📘 2027학년도 경희대학교(의·약학계열) 의예·한의예·치의예·약학 수리논술 실전모의고사 2회 문제집 (제2권) | 테마: 혈액 완충 pH 방정식 · 폐활량 주기 함수 · 신경 역치 전위 연속성 · 약물 노출 면적(AUC) · 심장 전기축 벡터 내적
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 3921 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-08]
[제시문 (가)] 인체 동맥혈의 수소 이온 농도 지수 \(\mathrm{pH}\)는 중탄산 이온 농도 \([\mathrm{HCO_3^-}]=y\;(\mathrm{mM})\)와 용존 이산화탄소 농도 \([\mathrm{CO_2}]=x\;(\mathrm{mM})\)에 대하여 핸더슨-하셀바흐 식 \(\mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10}\left(\dfrac{y}{x}\right)\)를 따른다.
정상 동맥혈의 기준 상태에서 \(x_0 = 1.2\;(\mathrm{mM}),\; y_0 = 24\;(\mathrm{mM})\)이고, 생명 유지를 위한 정상 동맥혈 \(\mathrm{pH}\)의 허용 범위가 \(7.3 \le \mathrm{pH} \le 7.5\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.3,\; 10^{0.2} = 1.58\)로 계산한다.)
[문항 1-1] (6점) 정상 기준 상태(\(x_0 = 1.2,\; y_0 = 24\))에서의 동맥혈 \(\mathrm{pH}\)를 구하고, 수소 이온 농도 \([\mathrm{H^+}] = 10^{-\mathrm{pH}}\;(\mathrm{M})\)이 \(10^{-7}\;(\mathrm{M})\)의 몇 배인지 소수로 나타내시오.
[문항 1-2] (7점) 용존 이산화탄소 농도가 \(x = 1.2\;(\mathrm{mM})\)로 일정할 때, 동맥혈 \(\mathrm{pH}\)가 정상 허용 범위 \(7.3 \le \mathrm{pH} \le 7.5\)를 유지하기 위한 중탄산 이온 농도 \(y\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 급성 호흡성 산증으로 용존 이산화탄소 농도가 정상치의 \(2\)배(\(x_1 = 2.4\))로 증가하고 신장 보상이 아직 일어나지 않아 \(y = 24\)로 유지될 때의 \(\mathrm{pH}\)를 구하고, 다시 정상 \(\mathrm{pH} = 7.4\)를 회복하기 위해 신장이 도달해야 할 목표 중탄산 이온 농도 \(y_1\)을 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.33 탐구 3922 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
[제시문 (가)] 안정 시 호흡에서 시각 \(t\)(초)에 따른 폐 내부 공기 부피 \(V(t)\;(\mathrm{L})\)를 \(V(t) = A\sin\left(\dfrac{\pi}{2}t - \dfrac{\pi}{2}\right) + B = -A\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) + B\) (\(A > 0\))로 모형화할 때, \(1\)회 호흡량(일회호흡량, Tidal Volume)은 최댓값과 최솟값의 차인 \(2A\)이고 기능적 잔기량은 최솟값 \(B - A\)이다.
어떤 피검자의 안정 시 폐 내부 공기 부피가 최솟값(호기 말 잔기량) \(2.4\;(\mathrm{L})\), 최댓값(흡기 말 부피) \(3.0\;(\mathrm{L})\)를 가지며 위의 함수 \(V(t) = -A\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) + B\) (\(0 \le t \le 4\)초)를 따른다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 상수 \(A, B\)의 값과 이 피검자의 \(1\)회 호흡량(\(2A\)) 및 \(1\)분(\(60\)초)당 총 환기량(\(1\)회 호흡량 \(\times\) 분당 호흡 횟수)을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 한 호흡 주기 \(0 \le t \le 4\)에서 폐 부피 \(V(t)\)가 \(2.85\;(\mathrm{L})\) 이상으로 팽창해 있는 시간 구간의 길이 \(\Delta t\)를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 방정식 \(V(t) = 2.55\)를 만족시키는 첫 두 호흡 주기 \(0 \le t \le 8\)에서의 모든 실근 \(t_1 < t_2 < t_3 < t_4\)의 합 \(\sum_{k=1}^{4} t_k\)를 대칭성을 이용하여 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.32 탐구 3923 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
[제시문 (가)] 함수 \(g(x)\)가 \(x = a\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to a-} g(x) = \lim_{x \to a+} g(x) = g(a)\)이어야 하며, 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 \(h(a)h(b) < 0\)을 만족시키면 열린구간 \((a, b)\)에 \(h(c) = 0\)인 실수 \(c\)가 적어도 하나 존재한다.
