[조건 수식 확인]: \(\log_a f(x) + \log_a g(x) = c\) , \(f(x) > 0,\; g(x) > 0\) , \(\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)\) , \(\log_2 x + \log_2(x - 6) = 4\) , \(\alpha\) , \(k\) , \(b_k = \log_2\bigl(2^{2k-1}\bigr)\) , \(\{b_k\}\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\alpha} b_k\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\alpha} \dfrac{1}{b_k b_{k+1}}\)

[풀이 Ⅰ [핵심 공식] — 문항 1-1 해설]: 진수 조건에서 \(x > 0\)이고 \(x - 6 > 0\)이므로 \(x > 6\)이다. \(x(x-6) = 2^4 = 16 \implies (x-8)(x+2) = 0\)에서 \(x > 6\)이므로 \(\alpha = 8\)이다.

[풀이 Ⅱ [대수적 유도] — 문항 1-2 해설]: 로그의 성질에 의해 \(b_k = 2k - 1\)은 홀수 등차수열이며, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8} (2k - 1) = 8^2 = 64\)이다.

[풀이 Ⅲ [최종 검증] — 문항 1-3 해설]: \(\displaystyle\sum_{k=1}^{8} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{8}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{17}\right) = \dfrac{8}{17}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(\mathrm{ABC}\) , \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\) , \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\) , \(S\) , \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}(a+b+c)r\) , \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4\) , \(\cos A = \dfrac{1}{4}\) , \(\overline{\mathrm{BC}}\) , \(a\) , \(\sin A\) , \(R\)

[풀이 Ⅰ [핵심 공식] — 문항 2-1 해설]: 코사인법칙에서 \(a^2 = 4^2 + 6^2 - 2\cdot 4\cdot 6\cdot \dfrac{1}{4} = 40 \implies a = 2\sqrt{10}\)이고, \(\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{1}{16}} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\)이다.

[풀이 Ⅱ [대수적 유도] — 문항 2-2 해설]: 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \dfrac{\sqrt{15}}{4} = 3\sqrt{15}\)이고, 사인법칙에서 \(R = \dfrac{2\sqrt{10}}{2 \cdot \sqrt{15}/4} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}\)이다.

[풀이 Ⅲ [최종 검증] — 문항 2-3 해설]: \(S = \dfrac{1}{2}(10 + 2\sqrt{10})r = (5 + \sqrt{10})r = 3\sqrt{15}\)이므로 \(r = \dfrac{3\sqrt{15}}{5 + \sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{15}(5 - \sqrt{10})}{15} = \dfrac{\sqrt{15}(5 - \sqrt{10})}{5}\)이다.

[조건 수식 확인]: \([a, b]\) , \((a, b)\) , \(u(x)\) , \(\dfrac{u(b)-u(a)}{b-a} = u'(c)\) , \(c \in (a, b)\) , \(x^3\) , \((t, u(t))\) , \(x\) , \(s\) , \(2t + s = 0\) , \(u(x) = x^3 - 3x\) , \([-1, 2]\) , \(y = u(x)\) , \(\mathrm{P}(2, u(2))\) , \(y = T(x)\) , \(\mathrm{P}\) , \(\mathrm{Q}\)

[풀이 Ⅰ [핵심 공식] — 문항 3-1 해설]: \(u(-1) = 2,\; u(2) = 2\)이므로 평균변화율은 \(0\)이다. \(u'(c) = 3c^2 - 3 = 0\)에서 \(c \in (-1, 2)\)인 값은 \(c = 1\)이다.

[풀이 Ⅱ [대수적 유도] — 문항 3-2 해설]: \(\mathrm{P}(2, 2)\)에서 \(u'(2) = 9\)이므로 접선의 방정식은 \(y - 2 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 16\)이다.

[풀이 Ⅲ [최종 검증] — 문항 3-3 해설]: \(x^3 - 3x = 9x - 16 \implies x^3 - 12x + 16 = (x - 2)^2(x + 4) = 0\)이므로 재교점은 \(x = -4\)이고 \(u(-4) = -52\), 즉 \(\mathrm{Q}(-4, -52)\)이다.

[조건 수식 확인]: \(A_1, A_2\) , \(S\) , \(R\) , \(\mathrm{P}(R) = \mathrm{P}(A_1)\mathrm{P}(R\mid A_1) + \mathrm{P}(A_2)\mathrm{P}(R\mid A_2)\) , \(A_1\) , \(\mathrm{P}(A_1\mid R) = \dfrac{\mathrm{P}(A_1 \cap R)}{\mathrm{P}(R)}\) , \(\mathrm{A}\) , \(2\) , \(\mathrm{B}\) , \(4\) , \(1\) , \(\mathrm{P}(A)\) , \(\mathrm{P}(B)\) , \(\mathrm{P}(R\mid A),\; \mathrm{P}(R\mid B)\) , \(\mathrm{P}(R)\) , \(\mathrm{P}(A\mid R)\)

[풀이 Ⅰ [핵심 공식] — 문항 4-1 해설]: 주사위 눈이 \(1, 2\)일 확률은 \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), \(3\) 이상일 확률은 \(\mathrm{P}(B) = \dfrac{2}{3}\)이며, \(\mathrm{P}(R\mid A) = \dfrac{3}{5},\; \mathrm{P}(R\mid B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)이다.

[풀이 Ⅱ [대수적 유도] — 문항 4-2 해설]: 전확률 공식에 의해 \(\mathrm{P}(R) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{19}{45}\)이다.

[풀이 Ⅲ [최종 검증] — 문항 4-3 해설]: 베이즈 정리에 의해 \(\mathrm{P}(A\mid R) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap R)}{\mathrm{P}(R)} = \dfrac{1/5}{19/45} = \dfrac{9}{19}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(\vec{u}, \vec{v}\) , \(\theta\) , \(\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) , \(|\vec{u} - t\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2t(\vec{u}\cdot\vec{v}) + t^2|\vec{v}|^2\) , \(S = \dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2}\) , \(|\vec{u}| = 2,\; |\vec{v}| = 3\) , \(\theta = 60^\circ\) , \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) , \(|2\vec{u} - \vec{v}|\) , \(\mathrm{O}\) , \(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{u},\; \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{v}\) , \(S\) , \(t\) , \(t_0\) , \(m\)

[풀이 Ⅰ [핵심 공식] — 문항 5-1 해설]: \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot 3\cos 60^\circ = 3\)이고, \(|2\vec{u} - \vec{v}|^2 = 4|\vec{u}|^2 - 4(\vec{u}\cdot\vec{v}) + |\vec{v}|^2 = 16 - 12 + 9 = 13\)이므로 \(|2\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{13}\)이다.

[풀이 Ⅱ [대수적 유도] — 문항 5-2 해설]: 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}|\vec{u}||\vec{v}|\sin 60^\circ = \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)이다.

[풀이 Ⅲ [최종 검증] — 문항 5-3 해설]: \(|\vec{v} - t\vec{u}|^2 = 4t^2 - 6t + 9 = 4\left(t - \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{27}{4}\)이므로 \(t_0 = \dfrac{3}{4}\)일 때 최솟값 \(m = \sqrt{\dfrac{27}{4}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)를 갖는다.