[조건 수식 확인]: \(\{a_n\}\) , \(a_{n+1} - c = r(a_n - c)\) , \(r \ne 1\) , \(\{a_n - c\}\) , \(a_1 - c\) , \(r\) , \(A\) , \(n\) , \(\dfrac{A(r^n - 1)}{r - 1}\) , \(a_1 = 2\) , \(a_{n+1} = 3a_n - 2\) , \(c\) , \(a_n\) , \(a_5\) , \(S_4\) , \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}}{S_n}\) , \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n - 1}\)

[논증 1단계 [정의 적용] — 문항 1-1 해설]: \(a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)\)에서 \(c = 1\)이고 \(a_1 - 1 = 1\)이므로 \(a_n - 1 = 3^{n-1}\), 즉 \(a_n = 3^{n-1} + 1\)이며 \(a_5 = 81 + 1 = 82\)이다.

[논증 2단계 [핵심 연산] — 문항 1-2 해설]: \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (3^{k-1} + 1) = \dfrac{3^n - 1}{2} + n\)이며, \(S_4 = \dfrac{80}{2} + 4 = 44\)이다.

[논증 3단계 [최종 판정] — 문항 1-3 해설]: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{3^n + 1}{\frac{1}{2}3^n - \frac{1}{2} + n} = \dfrac{1}{1/2} = 2?\) 잠깐: \(a_{n+1} = 3^n + 1\)이고 \(S_n = \dfrac{1}{2}3^n + n - \dfrac{1}{2}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{S_n} = \dfrac{1}{1/2} = 2\)이다. 또한 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n-1}} = \dfrac{1}{1 - 1/3} = \dfrac{3}{2}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(x = a\) , \(\displaystyle\lim_{x\to a} h(x) = h(a)\) , \(\infty - \infty\) , \([-3, \infty)\) , \(h(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3} - b}{x - 1} & (x \ne 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}\) , \(b\) , \(a\) , \(h(-3)\) , \(\mathrm{A}(1, b)\) , \(\mathrm{A}\) , \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + 4x} - \sqrt{x^2 - 2x}\bigr)\)

[논증 1단계 [정의 적용] — 문항 2-1 해설]: \(x \to 1\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 \(\sqrt{1+3} - b = 0 \implies b = 2\)이다. 유리화하면 \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\)이므로 \(a = h(1) = \dfrac{1}{4}\)이고 \(h(-3) = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}\)이다.

[논증 2단계 [핵심 연산] — 문항 2-2 해설]: \(\mathrm{A}(1, 2)\)에서의 순간변화율은 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = a = \dfrac{1}{4}\)이다. 접선은 \(y - 2 = \dfrac{1}{4}(x - 1) \implies y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{7}{4}\)이므로 \(y\)절편은 \(\dfrac{7}{4}\)이다.

[논증 3단계 [최종 판정] — 문항 2-3 해설]: 유리화하면 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{(x^2+4x)-(x^2-2x)}{\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2-2x}} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{6x}{x(\sqrt{1+4/x}+\sqrt{1-2/x})} = \dfrac{6}{2} = 3\)이다.

[조건 수식 확인]: \(g(x) = k\) , \(y = g(x)\) , \(y = k\) , \(g(x) = (x-\alpha)^2(x-\beta)^2\) , \(x = \dfrac{\alpha+\beta}{2}\) , \(g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2\) , \(g'(x)\) , \(g(x)\) , \(k\) , \(x\) , \(S\)

[논증 1단계 [정의 적용] — 문항 3-1 해설]: \(g(x) = x^2(x-2)^2\)이고 \(g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2) = 0\)이다. 따라서 \(x = 0, 2\)에서 극솟값 \(g(0)=g(2)=0\), \(x = 1\)에서 극댓값 \(g(1) = 1\)을 갖는다.

[논증 2단계 [핵심 연산] — 문항 3-2 해설]: 그래프 개형에 의해 서로 다른 실근의 개수는 \(k < 0\)일 때 \(0\)개, \(k = 0\)일 때 \(2\)개, \(0 < k < 1\)일 때 \(4\)개, \(k = 1\)일 때 \(3\)개, \(k > 1\)일 때 \(2\)개이다.

[논증 3단계 [최종 판정] — 문항 3-3 해설]: 구간 \([0, 2]\)에서 \(S = \displaystyle\int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\dfrac{1}{5}x^5 - x^4 + \dfrac{4}{3}x^3\right]_0^2 = \dfrac{32}{5} - 16 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{15}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(f(t)\) , \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) , \(F'(x) = f(x)\) , \(F(a) = 0\) , \([a, b]\) , \(F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt\) , \(F'(x)\) , \(x\) , \(M\) , \(m\) , \(\displaystyle\int_0^3 F(x)\,dx\)

[논증 1단계 [정의 적용] — 문항 4-1 해설]: 미적분의 기본정리에 의해 \(F'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\)이고, 적분하면 \(F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\)이다.

[논증 2단계 [핵심 연산] — 문항 4-2 해설]: 구간 \([0, 3]\)에서 \(F(0) = 0,\; F(1) = \dfrac{4}{3},\; F(3) = 9 - 18 + 9 = 0\)이므로 최댓값은 \(M = \dfrac{4}{3}\), 최솟값은 \(m = 0\)이다.

[논증 3단계 [최종 판정] — 문항 4-3 해설]: \(\displaystyle\int_0^3 \left(\dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\right)dx = \left[\dfrac{1}{12}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3 = \dfrac{27}{4} - 18 + \dfrac{27}{2} = \dfrac{9}{4}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) , \(a > b > 0\) , \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\) , \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) , \(\mathrm{P}\) , \(\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} = 2a\) , \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ\) , \(\overline{\mathrm{PF}}^2 + \overline{\mathrm{PF}'}^2 = (2c)^2\) , \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\) , \(c > 0\) , \(c\) , \(\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'}\) , \(\overline{\mathrm{PF}}^2 + \overline{\mathrm{PF}'}^2\) , \(\overline{\mathrm{PF}}\cdot\overline{\mathrm{PF}'}\) , \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\) , \(S\) , \(y\) , \(y_{\mathrm{P}}\) , \(r\)

[논증 1단계 [정의 적용] — 문항 5-1 해설]: \(c = \sqrt{25 - 9} = 4\)이고 타원 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} = 10\)이며, 직각삼각형 빗변 \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 8\)이므로 \(\overline{\mathrm{PF}}^2 + \overline{\mathrm{PF}'}^2 = 64\)이다.

[논증 2단계 [핵심 연산] — 문항 5-2 해설]: 곱셈공식에서 \(2\,\overline{\mathrm{PF}}\cdot\overline{\mathrm{PF}'} = 10^2 - 64 = 36 \implies \overline{\mathrm{PF}}\cdot\overline{\mathrm{PF}'} = 18\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\,\overline{\mathrm{PF}}\cdot\overline{\mathrm{PF}'} = 9\)이다.

[논증 3단계 [최종 판정] — 문항 5-3 해설]: \(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times y_{\mathrm{P}} = 9 \implies y_{\mathrm{P}} = \dfrac{9}{4}\)이다. 또한 직각삼각형 내접원 반지름은 \(r = \dfrac{\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} - \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}}{2} = \dfrac{10 - 8}{2} = 1\)이다.