신경세포의 정규화된 막전위 변수 \(x\)에 대하여 나트륨 이온 통로의 활성화율 함수 \(g(x)\)가 역치 전위 \(x = 1\)과 피크 전위 \(x = 3\)을 경계로 다음과 같이 정의되어 있다.
\[g(x) = \begin{cases} x^2 + x & (x < 1) \\ ax + b & (1 \le x < 3) \\ \dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} + 5 & (x \ge 3) \end{cases}\quad (x = 3\text{일 때 }g(3) = k)\]
함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 우극한 \(\lim_{x \to 3+} g(x)\)를 계산하여 \(x = 3\)에서의 연속 조건으로부터 상수 \(k = g(3)\)의 값을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) \(x = 1\)과 \(x = 3\)에서의 연속 조건을 연립하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 막전위 복원 전류 함수가 \(I(x) = g(x) - 2x^2 + 3\)일 때, 방정식 \(I(x) = 0\)이 열린구간 \((1, 3)\)에서 적어도 하나의 실근(평형 전위)을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 논증하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.38 탐구 3924 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 약물 투여 후 시각 \(t \in [0, T]\)에서의 혈중 약물 농도가 \(C(t)\)일 때, 체내 총 약물 노출량을 나타내는 곡선하 면적(\(\mathrm{AUC}\), Area Under the Curve)은 정적분 \(\mathrm{AUC} = \int_{0}^{T} C(t)\,dt\)로 정의된다. 동일 용량 투여 시 경구 투여의 절대 생체이용률 \(F\)는 정맥 주사의 \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}}\)에 대한 경구 투여의 \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}}\)의 비율 \(F = \dfrac{\mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}}}{\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}}}\)이다.
동일 용량의 신약을 투여한 후 \(0 \le t \le 4\) (단위: 시간) 동안 측정된 정맥 주사 농도 곡선이 \(C_{\mathrm{IV}}(t) = 3(4 - t)^2\;(\mathrm{\mu g/mL})\), 경구 투여 농도 곡선이 \(C_{\mathrm{PO}}(t) = 6t(4 - t)\;(\mathrm{\mu g/mL})\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 정맥 주사와 경구 투여의 곡선하 면적 \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} = \int_{0}^{4} C_{\mathrm{IV}}(t)\,dt\)와 \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}} = \int_{0}^{4} C_{\mathrm{PO}}(t)\,dt\)를 각각 구하고, 경구 생체이용률 \(F\)를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 열린구간 \((0, 4)\)에서 두 농도 곡선이 만나는 교점의 시각 \(t^*\)를 구하고, \(0 \le t \le t^*\)에서 두 곡선과 \(y\)축(\(t = 0\))으로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 구간 \(t^* \le t \le 4\)에서 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_1 - S_2\)의 값을 구하고 그 값이 \(\mathrm{AUC}_{\mathrm{IV}} - \mathrm{AUC}_{\mathrm{PO}}\)와 일치함을 정적분의 성질로 설명하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅱ. 평면벡터
[출처: 비상 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.3 탐구 3925 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]
[제시문 (가)] 심장학의 아인트호벤 삼각형 원리에 따르면, 심장의 평균 탈분극 전기쌍극자 벡터를 \(\vec{E}\)라 할 때 사지유도 \(\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}\)의 방향 단위벡터 \(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\)에 대하여 각 유도에 기록되는 전압(스칼라 투영)은 내적 \(V_k = \vec{E}\cdot\vec{u}_k\) (\(k=1,2,3\))로 주어지며, \(\vec{u}_1 = (1, 0),\; \vec{u}_2 = \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\; \vec{u}_3 = \vec{u}_2 - \vec{u}_1 = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)이다.
어떤 환자의 심전도 검사에서 유도 \(\mathrm{I}\)의 전압이 \(V_1 = \vec{E}\cdot\vec{u}_1 = \sqrt{3}\;(\mathrm{mV})\), 유도 \(\mathrm{II}\)의 전압이 \(V_2 = \vec{E}\cdot\vec{u}_2 = \sqrt{3}\;(\mathrm{mV})\)로 측정되었을 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 벡터 내적의 분배법칙을 이용하여 아인트호벤의 법칙 \(V_2 = V_1 + V_3\)가 항상 성립함을 증명하고, 이 환자의 유도 \(\mathrm{III}\) 전압 \(V_3\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 심장 전기축 벡터 \(\vec{E} = (x, y)\)의 성분 \((x, y)\)와 크기 \(|\vec{E}|\)를 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 벡터 \(\vec{E}\)가 유도 \(\mathrm{I}\)의 방향 단위벡터 \(\vec{u}_1 = (1, 0)\)과 이루는 예각의 크기 \(\theta\)를 구하고, \(\vec{E}\)와 수직인 단위벡터를 모두 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.