[조건 수식 확인]: \(T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k r^{k-1}\) , \(r \ne 1\) , \(T_n - rT_n\) , \(|r| < 1\) , \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n r^n = 0\) , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = \dfrac{1}{(1-r)^2}\) , \(n\) , \(T_n = 1 + 2\cdot 2^1 + 3\cdot 2^2 + \cdots + n\cdot 2^{n-1}\) , \(T_n\) , \(T_5\) , \(T_n > 1000\) , \(U = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{3^n}\) , \(U - \dfrac{1}{3}U\)

[핵심 과정 1 [수리 모형] — 문항 1-1 해설]: \(-T_n = T_n - 2T_n = (1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - n\cdot 2^n = (2^n - 1) - n\cdot 2^n\)이므로 \(T_n = (n-1)2^n + 1\)이고 \(T_5 = 4\cdot 32 + 1 = 129\)이다.

[핵심 과정 2 [연산 전개] — 문항 1-2 해설]: \(n = 7\)일 때 \(T_7 = 6\cdot 128 + 1 = 769 < 1000\)이고, \(n = 8\)일 때 \(T_8 = 7\cdot 256 + 1 = 1793 > 1000\)이므로 최소 자연수는 \(n = 8\)이다.

[핵심 과정 3 [최종 결론] — 문항 1-3 해설]: \(U - \dfrac{1}{3}U = \dfrac{2}{3}U = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \cdots = \dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(U = \dfrac{3}{4}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(x\) , \(f(x) \le q(x) \le h(x)\) , \(\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} h(x) = L\) , \(\lim_{x\to\infty} q(x) = L\) , \(r(x)\) , \(\lim_{x\to a}\dfrac{r(x)}{x-a} = k\) , \(r(a) = 0\) , \(r'(a) = k\) , \(3x^2 - 2x \le q(x) \le 3x^2 + 4x\) , \(q(x)\) , \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{r(x) - 2x^3}{x^2} = -3,\; \lim_{x\to 1}\dfrac{r(x)}{x - 1} = 5\) , \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{q(x)}{x^2}\) , \(r(2)\) , \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{r(x)}{x\,q(x)}\)

[핵심 과정 1 [수리 모형] — 문항 2-1 해설]: \(x > 0\)일 때 \(3 - \dfrac{2}{x} \le \dfrac{q(x)}{x^2} \le 3 + \dfrac{4}{x}\)이고 양변의 \(x \to \infty\) 극한이 \(3\)이므로 샌드위치 정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{q(x)}{x^2} = 3\)이다.

[핵심 과정 2 [연산 전개] — 문항 2-2 해설]: 첫째 조건에서 \(r(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\)이다. 둘째 조건에서 \(r(1) = a + b - 1 = 0\)이고 \(r'(1) = 6 - 6 + a = 5\)이므로 \(a = 5,\; b = -4?\) 잠깐: \(r'(x) = 6x^2 - 6x + a\)에서 \(r'(1) = a = 5\)이고 \(r(1) = 2 - 3 + 5 + b = 0 \implies b = -4\)이다! 따라서 \(r(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 4\)이고 \(r(2) = 16 - 12 + 10 - 4 = 10\)이다.

[핵심 과정 3 [최종 결론] — 문항 2-3 해설]: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{r(x)}{x\,q(x)} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{r(x)/x^3}{q(x)/x^2} = \dfrac{2}{3}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(R\) , \(H\) , \(r\) , \(0 < r < R\) , \(h\) , \(\dfrac{R - r}{R} = \dfrac{h}{H}\) , \((0, R)\) , \(V(r)\) , \(R = 6\) , \(H = 12\) , \(r_1\) , \(h_1\) , \(V_{\max}\) , \(L(r) = 2\pi r h\) , \(r_2\) , \(L_{\max}\)

[핵심 과정 1 [수리 모형] — 문항 3-1 해설]: 닮음비 \(\dfrac{6 - r}{6} = \dfrac{h}{12}\)에서 \(h = 12 - 2r\)이고, 부피는 \(V(r) = \pi r^2(12 - 2r) = 2\pi(6r^2 - r^3)\) (\(0 < r < 6\))이다.

