🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.28 탐구 3911 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
[제시문 (가)] 정맥 주사로 투여된 항생제가 체내에서 대사·배설될 때, 투여 \(t\)시간 후의 혈중 약물 농도 \(C(t)\;(\mathrm{\mu g/mL})\)는 초기 농도 \(C_0\)와 반감기 \(T_{1/2}\)에 대하여 \(C(t) = C_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\)를 따른다. 양변에 상용로그를 취하면 \(\log_{10} C(t) = \log_{10} C_0 - \dfrac{\log_{10} 2}{T_{1/2}}\,t\)가 성립한다.
어떤 항생제를 정맥 주사한 직후 혈중 농도가 \(C_0 = 80\;(\mathrm{\mu g/mL})\)이고, 투여 \(3\)시간 후 혈중 농도가 \(40\;(\mathrm{\mu g/mL})\)로 측정되었다. 이 항생제가 약효를 나타내면서 독성을 일으키지 않는 치료 유효 농도 구간이 \(5 \le C(t) \le 64\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.3\)으로 계산한다.)
[문항 1-1] (6점) 이 항생제의 반감기 \(T_{1/2}\)를 구하고, 투여 \(9\)시간 후의 혈중 농도 \(C(9)\)와 \(\log_{10} C(t)\)를 \(t\)에 대한 일차식으로 나타내시오.
[문항 1-2] (7점) 혈중 농도가 치료 유효 농도 상한인 \(64\;(\mathrm{\mu g/mL})\) 이하로 진입하는 시각 \(t_1\)과 유효 하한인 \(5\;(\mathrm{\mu g/mL})\) 이상을 유지하는 마지막 시각 \(t_2\)를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 혈중 농도가 \(5\;(\mathrm{\mu g/mL})\)로 떨어진 시각 \(t_2\)에 즉시 같은 항생제를 추가 정맥 주사하여 직후 농도를 다시 \(80\;(\mathrm{\mu g/mL})\)로 높이려면, 혈액 \(1\,\mathrm{mL}\)당 추가해야 하는 약물의 농도 증가량 \(\Delta C\)를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.32 탐구 3912 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 주기가 \(T\)인 삼각함수 \(V(t) = A\sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right) + B\) (\(A > 0\))의 최댓값은 \(A + B\), 최솟값은 \(-A + B\)이다.
[제시문 (나)] 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)에서 두 변의 길이 \(\overline{\mathrm{OP}}, \overline{\mathrm{OQ}}\)와 끼인각 \(\theta\)를 알 때 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{PQ}}^2 = \overline{\mathrm{OP}}^2 + \overline{\mathrm{OQ}}^2 - 2\,\overline{\mathrm{OP}}\cdot\overline{\mathrm{OQ}}\cos\theta\)가 성립한다.
안정 상태 성인의 심방 탈분극 전위 파형을 \(V(t) = 2\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}t\right) - 1\;(\mathrm{mV})\) (\(0 \le t \le \dfrac{4}{5}\)초)로 모형화하고, 분지점 \(\mathrm{O}\)에서 갈라지는 두 관상동맥 가지 위의 두 센서 지점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)가 \(\overline{\mathrm{OP}} = 3\,\mathrm{cm},\; \overline{\mathrm{OQ}} = 5\,\mathrm{cm},\; \angle \mathrm{POQ} = 120^\circ\)를 이룰 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 함수 \(V(t)\)의 주기 \(T\)(초)와 \(1\)분(\(60\)초)당 심박수(\(\mathrm{bpm}\), 분당 주기 횟수)를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 한 주기 \(0 \le t \le \dfrac{4}{5}\)에서 전위 \(V(t)\)가 영전위(\(0\,\mathrm{mV}\)) 이상으로 유지되는 시간 구간의 길이를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 두 센서 지점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 직선 거리 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)와 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 외접원의 반지름 \(R\)를 각각 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 탐구 3913 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 생체 내 효소 촉매 반응에서 기질 농도가 \(s \ge 0\;(\mathrm{mM})\)일 때 반응 속도 \(v(s)\;(\mathrm{\mu M/s})\)는 최대 반응 속도 \(V_{\max} > 0\)와 미카엘리스 상수 \(K_m > 0\)에 대하여 \(v(s) = \dfrac{V_{\max}\,s}{K_m + s}\)로 주어진다.
