[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 3921 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(\mathrm{pH} = 7.4\), \(0.395\)배(\(\dfrac{1}{2\times 1.58} = 10^{-0.4}\)배) | [1-2] \(18.96 \le y \le 30.24\;(\mathrm{mM})\) | [1-3] \(\mathrm{pH} = 7.1,\; y_1 = 48\;(\mathrm{mM})\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{24}{1.2} = 20\)이므로 \(\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10} 20 = 6.1 + 1 + \log_{10} 2\)를 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\mathrm{pH} = 7.4\)이고 \(\dfrac{[\mathrm{H^+}]}{10^{-7}} = 10^{-0.4} = (10^{-0.2})^2\) 또는 \(10^{-0.4} = \dfrac{10^{0.2}}{10^{0.6}} = \dfrac{1.58}{4} = 0.395\)배이다. 또한 \(7.3 \le 6.1 + \log_{10}\left(\dfrac{y}{1.2}\right) \le 7.5 \iff 1.2 \le \log_{10}\left(\dfrac{y}{1.2}\right) \le 1.4\)에서 \(10^{1.2} = 10\times 1.58 = 15.8\)이고 \(10^{1.4} = 10^{2 - 0.6} = \dfrac{100}{4} = 25\)(단, \(\log_{10} 2 = 0.3\) 기준 \(10^{0.3}=2 \implies 10^{0.6}=4 \implies 10^{1.4} = 25\))이므로 \(1.2\times 15.8 = 18.96 \le y \le 1.2\times 25 = 30.0\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(x_1 = 2.4,\; y = 24\)이면 \(\dfrac{y}{x_1} = 10\)이므로 \(\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10} 10 = 7.1\)로 떨어지며, 다시 \(\mathrm{pH} = 7.4\)(\(y_1/x_1 = 20\))가 되려면 \(y_1 = 20 \times 2.4 = 48\;(\mathrm{mM})\)이어야 한다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 1-1 | • \(\mathrm{pH} = 7.4\) 산출 +3점 / \(10^{-0.4} = \dfrac{1.58}{4} = 0.395\)배 도출 +3점 |
| 문항 1-2 | • 로그 부등식 \(1.2 \le \log_{10}(y/1.2) \le 1.4\) 수립 +4점 / \(18.96 \le y \le 30\) 도출 +3점 |
| 문항 1-3 | • 산증 \(\mathrm{pH} = 7.1\) 도출 +3점 / 보상 목표 농도 \(y_1 = 48\;(\mathrm{mM})\) 산출 +4점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: \(\log_{10} 2 = 0.3\)이 주어졌을 때 \(10^{0.3} = 2\)이므로 \(10^{1.4} = 10^{2 - 0.6} = \dfrac{100}{(10^{0.3})^2} = \dfrac{100}{4} = 25\)로 정확히 환산할 수 있습니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 탐구 3922 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(A = 0.3,\; B = 2.7\), \(1\)회 호흡량 \(0.6\,\mathrm{L}\), 분당 환기량 \(9.0\,\mathrm{L/min}\) | [2-2] \(\dfrac{4}{3}\)초 | [2-3] \(16\)초
[1줄 공식선언 (30%)]: \(B - A = 2.4,\; B + A = 3.0\)을 연립하고 주기 \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4\)초를 구한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(A = 0.3,\; B = 2.7\)이므로 \(1\)회 호흡량은 \(2A = 0.6\,\mathrm{L}\)이고 분당 호흡수는 \(\dfrac{60}{4} = 15\)회이므로 분당 총 환기량은 \(0.6 \times 15 = 9.0\,\mathrm{L/min}\)이다. \(V(t) \ge 2.85 \iff -0.3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) + 2.7 \ge 2.85 \iff \cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) \le -\dfrac{1}{2}\)에서 \(\dfrac{2\pi}{3} \le \dfrac{\pi}{2}t \le \dfrac{4\pi}{3} \iff \dfrac{4}{3} \le t \le \dfrac{8}{3}\)이므로 구간의 길이는 \(\dfrac{4}{3}\)초이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(V(t)\)의 그래프는 첫 주기에서 직선 \(t = 2\)에 대칭이고 둘째 주기에서 직선 \(t = 6\)에 대칭이므로, \(t_1 + t_2 = 4,\; t_3 + t_4 = 12\)가 되어 네 근의 합은 \(4 + 12 = 16\)초이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 2-1 | • \(A=0.3, B=2.7\) 및 \(1\)회 호흡량 \(0.6\,\mathrm{L}\) 산출 +3점 / 분당 환기량 \(9.0\,\mathrm{L/min}\) 도출 +3점 |
