[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.28 탐구 3911 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(T_{1/2} = 3\)시간, \(C(9) = 10\), \(\log_{10} C(t) = 1.9 - 0.1t\) | [1-2] \(t_1 = 1\)시간, \(t_2 = 12\)시간 | [1-3] \(\Delta C = 75\;(\mathrm{\mu g/mL})\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(C(3) = 80\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3/T_{1/2}} = 40\)에서 반감기 \(T_{1/2}\)를 구하고 상용로그를 취한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(T_{1/2} = 3\)시간이므로 \(C(9) = 80\cdot 2^{-3} = 10\)이고 \(\log_{10} C(t) = \log_{10} 80 - \dfrac{0.3}{3}t = 1.9 - 0.1t\)이다. 또한 \(\log_{10} 64 = 6\log_{10} 2 = 1.8 = 1.9 - 0.1t_1 \implies t_1 = 1\)이고, \(80\cdot 2^{-t_2/3} = 5 \implies 2^{t_2/3} = 16 = 2^4 \implies t_2 = 12\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(t_2 = 12\)시간에서 잔류 농도가 \(5\;(\mathrm{\mu g/mL})\)이므로 직후 농도를 \(80\;(\mathrm{\mu g/mL})\)로 맞추기 위한 추가 농도 증가량은 \(\Delta C = 80 - 5 = 75\;(\mathrm{\mu g/mL})\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 1-1 | • \(T_{1/2} = 3\) 및 \(C(9) = 10\) 산출 +3점 / \(\log_{10} C(t) = 1.9 - 0.1t\) 유도 +3점 |
| 문항 1-2 | • \(\log_{10} 64 = 1.8\)로부터 \(t_1 = 1\) 도출 +4점 / \(2^{t_2/3} = 16\)으로부터 \(t_2 = 12\) 도출 +3점 |
| 문항 1-3 | • 잔류 농도 \(C(12) = 5\) 확인 +3점 / 추가 투여 농도 \(\Delta C = 75\) 산출 +4점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: \(\log_{10} 80 = 1 + 3\log_{10} 2 = 1.9\)와 \(\log_{10} 64 = 6\log_{10} 2 = 1.8\)을 정확히 변환해야 \(t_1 = 1\)시간이 오차 없이 도출됩니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.32 탐구 3912 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] 주기 \(T = \dfrac{4}{5}\)초, 심박수 \(75\,\mathrm{bpm}\) | [2-2] \(\dfrac{4}{15}\)초 | [2-3] \(\overline{\mathrm{PQ}} = 7\,\mathrm{cm},\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{cm}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(T = \dfrac{2\pi}{5\pi/2} = \dfrac{4}{5}\)초이고 \(V(t) \ge 0 \iff \sin\left(\dfrac{5\pi}{2}t\right) \ge \dfrac{1}{2}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 분당 심박수는 \(\dfrac{60}{4/5} = 75\,\mathrm{bpm}\)이다. \(\theta = \dfrac{5\pi}{2}t \in [0, 2\pi]\)에서 \(\sin\theta \ge \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{\pi}{6} \le \dfrac{5\pi}{2}t \le \dfrac{5\pi}{6}\)이므로 \(\dfrac{1}{15} \le t \le \dfrac{1}{3}\)이고 구간의 길이는 \(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{4}{15}\)초이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 9 + 25 - 2\cdot 3\cdot 5\cos 120^\circ = 34 + 15 = 49 \implies \overline{\mathrm{PQ}} = 7\,\mathrm{cm}\)이고, 사인법칙에서 \(R = \dfrac{7}{2\sin 120^\circ} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{cm}\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 2-1 | • 주기 \(T = \dfrac{4}{5}\)초 도출 +3점 / 분당 심박수 \(75\,\mathrm{bpm}\) 산출 +3점 |
| 문항 2-2 | • 부등식 \(\dfrac{1}{15} \le t \le \dfrac{1}{3}\) 해 도출 +4점 / 시간 길이 \(\dfrac{4}{15}\)초 산출 +3점 |
| 문항 2-3 | • 코사인법칙으로 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 7\) 도출 +4점 / 사인법칙으로 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 삼각부등식에서 치환 변수 \(\theta = \dfrac{5\pi}{2}t\)의 구간 길이 \(\dfrac{2\pi}{3}\)를 각속도 \(\dfrac{5\pi}{2}\)로 나누어 실제 시간 길이 \(\dfrac{4}{15}\)초로 환원하는 과정을 빠뜨리지 마십시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 탐구 3913 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(V_{\max} = 12,\; K_m = 4,\; s_{1/2} = 4\) | [3-2] \(y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{12}\) (\(a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{12}\)) | [3-3] \(\dfrac{I}{K_i} = 2\), 극한값 \(0\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 분모·분자를 \(s\)로 나누어 \(\lim_{s \to \infty} \dfrac{V_{\max}}{K_m/s + 1} = V_{\max}\) 및 \(\lim_{s \to 0+} \dfrac{V_{\max}}{K_m + s} = \dfrac{V_{\max}}{K_m}\)를 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(V_{\max} = 12\)이고 \(\dfrac{12}{K_m} = 3 \implies K_m = 4\)이며 \(v(s_{1/2}) = 6 \implies s_{1/2} = K_m = 4\)이다. 역수를 취하면 \(y = \dfrac{4 + s}{12s} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{12}\)이므로 \(a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{12}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\lim_{s \to 0+} \dfrac{v_{\mathrm{inh}}(s)}{s} = \dfrac{12}{4(1 + I/K_i)} = 1 \implies 1 + \dfrac{I}{K_i} = 3 \implies \dfrac{I}{K_i} = 2\)이며, \(s \to \infty\)일 때 두 함수 모두 \(12\)로 수렴하므로 차의 극한은 \(12 - 12 = 0\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| 문항 3-1 | • \(V_{\max} = 12,\; K_m = 4\) 도출 +4점 / \(s_{1/2} = 4\) 산출 +2점 |
