🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅷ (대수·확통·벡터 융합) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.21 탐구 3081 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수03-05]
[제시문 (가)] 로그방정식 \(\log_a f(x) + \log_a g(x) = c\)를 풀 때는 반드시 진수 조건 \(f(x) > 0,\; g(x) > 0\)을 먼저 확인해야 한다.
[제시문 (나)] 부분분수 항등식 \(\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)\)를 이용하면 연쇄 소거 합을 계산할 수 있다.
방정식 \(\log_2 x + \log_2(x - 6) = 4\)의 해를 \(\alpha\)라 하고, 자연수 \(k\)에 대하여 \(b_k = \log_2\bigl(2^{2k-1}\bigr)\)로 정의할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 진수 조건을 명시하여 방정식의 해 \(\alpha\)를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 수열 \(\{b_k\}\)의 일반항을 구하고, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\alpha} b_k\)의 값을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 부분분수 분해를 이용하여 합 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\alpha} \dfrac{1}{b_k b_{k+1}}\)의 값을 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제8회 문항 1 답안 작성란 (20점)]
• [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점): 각 소문항의 조건을 수식으로 번역하고 단계별 계산 과정을 빠짐없이 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅷ (대수·확통·벡터 융합) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.28 탐구 3082 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)와 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\)가 성립한다.
[제시문 (나)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}(a+b+c)r\)가 성립한다.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 4\)이고 \(\cos A = \dfrac{1}{4}\)일 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이 \(a\)와 \(\sin A\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름 \(R\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내접원의 반지름 \(r\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제8회 문항 2 답안 작성란 (20점)]
• [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점): 각 소문항의 조건을 수식으로 번역하고 단계별 계산 과정을 빠짐없이 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅷ (대수·확통·벡터 융합) | 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 탐구 3083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
[제시문 (가)] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(u(x)\)에 대하여 \(\dfrac{u(b)-u(a)}{b-a} = u'(c)\)를 만족하는 \(c \in (a, b)\)가 존재한다.
[제시문 (나)] 최고차항이 \(x^3\)인 삼차곡선 위의 점 \((t, u(t))\)에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(s\)라 하면 근과 계수의 관계에 의해 \(2t + s = 0\)이 성립한다.
삼차함수 \(u(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 제시문 (가), (나)를 바탕으로 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(u(x)\)에 대하여 평균값 정리(롤의 정리)를 만족시키는 상수 \(c \in (-1, 2)\)의 값을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = u(x)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(2, u(2))\)에서의 접선의 방정식 \(y = T(x)\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 문항 [3-2]의 접선 \(y = T(x)\)가 곡선 \(y = u(x)\)와 점 \(\mathrm{P}\)가 아닌 다른 점 \(\mathrm{Q}\)에서 만날 때, 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제8회 문항 3 답안 작성란 (20점)]
• [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점): 각 소문항의 조건을 수식으로 번역하고 단계별 계산 과정을 빠짐없이 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅷ (대수·확통·벡터 융합) | 확률과 통계 Ⅱ. 조건부확률
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 3084 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12확통02-04, 12확통02-05]
[제시문 (가)] 서로 배반인 사건 \(A_1, A_2\)가 표본공간 \(S\)를 분할할 때, 임의의 사건 \(R\)에 대하여 \(\mathrm{P}(R) = \mathrm{P}(A_1)\mathrm{P}(R\mid A_1) + \mathrm{P}(A_2)\mathrm{P}(R\mid A_2)\)이다.
[제시문 (나)] 사건 \(R\)가 일어났을 때 사건 \(A_1\)이 일어났을 조건부확률은 \(\mathrm{P}(A_1\mid R) = \dfrac{\mathrm{P}(A_1 \cap R)}{\mathrm{P}(R)}\)이다.
주머니 \(\mathrm{A}\)에는 붉은 공 \(3\)개와 푸른 공 \(2\)개가 들어 있고, 주머니 \(\mathrm{B}\)에는 붉은 공 \(2\)개와 푸른 공 \(4\)개가 들어 있다. 정육면체 주사위를 한 번 던져 \(2\) 이하의 눈이 나오면 주머니 \(\mathrm{A}\)에서, \(3\) 이상의 눈이 나오면 주머니 \(\mathrm{B}\)에서 임의로 공 \(1\)개를 꺼낼 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 주머니 \(\mathrm{A}\)가 선택될 확률 \(\mathrm{P}(A)\)와 주머니 \(\mathrm{B}\)가 선택될 확률 \(\mathrm{P}(B)\), 그리고 각 주머니에서 붉은 공이 나올 조건부확률 \(\mathrm{P}(R\mid A),\; \mathrm{P}(R\mid B)\)를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 꺼낸 공이 붉은 공일 전체 확률 \(\mathrm{P}(R)\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 꺼낸 공이 붉은 공이었을 때, 그 공이 주머니 \(\mathrm{A}\)에서 나왔을 조건부확률 \(\mathrm{P}(A\mid R)\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제8회 문항 4 답안 작성란 (20점)]
• [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점): 각 소문항의 조건을 수식으로 번역하고 단계별 계산 과정을 빠짐없이 작성하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅷ (대수·확통·벡터 융합) | 기하 Ⅱ. 평면벡터
[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02) PDF p.29 탐구 3085 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]
[제시문 (가)] 두 평면벡터 \(\vec{u}, \vec{v}\)가 이루는 각이 \(\theta\)일 때 내적은 \(\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\)이고 \(|\vec{u} - t\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2t(\vec{u}\cdot\vec{v}) + t^2|\vec{v}|^2\)이다.
[제시문 (나)] 두 벡터 \(\vec{u}, \vec{v}\)를 이웃한 두 변으로 하는 삼각형의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2}\)이다.
평면 위의 두 벡터 \(\vec{u}, \vec{v}\)가 \(|\vec{u}| = 2,\; |\vec{v}| = 3\)이고 두 벡터가 이루는 각의 크기가 \(\theta = 60^\circ\)일 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 내적 \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)의 값과 벡터 \(|2\vec{u} - \vec{v}|\)의 크기를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 시점을 원점 \(\mathrm{O}\)로 일치시켰을 때 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{u},\; \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{v}\)가 이루는 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 실수 \(t\)가 변할 때 벡터 \(|\vec{v} - t\vec{u}|\)가 최솟값을 갖는 \(t\)의 값 \(t_0\)와 그때의 최솟값 \(m\)을 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제8회 문항 5 답안 작성란 (20점)]
• [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점): 각 소문항의 조건을 수식으로 번역하고 단계별 계산 과정을 빠짐없이 작성하시오.