[핵심 과정 2 [연산 전개] — 문항 3-2 해설]: \(V'(r) = 6\pi r(4 - r) = 0\)에서 \(r_1 = 4\)일 때 극대이자 최대이며, \(h_1 = 4\), 최대 부피는 \(V_{\max} = \pi\cdot 16\cdot 4 = 64\pi\)이다.

[핵심 과정 3 [최종 결론] — 문항 3-3 해설]: 옆넓이 \(L(r) = 2\pi r(12 - 2r) = -4\pi(r - 3)^2 + 36\pi\)는 \(r_2 = 3\)일 때 최댓값 \(L_{\max} = 36\pi\)를 갖는다.

[조건 수식 확인]: \(y = -x^2 + px\) , \(0 \le m < p\) , \((p-m, m(p-m))\) , \(S(m) = \displaystyle\int_0^{p-m} \{(-x^2 + px) - mx\}\,dx = \dfrac{(p-m)^3}{6}\) , \(y = -x^2 + 4x\) , \(x\) , \(S_0\) , \(S_1\) , \(1 < m < 4\) , \(m\)

[핵심 과정 1 [수리 모형] — 문항 4-1 해설]: \(y = -x^2 + 4x = 0\)의 두 근이 \(0, 4\)이므로 \(S_0 = \displaystyle\int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{4^3}{6} = \dfrac{32}{3}\)이다.

[핵심 과정 2 [연산 전개] — 문항 4-2 해설]: \(-x^2 + 4x = x \implies x(x - 3) = 0\)이므로 \(S_1 = \displaystyle\int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx = \dfrac{3^3}{6} = \dfrac{9}{2}\)이다.

[핵심 과정 3 [최종 결론] — 문항 4-3 해설]: 직선 \(y = mx\)와 포물선 사이의 넓이 \(\dfrac{(4-m)^3}{6}\)가 \(\dfrac{1}{2}S_1 = \dfrac{9}{4}\)과 같아야 하므로 \((4-m)^3 = \dfrac{27}{2} \implies 4 - m = \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}\), 즉 \(m = 4 - \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(a\) , \(\mathrm{ABCD}\) , \(\mathrm{A}\) , \(\triangle\mathrm{BCD}\) , \(\mathrm{G}\) , \(\theta\) , \(S' = S\cos\theta\) , \(S\) , \(\mathrm{BCD}\) , \(h\) , \(\mathrm{ABC}\) , \(\cos\theta\) , \(\triangle\mathrm{ABC}\) , \(S'\) , \(\mathrm{AB}, \mathrm{CD}\) , \(\mathrm{M}, \mathrm{N}\)

[핵심 과정 1 [수리 모형] — 문항 5-1 해설]: 한 변이 \(6\)인 정삼각형 넓이는 \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36 = 9\sqrt{3}\)이다. 밑면 높이는 \(3\sqrt{3}\), 무게중심까지 거리는 \(\overline{\mathrm{BG}} = 2\sqrt{3}\)이므로 \(h = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6}\)이다.

[핵심 과정 2 [연산 전개] — 문항 5-2 해설]: \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 중점 \(\mathrm{M}'\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{GM}'}}{\overline{\mathrm{AM}'}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}\)이고, 정사영 넓이는 \(S' = S\cos\theta = 3\sqrt{3}\)이다.

[핵심 과정 3 [최종 결론] — 문항 5-3 해설]: \(\triangle\mathrm{MCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{MC}} = \overline{\mathrm{MD}} = 3\sqrt{3}\)이고 \(\overline{\mathrm{CN}} = 3\)이므로 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{\mathrm{MN}} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)이다.