하고, 두개골 외피 \(S_1\) 위의 점에서 종양 중심 \(\mathrm{C}\)까지의 최단 거리 \(d_{\min}\)과 그때의 두개골 표면 진입점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 두개골 표면 \(S_1\) 위의 점 \(\mathrm{A}(6, 8, 0)\)에서 출발하여 종양 구 \(S_2\)에 접하는 방사선 빔을 조사할 때, 점 \(\mathrm{A}\)에서 접점 \(\mathrm{T}\)까지의 선분 길이 \(\overline{\mathrm{AT}}\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 평면 \(z = 2\)로 두개골 구 \(S_1\)과 종양 구 \(S_2\)를 동시에 절단한 MRI 단면에서, 두 단면 원의 넓이의 차를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.