어떤 간 대사 효소의 반응 속도 함수 \(v(s) = \dfrac{V_{\max}\,s}{K_m + s}\)가 다음 두 극한 조건 \(\lim_{s \to \infty} v(s) = 12,\; \lim_{s \to 0+} \dfrac{v(s)}{s} = 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 두 극한 조건을 이용하여 상수 \(V_{\max}\)와 \(K_m\)의 값을 각각 구하고, 반응 속도가 최대 반응 속도의 절반(\(\dfrac{1}{2}V_{\max}\))이 되는 기질 농도 \(s_{1/2}\)를 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 역수 변수 \(x = \dfrac{1}{s}\) (\(s > 0\)), \(y = \dfrac{1}{v(s)}\)에 대하여 \(y\)를 \(x\)에 대한 일차함수 \(y = ax + b\)로 나타내고(라인위버-버크 선형화), 상수 \(a, b\)의 값을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 경쟁적 저해제가 존재할 때 반응 속도 함수는 \(v_{\mathrm{inh}}(s) = \dfrac{12s}{4(1 + I/K_i) + s}\)가 된다. \(\lim_{s \to 0+} \dfrac{v_{\mathrm{inh}}(s)}{s} = 1\)일 때, 저해 배수 \(\dfrac{I}{K_i}\)의 값과 \(\lim_{s \to \infty} \bigl(v(s) - v_{\mathrm{inh}}(s)\bigr)\)의 값을 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.34 탐구 3914 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 닫힌구간 \([0, T]\)에서 정의된 미분가능한 약물 농도 함수 \(C(t)\)가 열린구간 \((0, T)\)의 유일한 극점 \(t = t^*\)에서 \(C'(t^*) = 0\)이고 좌우에서 \(C'(t)\)의 부호가 양(\(+\))에서 음(\(-\))으로 바뀌면, \(C(t)\)는 \(t = t^*\)에서 극대이자 최대(최고 혈중 농도 \(C_{\max}\))가 된다.
경구 투여된 진통제의 흡수·소실 구간 \(0 \le t \le 6\) (단위: 시간)에서의 혈중 농도 \(C(t)\;(\mathrm{\mu g/mL})\)가 삼차다항식 \(C(t) = t(6 - t)^2 = t^3 - 12t^2 + 36t\)로 모형화될 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 도함수 \(C'(t)\)를 인수분해하여 최고 혈중 농도 도달 시각 \(T_{\max}\)와 최고 혈중 농도 \(C_{\max}\)를 각각 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 투여 후 약물 농도의 순간 증가 속도 \(C'(t)\)가 가장 크게 감소하는 시각(곡선 \(y = C(t)\)의 변곡점에 해당하는 \(C''(t) = 0\)인 시각 \(t_0\))과 그때의 변화율 \(C'(t_0)\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 진통 효과가 발현되기 위한 최소 유효 농도가 \(k\;(\mathrm{\mu g/mL})\)일 때, 구간 \((0, 6)\)에서 방정식 \(C(t) = k\)가 서로 다른 두 실근(약효 발현 시각과 소실 시각)을 갖도록 하는 양수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.
🎯 경희대학교(의예·한의예·치의예·약학) 맞춤형 출제 트랙: Track A (생명·의약학 수리모델링 다단계 소문항 논증형) | 기하 Ⅰ. 이차곡선
[출처: 비상 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.3 탐구 3915 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 두 초점 \(\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F'}(-c, 0)\) (\(c = \sqrt{a^2 - b^2},\; a > b > 0\))으로부터의 거리의 합이 \(2a\)로 일정한 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)에서 한 초점 \(\mathrm{F'}\)에서 발생한 파동은 타원 내벽의 임의의 점 \(\mathrm{P}\)에서 반사된 후 항상 다른 초점 \(\mathrm{F}\)로 모이며, 이동 경로의 총길이는 \(\overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}} = 2a\)로 일정하다.
신장 결석을 비수술적으로 파쇄하는 체외충격파쇄석기(ESWL)의 단면이 타원 \(E : \dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{144} = 1\) (단위: \(\mathrm{cm}\))의 일부로 설계되어 있다. 충격파 발생원을 초점 \(\mathrm{F'}(-c, 0)\)에 두고 환자의 신장 결석을 다른 초점 \(\mathrm{F}(c, 0)\)에 일치시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 두 초점 \(\mathrm{F}, \mathrm{F'}\)의 좌표와 충격파가 반사경 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 반사되어 결석 \(\mathrm{F}\)에 도달할 때까지 진행하는 총거리 \(L = \overline{\mathrm{F'P}} + \overline{\mathrm{PF}}\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 반사경 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 입사 경로와 반사 경로가 수직(\(\angle \mathrm{F'PF} = 90^\circ\))을 이룰 때, 삼각형 \(\mathrm{F'PF}\)의 넓이를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 타원 \(E\) 위의 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{Q}(x_0, y_0)\)에서의 접선의 기울기가 \(-\dfrac{5}{12}\)일 때, 접점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표와 원점 \(\mathrm{O}\)에서 이 접선까지의 수직 거리를 구하시오.
[경희대학교(의·약학계열) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 수리적 논거와 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.