🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅸ (극한·최적화·공간기하 논증) | 대수 Ⅲ. 수열
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 3091 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-05, 12미적Ⅱ-01-04]
[제시문 (가)] 합 \(T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k r^{k-1}\) (\(r \ne 1\))은 \(T_n - rT_n\)을 계산하여 등비수열의 합 공식으로 구한다.
[제시문 (나)] \(|r| < 1\)일 때 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n r^n = 0\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = \dfrac{1}{(1-r)^2}\)이다.
자연수 \(n\)에 대하여 수열의 합 \(T_n = 1 + 2\cdot 2^1 + 3\cdot 2^2 + \cdots + n\cdot 2^{n-1}\)이라 할 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) \(T_n - 2T_n\)을 계산하여 \(T_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, \(T_5\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 부등식 \(T_n > 1000\)을 만족시키는 최소의 자연수 \(n\)을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 무한급수 \(U = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{3^n}\)의 값을 \(U - \dfrac{1}{3}U\)를 이용하여 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제9회 문항 1 답안 작성란 (20점)]
• [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점): 각 문항의 수학적 근거를 명확히 밝히고 논리적 비약 없이 답안을 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅸ (극한·최적화·공간기하 논증) | 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.29 탐구 3092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-01]
[제시문 (가)] \(x\)가 충분히 클 때 \(f(x) \le q(x) \le h(x)\)이고 \(\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} h(x) = L\)이면 \(\lim_{x\to\infty} q(x) = L\)이다.
[제시문 (나)] 다항함수 \(r(x)\)가 \(\lim_{x\to a}\dfrac{r(x)}{x-a} = k\)를 만족하면 \(r(a) = 0\)이고 \(r'(a) = k\)이다.
모든 양의 실수 \(x\)에서 \(3x^2 - 2x \le q(x) \le 3x^2 + 4x\)를 만족하는 함수 \(q(x)\)와, 두 극한 조건 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{r(x) - 2x^3}{x^2} = -3,\; \lim_{x\to 1}\dfrac{r(x)}{x - 1} = 5\)를 만족하는 다항함수 \(r(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 극한값 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{q(x)}{x^2}\)을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 다항함수 \(r(x)\)의 식을 구하고, \(r(2)\)의 값을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 극한값 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{r(x)}{x\,q(x)}\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제9회 문항 2 답안 작성란 (20점)]
• [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점): 각 문항의 수학적 근거를 명확히 밝히고 논리적 비약 없이 답안을 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅸ (극한·최적화·공간기하 논증) | 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 탐구 3093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 밑면의 반지름이 \(R\), 높이가 \(H\)인 직원뿔에 밑면 반지름이 \(r\) (\(0 < r < R\)), 높이가 \(h\)인 직원기둥이 내접할 때 단면의 삼각형 닮음에 의해 \(\dfrac{R - r}{R} = \dfrac{h}{H}\)가 성립한다.
[제시문 (나)] 개구간 \((0, R)\)에서 미분가능한 함수 \(V(r)\)가 유일한 극댓값을 가지면 그 극댓값이 최댓값이다.
밑면의 반지름이 \(R = 6\), 높이가 \(H = 12\)인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 밑면 반지름을 \(r\) (\(0 < r < 6\)), 높이를 \(h\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 높이 \(h\)를 \(r\)에 대한 일차식으로 나타내고, 원기둥의 부피 \(V(r)\)를 \(r\)에 대한 삼차함수로 나타내시오.
[문항 3-2] (7점) 원기둥의 부피 \(V(r)\)가 최대가 될 때의 반지름 \(r_1\), 높이 \(h_1\) 및 최대 부피 \(V_{\max}\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 원기둥의 옆넓이 \(L(r) = 2\pi r h\)가 최대가 될 때의 반지름 \(r_2\)와 그때의 최대 옆넓이 \(L_{\max}\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제9회 문항 3 답안 작성란 (20점)]
• [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점): 각 문항의 수학적 근거를 명확히 밝히고 논리적 비약 없이 답안을 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅸ (극한·최적화·공간기하 논증) | 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.41 탐구 3094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 포물선 \(y = -x^2 + px\)와 직선 \(y = mx\) (\(0 \le m < p\))가 원점과 점 \((p-m, m(p-m))\)에서 만날 때, 두 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이는 \(S(m) = \displaystyle\int_0^{p-m} \{(-x^2 + px) - mx\}\,dx = \dfrac{(p-m)^3}{6}\)이다.
곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형을 \(D\)라 할 때, 제시문 (가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S_0\)를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 도형 \(D\)의 넓이 \(S_1\)을 정적분으로 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 원점을 지나는 직선 \(y = mx\) (\(1 < m < 4\))가 도형 \(D\)의 넓이 \(S_1\)을 이등분할 때, 상수 \(m\)의 값을 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제9회 문항 4 답안 작성란 (20점)]
• [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점): 각 문항의 수학적 근거를 명확히 밝히고 논리적 비약 없이 답안을 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅸ (극한·최적화·공간기하 논증) | 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.31 탐구 3095 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
[제시문 (가)] 한 모서리의 길이가 \(a\)인 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)에서 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 밑면 \(\triangle\mathrm{BCD}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{G}\)는 \(\triangle\mathrm{BCD}\)의 무게중심이다.
[제시문 (나)] 두 평면이 이루는 각을 \(\theta\)라 하면 한 평면 위 도형의 정사영 넓이는 \(S' = S\cos\theta\)이다.
한 모서리의 길이가 \(6\)인 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정사면체의 한 면 \(\triangle\mathrm{BCD}\)의 넓이 \(S\)와 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 밑면 \(\mathrm{BCD}\)에 내린 수선의 길이(높이) \(h\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 두 면 \(\mathrm{ABC}\)와 \(\mathrm{BCD}\)가 이루는 이면각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)의 값과, \(\triangle\mathrm{ABC}\)의 평면 \(\mathrm{BCD}\) 위로의 정사영 넓이 \(S'\)을 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 마주 보는 두 모서리 \(\mathrm{AB}, \mathrm{CD}\)의 중점을 각각 \(\mathrm{M}, \mathrm{N}\)이라 할 때, 선분 \(\mathrm{MN}\)의 길이(두 꼬인 모서리 사이의 최단거리)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제9회 문항 5 답안 작성란 (20점)]
• [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점): 각 문항의 수학적 근거를 명확히 밝히고 논리적 비약 없이 답안을 작성하시오.