| 문항 2-2 | • \(\cos(\pi t/2) \le -1/2\) 변환 +3점 / \(\dfrac{4}{3} \le t \le \dfrac{8}{3}\) 및 길이 \(\dfrac{4}{3}\)초 도출 +4점 |
| 문항 2-3 | • 주기별 대칭축 \(t = 2, 6\) 명시 +4점 / 네 근의 합 \(16\)초 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 근의 개별 값을 구하지 않더라도 코사인 곡선의 대칭축 \(t = 2\)와 \(t = 6\)을 활용하면 \(t_1+t_2=2\times 2=4,\; t_3+t_4=2\times 6=12\)로 즉시 합을 구할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 탐구 3923 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(k = 10\) | [3-2] \(a = 4,\; b = -2\) | [3-3] \(I(1) = 3 > 0,\; I(3) = -5 < 0\) 및 닫힌구간 \([1, 3]\) 연속성에 의해 실근 존재
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x > 3\)에서 \(\dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \dfrac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = x + 2\)로 약분하여 우극한을 계산한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\lim_{x \to 3+} g(x) = (3 + 2) + 5 = 10\)이므로 \(k = 10\)이다. 또한 \(\lim_{x \to 1-} g(x) = 2 = a + b\)이고 \(\lim_{x \to 3-} g(x) = 3a + b = 10\)이므로 연립하면 \(2a = 8 \implies a = 4,\; b = -2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 \(g(x) = 4x - 2\)이므로 \(I(x) = -2x^2 + 4x + 1\)은 다항함수로서 \([1, 3]\)에서 연속이다. \(I(1) = -2 + 4 + 1 = 3 > 0\)이고 \(I(3) = -18 + 12 + 1 = -5 < 0\)으로 \(I(1)I(3) < 0\)이므로, 사잇값 정리에 의해 \((1, 3)\)에 \(I(c) = 0\)인 평형 전위 \(c\)가 적어도 하나 존재한다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 3-1 | • 인수분해 약분 \(\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3} = x+2\) +3점 / \(k = 10\) 도출 +3점 |
| 문항 3-2 | • \(a + b = 2,\; 3a + b = 10\) 수립 +4점 / \(a = 4,\; b = -2\) 산출 +3점 |
| 문항 3-3 | • \([1, 3]\)에서 \(I(x)\)의 연속성 명시 +3점 / \(I(1)=3>0,\; I(3)=-5<0\) 확인 후 사잇값 정리 결론 +4점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 사잇값 정리 논증에서 \(I(1)I(3) < 0\)만 적고 '닫힌구간 \([1, 3]\)에서 \(I(x)\)가 연속이다'라는 전제 조건을 누락하면 부분점수가 감점됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.38 탐구 3924 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 64,\; \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64,\; F = 1\;(100\%)\) | [4-2] \(t^* = \dfrac{4}{3}\)시간, \(S_1 = \dfrac{256}{9}\) | [4-3] \(S_2 = \dfrac{256}{9},\; S_1 - S_2 = 0\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = \int_{0}^{4} 3(4-t)^2\,dt = \Bigl[-(4-t)^3\Bigr]_{0}^{4}\) 및 이차함수 넓이 공식 \(\int_{0}^{4} 6t(4-t)\,dt = \dfrac{6\cdot 4^3}{6}\)을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 64,\; \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64\)이므로 생체이용률은 \(F = \dfrac{64}{64} = 1\;(100\%)\)이다. \(3(4-t)^2 = 6t(4-t)\)에서 \(t \in (0, 4)\)이면 \(3(4-t) = 6t \implies t^* = \dfrac{4}{3}\)이다. \(C_{\mathrm{IV}}(t) - C_{\mathrm{PO}}(t) = 3(4-t)(4-3t) = 9t^2 - 48t + 48\)이므로 \(S_1 = \int_{0}^{4/3} (9t^2 - 48t + 48)\,dt = \Bigl[3t^3 - 24t^2 + 48t\Bigr]_{0}^{4/3} = \dfrac{64}{9} - \dfrac{128}{3} + 64 = \dfrac{256}{9}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\int_{0}^{4} \bigl(C_{\mathrm{IV}}(t) - C_{\mathrm{PO}}(t)\bigr)\,dt = S_1 - S_2\)이고 동시에 \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} - \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64 - 64 = 0\)이므로 \(S_1 - S_2 = 0\), 즉 초기 정맥 주사 우위 면적 \(S_1 = \dfrac{256}{9}\)와 후기 경구 흡수 우위 면적 \(S_2 = \dfrac{256}{9}\)가 정확히 상쇄된다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 4-1 | • \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = 64,\; \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = 64\) 산출 +4점 / \(F = 1\) 도출 +2점 |
| 문항 4-2 | • 교점 \(t^* = \dfrac{4}{3}\) 도출 +3점 / 정적분으로 \(S_1 = \dfrac{256}{9}\) 산출 +4점 |
| 문항 4-3 | • \(S_1 - S_2 = \int_0^4 (C_{\mathrm{IV}} - C_{\mathrm{PO}})\,dt = 0\) 증명 +4점 / \(S_2 = \dfrac{256}{9}\) 결론 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 전체 구간에서의 정적분 차가 \(0\)이면 교점 \(t^* = \dfrac{4}{3}\) 전후의 두 둘러싸인 영역의 넓이 \(S_1, S_2\)가 서로 같다는 등적(Equal-Area) 원리가 성립합니다.
[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.3 탐구 3925 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\vec{E}\cdot\vec{u}_3 = \vec{E}\cdot(\vec{u}_2 - \vec{u}_1) = V_2 - V_1 \implies V_2 = V_1 + V_3,\; V_3 = 0\,\mathrm{mV}\) | [5-2] \(\vec{E} = (\sqrt{3}, -1),\; |\vec{E}| = 2\,\mathrm{mV}\) | [5-3] \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\;(30^\circ)\), 수직 단위벡터 \(\pm\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\vec{u}_3 = \vec{u}_2 - \vec{u}_1\)의 양변에 \(\vec{E}\)를 내적하여 선형성을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(V_3 = \vec{E}\cdot(\vec{u}_2 - \vec{u}_1) = V_2 - V_1\)이므로 \(V_2 = V_1 + V_3\)이고, \(V_3 = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0\)이다. 또한 \(\vec{E} = (x, y)\)라 하면 \(V_1 = x = \sqrt{3}\)이고 \(V_2 = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y = \sqrt{3} \implies y = -1\)이므로 \(\vec{E} = (\sqrt{3}, -1),\; |\vec{E}| = \sqrt{3 + 1} = 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\cos\theta = \dfrac{\vec{E}\cdot\vec{u}_1}{|\vec{E}||\vec{u}_1|} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\;(30^\circ)\)이고, \(\vec{E} = (\sqrt{3}, -1)\)과 내적이 \(0\)이고 크기가 \(1\)인 단위벡터는 \(\pm\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 5-1 | • 내적 분배법칙으로 \(V_2 = V_1 + V_3\) 증명 +4점 / \(V_3 = 0\) 도출 +2점 |
| 문항 5-2 | • 성분 \(\vec{E} = (\sqrt{3}, -1)\) 도출 +4점 / 크기 \(|\vec{E}| = 2\) 산출 +3점 |
| 문항 5-3 | • \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \dfrac{\pi}{6}\) 도출 +4점 / 수직 단위벡터 \(\pm\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: \(V_3 = \vec{E}\cdot\vec{u}_3 = 0\)이라는 사실로부터 곧바로 \(\vec{E} \perp \vec{u}_3 = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)임을 알 수 있어 수직 단위벡터가 \(\pm\vec{u}_3\)가 됨을 즉시 검산할 수 있습니다.