🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅶ (수열·미적분·이차곡선 종합) | 대수 Ⅲ. 수열
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 3071 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
[제시문 (가)] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} - c = r(a_n - c)\) (\(r \ne 1\))를 만족하면 수열 \(\{a_n - c\}\)는 첫째항이 \(a_1 - c\)이고 공비가 \(r\)인 등비수열이다.
[제시문 (나)] 첫째항이 \(A\), 공비가 \(r \ne 1\)인 등비수열의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합은 \(\dfrac{A(r^n - 1)}{r - 1}\)이다.
첫째항이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 관계식 \(a_{n+1} = 3a_n - 2\)를 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 상수 \(c\)를 구하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, \(a_5\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 구하고, \(S_4\)의 값을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 극한값 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}}{S_n}\)과 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n - 1}\)의 값을 각각 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제7회 문항 1 답안 작성란 (20점)]
• [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점): 제시문의 수학적 정의를 명시하고 풀이 단계를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅶ (수열·미적분·이차곡선 종합) | 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.18 탐구 3072 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]
[제시문 (가)] 함수 \(h(x)\)가 \(x = a\)에서 연속이려면 \(\displaystyle\lim_{x\to a} h(x) = h(a)\)가 성립해야 한다.
[제시문 (나)] \(\infty - \infty\) 꼴의 무리식 극한은 분자·분모에 켤레식을 곱하여 유리화한 뒤 최고차항의 계수 비로 계산한다.
구간 \([-3, \infty)\)에서 정의된 함수 \(h(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3} - b}{x - 1} & (x \ne 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}\)이 \(x = 1\)에서 연속일 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 상수 \(b\)와 \(a\)의 값을 각각 구하고, \(h(-3)\)의 값을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 곡선 \(y = \sqrt{x+3}\) 위의 점 \(\mathrm{A}(1, b)\)에서의 순간변화율이 \(a\)와 같음을 보이고, 점 \(\mathrm{A}\)에서의 접선의 \(y\)절편을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 극한값 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + 4x} - \sqrt{x^2 - 2x}\bigr)\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제7회 문항 2 답안 작성란 (20점)]
• [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점): 제시문의 수학적 정의를 명시하고 풀이 단계를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅶ (수열·미적분·이차곡선 종합) | 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.46 탐구 3073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 방정식 \(g(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = k\)의 교점의 개수와 같다.
[제시문 (나)] 사차함수 \(g(x) = (x-\alpha)^2(x-\beta)^2\)는 직선 \(x = \dfrac{\alpha+\beta}{2}\)에 대하여 대칭이다.
사차함수 \(g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2\)에 대하여 제시문 (가), (나)를 바탕으로 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 도함수 \(g'(x)\)를 구하여 함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 모두 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 실수 \(k\)의 값의 범위에 따라 방정식 \(g(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수를 분류하시오.
[문항 3-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역(구간 \([0, 2]\))의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제7회 문항 3 답안 작성란 (20점)]
• [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점): 제시문의 수학적 정의를 명시하고 풀이 단계를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅶ (수열·미적분·이차곡선 종합) | 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 탐구 3074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]
[제시문 (가)] 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\)로 정의하면 \(F'(x) = f(x)\)이고 \(F(a) = 0\)이다.
[제시문 (나)] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(F(x)\)의 최댓값과 최솟값은 구간 내부의 극값과 양 끝점의 함숫값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값이다.
실수 전체의 집합에서 함수 \(F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt\)로 정의할 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 도함수 \(F'(x)\)를 구하고, 함수 \(F(x)\)를 \(x\)에 대한 다항식으로 나타내시오.
[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(F(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\displaystyle\int_0^3 F(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제7회 문항 4 답안 작성란 (20점)]
• [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점): 제시문의 수학적 정의를 명시하고 풀이 단계를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅶ (수열·미적분·이차곡선 종합) | 기하 Ⅰ. 이차곡선
[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.24 탐구 3075 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a > b > 0\))의 두 초점 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\)은 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)을 만족하며, 타원 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} = 2a\)이다.
[제시문 (나)] \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ\)이면 피타고라스 정리 \(\overline{\mathrm{PF}}^2 + \overline{\mathrm{PF}'}^2 = (2c)^2\)가 성립한다.
타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)의 두 초점을 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\) (\(c > 0\))이라 하고, 타원 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}\)가 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 양수 \(c\)의 값과 \(\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'}\), \(\overline{\mathrm{PF}}^2 + \overline{\mathrm{PF}'}^2\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 두 초점거리의 곱 \(\overline{\mathrm{PF}}\cdot\overline{\mathrm{PF}'}\)와 직각삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)의 \(y\)좌표 \(y_{\mathrm{P}}\)와 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 내접원의 반지름 \(r\)를 각각 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제7회 문항 5 답안 작성란 (20점)]
• [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점): 제시문의 수학적 정의를 명시하고 풀이 단계를 명확히 구분하여 서술하시오.