| 문항 3-2 | • 역수 변환식 유도 +3점 / \(a = \dfrac{1}{3},\; b = \dfrac{1}{12}\) 산출 +4점 |
| 문항 3-3 | • \(\dfrac{I}{K_i} = 2\) 산출 +4점 / 무한대 극한 차 \(0\) 도출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 경쟁적 저해제는 초기 기울기(\(s \to 0+\) 극한)는 감소시키지만, 기질 농도가 무한히 커질 때(\(s \to \infty\)) 최대 반응 속도 \(V_{\max} = 12\)는 변화시키지 않는다는 수리적 성질을 극한으로 명확히 서술하십시오.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.34 탐구 3914 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(T_{\max} = 2\)시간, \(C_{\max} = 32\;(\mathrm{\mu g/mL})\) | [4-2] \(t_0 = 4\)시간, \(C'(4) = -12\) | [4-3] \(0 < k < 32\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(C'(t) = 3t^2 - 24t + 36 = 3(t - 2)(t - 6)\)을 인수분해하여 부호 변화를 조사한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \((0, 6)\)에서 \(t = 2\)일 때 \(C'(t)\)가 양에서 음으로 바뀌므로 \(T_{\max} = 2\)시간이고 \(C_{\max} = C(2) = 2\times 16 = 32\)이다. 또한 \(C''(t) = 6t - 24 = 0\)에서 \(t_0 = 4\)시간이고 \(C'(4) = 3(2)(-2) = -12\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(C(0) = C(6) = 0\)이고 \((0, 2)\)에서 순증가하여 \(C(2) = 32\), \((2, 6)\)에서 순감소하므로, 열린구간 \((0, 6)\)에서 \(C(t) = k\)가 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 \(0 < k < 32\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 4-1 | • \(C'(t) = 3(t-2)(t-6)\) 인수분해 +3점 / \(T_{\max} = 2,\; C_{\max} = 32\) 도출 +3점 |
| 문항 4-2 | • \(t_0 = 4\) 도출 +4점 / \(C'(4) = -12\) 산출 +3점 |
| 문항 4-3 | • 양 끝점 함숫값 \(C(0)=C(6)=0\) 및 증감 개형 분석 +4점 / \(0 < k < 32\) 도출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 열린구간 \((0, 6)\)에서의 실근 개수를 묻고 있으므로 경계값 \(k = 0\)과 극댓값 \(k = 32\)(중근 1개)는 등호에서 제외되어야 합니다.
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.3 탐구 3915 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\mathrm{F}(5, 0),\; \mathrm{F'}(-5, 0),\; L = 26\,\mathrm{cm}\) | [5-2] \(144\,(\mathrm{cm^2})\) | [5-3] \(\mathrm{Q}\left(5, \dfrac{144}{13}\right)\), 거리 \(13\,\mathrm{cm}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(a = 13,\; b = 12\)이므로 \(c = \sqrt{169 - 144} = 5\)이고 타원의 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}} = 2a = 26\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{F'P}} = p,\; \overline{\mathrm{PF}} = q\)라 하면 \(p + q = 26\)이고 직각삼각형에서 \(p^2 + q^2 = (2c)^2 = 100\)이므로 \(2pq = (p+q)^2 - (p^2+q^2) = 676 - 100 = 576 \implies \triangle \mathrm{F'PF} = \dfrac{1}{2}pq = 144\,(\mathrm{cm^2})\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 기울기가 \(m = -\dfrac{5}{12}\)이고 제\(1\)사분면에 접하는 접선은 \(y = -\dfrac{5}{12}x + \sqrt{169\left(-\dfrac{5}{12}\right)^2 + 144} = -\dfrac{5}{12}x + \dfrac{169}{12}\)이므로 \(5x + 12y - 169 = 0\)이다. 원점에서의 거리는 \(\dfrac{169}{\sqrt{25+144}} = 13\,\mathrm{cm}\)이고, 접점 \(\mathrm{Q}\)는 \(\dfrac{x_0}{169} : \dfrac{y_0}{144} = 5 : 12\)에서 \(\mathrm{Q}\left(5, \dfrac{144}{13}\right)\)이다.
| 배점 단계 | 경희대학교(의·약학계열) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| 문항 5-1 | • \(c = 5\) 및 \(\mathrm{F}(\pm 5, 0)\) 산출 +3점 / 총 이동 거리 \(L = 26\,\mathrm{cm}\) 도출 +3점 |
| 문항 5-2 | • \(p+q=26,\; p^2+q^2=100\) 연립 +4점 / 넓이 \(\dfrac{1}{2}pq = 144\) 산출 +3점 |
| 문항 5-3 | • 접선 \(5x + 12y = 169\) 및 접점 \(\mathrm{Q}\left(5, \dfrac{144}{13}\right)\) 도출 +4점 / 원점 거리 \(13\,\mathrm{cm}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경희대학교(의·약학계열) 감점 방어 & 의약학 수리논술 클리닉: 충격파의 이동 거리 \(\overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}} = 2a\)가 반사 지점 \(\mathrm{P}\)의 위치에 관계없이 항상 일정하기 때문에 모든 반사파가 결석 \(\mathrm{F}\)에 동일한 위상(동시 도달)으로 집중됩니다.